1.1.1 命题第二课时教学实录

1.1.1 命题的概念 教学设计

河南科技大学附属高级中学 闫炳霞

一、教学目标

1.知识与技能

（1）理解命题的概念和命题的构成，能判断给定陈述句是否为命题，能判断命题的真假．

（2）能把命题改写成“若p，则q”的形式．

2．过程与方法

（1）多列举命题的例子，培养学生的辨析能力．

（2）培养学生分析问题和解决问题的能力．

3．情感、态度与价值观

通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣．

二、

教学重难点

重点：命题的概念、命题的构成．

难点：分清命题的条件、结论和判断命题的真假．

三、教学工具

多媒体

四、教学过程

1、【阅读教材】

根据下面的知识结构图阅读教材，并识记命题的概念、结构，初步掌握其真假的判断方法. (1)语句的分类：语句一般分为陈述句、疑问句、祈使句、感叹句等，

(2)相关数学结论：指已学过的概念、公理、定理、推论等数学结论. 如平行于同一条直线的两直线平行等. 2、合作探究、核心归纳

主题一：命题的定义及分类

a:【自主认知】

阅读下面的语句，它们的表述形式有什么特点？

(1)2+4=7. (2)若x2=1，则x=1. (3)两个全等三角形的面积相等. (4)3能被2整除.

b:.能判断以上语句的真假吗？若能，请指出真假.

c:通过对以上语句的研究，你发现这些语句有什么特点？

根据以上探究过程，试着写出命题的定义及分类：

【合作探究】

1.以前学习了很多定理、推论，这些定理、推论是否是命题？

提示：这些定理、推论是经过推理论证的正确结论，又是以陈述句的形式表述的，是命题.

2.如何判断一个数学命题是假命题？

提示：数学中判定一个命题是真命题，要经过证明.而要判断一个命题是假命题，只需举一个反例即可. 3.公理是真命题吗？

提示：在一个命题系统中，一个命题的真实性已经由人类实践所证实而被认为不需要证明，并作为证明其他命题的依据，这样的真命题就是公理.因而公理是真命题，不需要证明. 1

【拓展延伸】数学中定理和命题的区别

数学中的定义、定理、公式、公理都是命题，但命题与定理是有区别的，命题有真假之分，而定理都是真的. 【过关小练】

1.下列语句是命题的是

(

) A.函数y=2x是增函数吗？

B.作射线AB

C.中国领土不可侵犯! D.当x≤1时，x2-3x+2≤0

【解析】选D.A，B，C都不是陈述句，根据命题定义可知，D是命题. 2.(1)命题若a>b，则a2>b2是______________命题. (2)命题若x>-3，则x2+x-6≤0是________命题.(填“真”或“假”)

【解析】(1)设a=1>b=-2，但a2

答案：假

(2)设x=4>-3，但x2+x-6=14>0，假命题.

答案：假

主题二：命题的结构形式

【自主认知】

1.观察下列语句，判断它们是命题吗？

(1)若整数a是素数，则a是奇数. (2)若平面上两条直线不相交，则这两条直线平行. (3)若整数a能被2整除，则a是偶数. (4)若a>b，则ac>bc.

提示：它们都是命题. 2.你发现以上语句的结构有什么特点？由几部分构成？

提示：它们都是“若p，则q”的形式，由条件和结论两部分构成. 根据以上探究过程，试着写出命题的一般形式：

【合作探究】

1.如何找到“若p，则q”命题的条件和结论？

提示：一般地，“若”后面是条件，“则”后面是结论.

2.一个命题写成“若p，则q”的形式后，如何判断命题的真假？

提示：当一个命题改写成“若p，则q”的形式后，判断这种命题真假的方法是：若由p经过逻辑推理推出q，则该命题为真；若判定该命题为假，只需举出一个反例即可. 【过关小练】

1.命题“如果一个函数的图象是一条直线，那么这个函数为一次函数”的条件是______________；结论是______________.

【解析】其条件是：一个函数的图象是一条直线，结论是：这个函数为一次函数.

答案：一个函数的图象是一条直线

这个函数为一次函数

2.把“奇函数的图象关于原点对称”改写成“若p，则q”的形式为____________.

【解析】改写成“若p，则q”的形式为：若一个函数是奇函数，则这个函数的图象关于原点对称.

答案：若一个函数是奇函数，则这个函数的图象关于原点对称

【归纳总结】

1.一个语句是命题应具备的两个要素

2

(1)陈述句：一般地，疑问句、祈使句、感叹句等都不是命题.例如，疑问句“a是无理数吗？”；祈使句“求证：π是无理数”；感叹句“今天的天气真好啊!”等都不是命题. (2)能判断真假：不能判断真假的就不是命题.这两个条件缺一不可. 2.对命题分类的两点说明

(1)真假两类：命题可分为真命题和假命题两种.因而，给定一个命题，要么真，要么假，二者必居其一. (2)命题、真命题、假命题的联系与区别：

真命题、假命题是命题，而命题不一定是假命题，也不一定是真命题，且不是命题的一定不是假命题或真命题. 3.对命题结构形式的两点说明

(1)命题构成：一般地，命题都是由条件和结论两部分组成的，对“若p，则q”的命题，p是条件，q是结论. (2)形式不唯一：在将一个命题改写成“若p，则q”的形式时，为叙述通顺，必要时可添加一些词语，有些命题改法不唯一. 五、题型分析

类型一：命题的判断

【典例1】判断下列语句是不是命题，并说明理由. (1)x2+4x+4≥0(x∈R). (2)你是高二的学生吗？

(3)若x+y和xy都是有理数，则x，y都是有理数. (4)60x+9>4. (5)求证：y=sin 2x的最小正周期是π. 【解析】(1)，(3)是命题，

(2)，(4)，(5)不是命题. 【规律总结】判断一个语句是命题的思路及说明

(1)思路：一般地，判定一个语句是不是命题，要先判断这个语句是不是陈述句，再看能不能判断真假. (2)说明：反意疑问句含有肯定的意思，只不过语气更加强烈，所以反意疑问句也是命题.

提醒：不要把错误的命题误认为不是命题. 【巩固训练】判断下列语句是不是命题，并说明理由. (1)函数f(x)=3x(x∈R)是指数函数. (2)x2-3x+2=0. (3)函数y=cosx是周期函数吗？

(4)集合{a，b，c}有3个子集.

【解析】(1)是命题，满足指数函数的定义，为真. (2)不是命题，不能判定真假. (3)不是命题，是疑问句，不能判断真假. (4)是命题.因为{a，b，c}有23=8个子集，所以集合{a，b，c}有3个子集，为假.因此(1)与(4)是命题；(2)与(3)不是命题. 【补偿训练】判断下列语句是否为命题. (1)若平行四边形的边都相等，则它是菱形. (2)空集是任何集合的真子集. (3)对顶角相等吗？

(4)对顶角不相等. (5)6>3. 3

(6)x>3. 【解析】(1)是陈述句，能判断真假，是命题；

(2)是陈述句，能判断真假，是命题；

(3)不是陈述句，不是命题；

(4)是陈述句，能判断真假，是命题；

(5)是陈述句，能判断真假，是命题；

(6)是陈述句，但不能判断真假，故不是命题. 类型二：判断命题的真假

【典例2】判断下列语句是否是命题，若是，判断其真假，并说明理由. (1)一个等比数列的公比大于1时，该数列为递增数列. (2)求证：x∈R时，方程x2-x+2=0无实根. (3)垂直于同一直线的两条直线平行吗？

(4)当x=3时，3x-8>0.

【解题指南】判定一个命题是假命题，只要举出一个反例即可，而要判定一个命题是真命题，一般要经过严格的推理论证. 【解析】(1)是命题：当首项小于零，公比大于1时该数列为递减数列，该命题为假命题.(2)该语句为祈使句，不是命题.(3)不是命题，它是疑问句，没有做出判断.(4)是命题，当x=3时，3x-8>0，是真命题. 【延伸探究】本例中语句不变，把不是命题的语句改为真命题.

【解析】(2)(3)不是命题

(2)改为真命题是：若x∈R，方程x2-x+2=0无实根. (3)改为真命题是：垂直于同一直线的两条直线可能平行，可能相交，也可能异面. 【规律总结】

1.判断命题真假的两个技巧

(1)真命题：判断一个命题为真命题时，会涉及学习过的概念、定理、公理、法则、公式等，借助于题目中的已知条件，经过严格推理论证得出要证的结论. (2)假命题：判断一个命题为假命题时，只要举一反例即可. 【补偿训练】1.(2015·济南高二检测)下列命题中真命题有(

) ①mx2+2x-1=0是一元二次方程

②抛物线y=ax2+2x-1与x轴至少有一个交点

③互相包含的两个集合相等

④空集是任何集合的真子集

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

【解析】选A.①中当m=0时，是一元一次方程，故①假；②中当Δ=4+4a<0时，抛物线与x轴无交点，故②假；③正确.若A⊆B，B⊆A，则A=B；④中空集不是它本身的真子集，故④假. 2.下列命题中是假命题的个数为

(

) ①多边形的外角和与边数有关；

②如果数量积a·b=0，那么向量a=0或b=0；

③二次方程a2x2+2x-1=0有两个不相等的实根；

④函数f(x)在区间[a，b]有零点，则f(a)·f(b)<0. A.1

B.2

C.3

D.4 【解析】选C.因为Δ=4+4a2>0，故③正确，多边形外角和恒为360°与边数无关，故①错；a·b=0，即|a||b|·cosθ=0，所以a=0或b=0或a⊥b，故②错；f(x)在[a，b]上有零点时，f(a)·f(b)<0或f(a)·f(b)≥0，故④错. 类型三：命题的结构形式

4

【典例3】(1)(2015·天津高二检测)命题：若a>0，则二元一次不等式x+ay-1≥0表示直线x+ay-1=0的右上方区域(包括边界)，条件p：______________，结论q：______________，是________命题.(填“真”或“假”) (2)把下列命题写成“若p，则q”的形式，并判断其真假. ①实数的平方是非负数；

②等底等高的两个三角形是全等三角形；

③能被6整除的数既能被3整除也能被2整除. 【解题指南】(1)对若p，则q的命题，直接看出命题的条件和结论. (2)在改写命题的形式时，要先找准哪部分是命题的条件，哪部分是命题的结论，然后将条件写在前面，结论写在后面.命题形式的改变并不改变命题的真假性. 【解析】(1)由命题的结构特征知条件p为：a>0，结论q为：二元一次不等式x+ay-1≥0表示直线x+ay-1=0的右上方区域(包括边界)；其为真命题. 答案：a>0

二元一次不等式x+ay-1≥0表示直线x+ay-1=0的右上方区域(包括边界)

真

(2)①原命题可以写成：若一个数是实数，则它的平方是非负数.这个命题是真命题. ②原命题可以写成：若两个三角形等底等高，则这两个三角形是全等三角形.这个命题是假命题. ③原命题可以写成：若一个数能被6整除，则它既能被3整除也能被2整除.这个命题是真命题.

【规律总结】写出命题的条件和结论的两种类型及相应的策略

(1)若p，则q型：可直接看出命题的条件和结论，p是条件，q是结论. (2)非“若p，则q”型：可先确定命题的条件和结论，将命题写成“若p，则q”的形式.改写时要注意：①命题中有前提条件时，前提条件不参与改写，它不是条件，也不是结论；②改写时有时需结合相关知识点进行扩写.

提醒：若命题条件和结论比较隐蔽，要补充完整. 【拓展延伸】找出命题的条件和结论的方法

当一个命题的条件和结论没有直接表述出来时，应把命题表述完整，把命题改写成“若p，则q”的形式，这样就可以找出命题的条件和结论.注意不要把前提条件与命题的条件混淆了，两者有区别. 【巩固训练】把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假. (1)奇数不能被2整除. (2)当(a-1)2+(b-1)2=0时，a=b=1. (3)两个相似三角形是全等三角形. (4)在空间中，平行于同一个平面的两条直线平行. 【解析】(1)若一个数是奇数，则它不能被2整除，是真命题. (2)若(a-1)2+(b-1)2=0，则a=b=1，是真命题. (3)若两个三角形是相似三角形，则这两个三角形是全等三角形，是假命题. (4)在空间中，若两条直线平行于同一个平面，则这两条直线平行，是假命题. 【补偿训练】将下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断真假. (1)垂直于同一条直线的两条直线平行. (2)负数的立方是负数. (3)对顶角相等.

【解析】(1)若两条直线垂直于同一条直线，则这两条直线平行.它是假命题. (2)若一个数是负数，则这个数的立方是负数.它是真命题. (3)若两个角是对顶角，则这两个角相等.它是真命题. 5

六、课后小结

1．根据命题的概念，可以判断真假的陈述句是命题，命题的条件与结论之间属于因果关系，真命题可以给出证明，假命题只需举出一个反例即可．

2．任何命题都是由条件和结论构成的，可以写成“若p，则q”的形式．

含有大前提的命题写成“若p，则q”的形式，大前提应保持不变. 6