3.1.2 导数的概念教学实录与评析

导数的概念及运算

考纲要求：1．了解导数的概念及实际背景；理解导数的几何意义，能利用导数求切线的斜率．2．理解基本初等函数求导公式和导数的运算法则，会求简单函数的导数．

知识梳理：1．函数f(x)在区间上的平均变化率；2．导数的背景；3、函数f(x)在x＝x0处的导数；4、导数f′(x0)的几何意义；5、函数f(x)的导函数； 6．基本初等函数的求导公式；7.导数运算法则。

例题分析：

题型一：导数的概念及求导公式、求导法则。

1、设f(x)在x=x0处可导，f(x04x)f(x0)无限趋近于1，则f(x0)=________ 4x2、下列说法正确的是________ ①f(x0)与f(x)都称为f(x)的导数，它们有相同的意义

②f(x0)是f(x0)的导数

③f(x0)是f(x)在xx0时的函数值

④、曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点。

⑤、与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线。

ln（2x＋3）xx3、求下列函数的导数：(1)y＝exsin x；(2)y＝x－sin cos ；(3)y＝. 22x2＋1

4、若函数f(x)2xf(1)x2，则f(0)_________.

5、若f(x)＝x－2x－4ln x，则f(x)0的解集为

6、若(2x3)52a0a1xa2x2a3x3a4x4a5x5,则a12a23a34a45a5等于

_________.

题型二：导数的物理意义

1、物体运动方程为S14t3，则t5时瞬时速度为__________. 412、某汽车的路程函数是s(t)＝2t3－gt2(g＝10 m/s2)，则当t＝2 s时，汽车的加速度是

2_________.

3、一汽球的半径以每秒2厘米的速度膨胀

①半径为5厘米时，表面积对于时间的变化率为__________. ②半径为8厘米时，体积对于时间的变化率为__________.

题型三：导数的几何意义

1、已知函数f(x)＝x3－4x2＋5x－4.(1)求曲线f(x)在x＝2处的切线方程；(2)求经过点

A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程．

2、设函数f(x)axb，曲线yf(x)在点(2,f(2))处的切线方程为7x4y120. x（1）求yf(x)的解析式；

（2）证明：曲线yf(x)上任一点处的切线与直线x0和直线yx所围成的三角形面积为定值，并求此定值。Ks5u

1

113、已知f(x)＝ln x，g(x)＝x3＋x2＋mx＋n，直线l与函数f(x)，g(x)的图象都相切于点(1，0)．（1）、求直线l的方程；32(2)、求函数g(x)的解析式．

4、函数f(x)x(x1)(x2)(x3)(x4)(x5)1，函数在点(0,f(0))处切线率_________.

1x2(),x025、已知直线ymx与函数f(x)的图像恰有三个不同的公共点，则实数m的取值范围

1x21,x02

6、若点P是曲线f(x)x2lnx上任意一点，则P到直线yx2最小距离

7、已知点P为曲线y

8、利用切线讨论函数f(x)lnxkx的零点的个数？

：1．了解导数的概念及实际背景；理解导数的几何意义，能利用导数求切线的斜率．2．理解基本初等函数求导公式和导数的运算法则，会求简单函数的导数．

知识梳理：1．函数f(x)在区间上的平均变化率；2．导数的背景；3、函数f(x)在x＝x0处的导数；4、导数f′(x0)的几何意义；5、函数f(x)的导函数； 6．基本初等函数的求导公式；7.导数运算法则

例题分析：

题型一：导数的概念及求导公式、求导法则。

1、设f(x)在x=x0处可导，4上动点，以P为切点的切线中，斜率取最小时切线方程 xe1f(x04x)f(x0)无限趋近于1，则f(x0)=________ x

2、下列说法正确的是________ ①f(x0)与f(x)都称为f(x)的导数，它们有相同的意义

②f(x0)是f(x0)的导数

③f(x0)是f(x)在xx0时的函数值

④、曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点。

⑤、与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线。

ln23、求下列函数的导函数：（1）、函数f(x)2xlnx的导数_____________ x1

ex（2）、函数f(x)=2,

的导数_____________ xaxa（3）、函数f(x)e

x(cosxsinx)的导数_____________ 4、已知f(x)f()cosxsinx，则f()的值____________ 442

题型二：导数的物理意义

1、物体运动方程为S14t3，则t5时瞬时速度为__________. 412、某汽车的路程函数是s(t)＝2t3－gt2(g＝10 m/s2)，则当t＝2 s时，汽车的加速度是

2_________.

3、一汽球的半径以每秒2厘米的速度膨胀

①半径为5厘米时，表面积对于时间的变化率为__________. ②半径为8厘米时，体积对于时间的变化率为__________.

题型三：导数的几何意义

1、如图，直线l是曲线y＝f(x)在x＝4处的切线，则f

′(4)＝

y

l

5 3 O

4 x

112、直线yxb能作为以下

函数图像的切线（填序号）（1）、f(x)；2xisx；（3）、f(x)n（4）、f(x)ex；（5）、f(x)lnx

3、已知曲线y（2）、f(x)x4；

134x，求在点P(2,4)处的切线方程。变式：过点P(2,4)处的切线方程。

33

2（挑战题）若点P是曲线f(x)xlnx上任意一点，则P到直线yx2最小距离

（挑战题）已知点P为曲线y4上动点，以P为切点的切线中，斜率取最小时切线方程（挑战题）讨论关于x的xe1方程：lnxkx的解的个数？（提示：利用切线）

函数y＝xcos x－sin x的导数为

已知f(x)＝xln x，若f′(x0)＝2，则x0等于

.

已知曲线C1：y＝x2与C2：y＝－(x－2)2，直线l与C1，C2都相切，求直线l的方程．

已知f(x)＝logax(a>1)的导函数是f′(x)，记A＝f′(a)，B＝f(a＋1)－f(a)，C＝f′(a ＋1)，则A,B,C的大小关系_________.

3

1．导数的几何意义

函数f(x)在x0处的导数f′(x0)就是曲线y＝f(x)在P(x0，f(x0))的切线斜率．

2．函数的切线方程

对于函数f(x)(可导函数)，其在点P(x0，f(x0))处的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)，其中切线斜率k＝f′(x0)．

3．公切线

(1)定义：同时切于两条或两条以上曲线的直线，叫做曲线的公切线．

(2)两个函数的公切线：

y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)与y－g(x2)＝g′(x2)(x－x2)为同一直线．

f′x0＝g′x0，其中若切点为同一点P(x0，f(x0))，则

fx0＝gx0.要点热点探究

探究点一

公切线问题

公切线问题是函数切线求解一个更深层次的问题，主要是求解两个函数图象与一条直线相切于同一个点的问题．

例1

[2011·湖北卷] 设函数f(x)＝x3＋2ax2＋bx＋a，g(x)＝x2－3x＋2，其中x∈R，a、b为常数，已知曲线y＝f(x)与y＝g(x)在点(2,0)处有相同的切线l. (1)求a、b的值，并写出切线l的方程；

(2)若方程f(x)＋g(x)＝mx有三个互不相同的实根0、x1、x2，其中x1

探究点二

切线条数的问题

过一点作函数切线的条数问题，应该先求出切线方程y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)，然后再论证关于切点的方程的根的个数问题．

例2 已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx在x＝±1处取得极值，且在x＝0处的切线的斜率为－

3. (1)求f(x)的解析式；

(2)若过点A(2，m)可作曲线y＝f(x)的三条切线，求实数m的取值范围．

22【解答】

(1)由f(x)＝ax3＋bx2＋cx，得f′(x)＝3ax2∴m－(x3∴m＝－2x30－3x0)＝(3x0－3)(2－x0)，0＋6x0＋2bx＋c. －6. 令g(x)＝－2x3＋6x2－6，则g′(x)＝－6x2＋12x＝f′1＝3a＋2b＋c＝0，b＝0，依题意⇒

－6x(x－2)，

f′－1＝3a－2b＋c＝03a＋c＝0.由g′(x)＝0得x＝0或x＝2，

又f′(0)＝－3，∴c＝－3，∴a＝1，∴f(x)＝x3－3x. g(x)极小值＝g(0)＝－6，g(x)极大值＝g(2)＝2，

(2)设切点为(x0，x30－3x0)，

画出草图知，当－6

三解，

2∴切线方程为y－(x30－3x0)＝(3x0－3)(x－x0)，

所以m的取值范围是(－6,2)．

又切线过点A(2，m)，

2【点评】

本题中方程m＝－2x30＋6x0－6的三个根判定的问题，需要借助于图形来进行研究，先求导研究函数g(x)＝－2x3＋6x2－6的性质，再求出极值，即可求出m的范围

探究点三

与切线有关的多边形问题

函数的切线与其他线，如坐标轴所围成图形的面积或者线段长度的最值问题是难点问题．

例3

如图3－1，有一正方形钢板ABCD缺损一角(图中的阴影部分)，边缘线OC是以直线AD为对称轴，以线段AD的中点O为顶点的抛物线的一部分．工人师傅要将缺损一角切割下来，使剩余的部分成为一个直角梯形．若正方形的边长为2米，问如何画切割线EF，可使剩余的直角梯形的面积最大？并求其最大值．

【解答】

解法一：以O为原点，直线AD为y轴，

建立如图所示的直角坐标系，依题意，

可设抛物线弧OC的方程为

y＝ax2(0≤x≤2)，

∵点C的坐标为(2,1)，

4

1∴22a＝1，a＝，

41故边缘线OC的方程为y＝x2(0≤x≤2)，

41t，t2(0

要使梯形ABEF的面积最大，则EF所在的直线必与抛物线弧OC相切，设切点坐标为P411t∵y′＝x，∴直线EF的方程可表示为y－t2＝(x－t)，

24211112，t－t2，F0，－t2. 即y＝tx－t2.由此可求得E442411－t2－－1＝1－t2，

∴|AF|＝4411t－t2－－1＝－t2＋t＋1. |BE|＝44设梯形ABEF的面积为S(t)，则

1555S(t)＝－(t－1)2＋≤，∴当t＝1时，S(t)＝，

2222故S(t)的最大值为2.5，此时|AF|＝0.75，|BE|＝1.75. 答：当AF＝0.75 m，BE＝1.75 m时，可使剩余的直角梯形的面积最大，其最大值为2.5 m2. 解法二：以A为原点，直线AD为y轴，建立如图所示的直角坐标系，依题意可设抛物线的方程为y＝ax2＋1(0≤x≤2)．

1∵点C的坐标为(2,2)，∴22a＋1＝2，a＝，

41故边缘线OC的方程为y＝x2＋1(0≤x≤2)．

4要使梯形ABEF的面积最大，则EF所在的直线必与抛物线弧OC相切，设切点坐标1t，t2＋1(0

为P41∵y′＝x，∴直线EF的方程可表示为

211y－t2－1＝t(x－t)，

4211即y＝tx－t2＋1，

24112，t－t2＋1，F0，－t2＋1. 由此可求得E4411∴|AF|＝1－t2，|BE|＝－t2＋t＋1，

44设梯形ABEF的面积为S(t)，则

1111－t2＋t＋1＝－t2＋t＋2 S(t)＝|AB|·(|AF|＋|BE|)＝1－t2＋4242155＝－(t－1)2＋≤. 2225∴当t＝1时，S(t)＝，

2故S(t)的最大值为2.5.此时|AF|＝0.75，|BE|＝1.75. 答：当AF＝0.75 m，BE＝1.75 m时，可使剩余的直角梯形的面积最大，其最大值为2.5 m2. 【点评】

与切线有关的多边形的最值问题，首先应该面积建立关于动点P的函数，再选择相关的方法求解所得函数的最值，复杂函数可以用求导进行研究．

在平面直角坐标系xOy中，点P是第一象限内曲线y＝－x3＋1上的一个动点，点P处的切线与两个坐标轴交于A，B两点，则△AOB的面积的最小值为________．

3322

【解析】

解法1：依题意设切点为(x0，－x30＋1)，易知x0∈(0,1)，从而切线的斜率为k＝－3x0，切线方程为42x30＋132233y－(－x0＋1)＝－3x0(x－x0)⇒y＝－3x0x＋2x0＋1，从而可得A2，0，B(0,2x0＋1)，

3x03632x0＋14x0＋4x0＋1242111221所以S△AOB＝OA·OB＝·(2x3＝x0＋x0＋2，x0∈(0,1)．记f(x)＝x4＋x＋2，x∈(0,1)，

2＝20＋1)·223x06x0336x0336x8x6＋2x3－12x3＋14x3－18322则f′(x)＝x＋－3⇒f′(x)＝＝. 336x3x33x35

31311又x∈(0,1)，令f′(x)＝0⇒4x－1＝0⇒x＝，易知f(x)在x＝时取得极小值且为最小值，所以当x3＝时有044412134×＋4×＋14432S△AOB的最小值为＝. 43126×4解法2：得到三角形的面积后可利用基本不等式

2x3110＋13S△AOB＝OA·OB＝·(2x0＋1)·2

223x03331213123212x0＋121211231＝·＝2x0＋2x＋2x≥·＝，当且仅当2x＝即x00＝时等号成立．

6x0663242x0400规律技巧提炼

1．函数切线的求解主要包括以下问题

(1)求函数在某一点的切线方程；

(2)求两个函数在某一点处的公切线方程；

(3)求过一点作函数的切线或切线条数的求解．

这三个问题，主要还是先求出在点P(x0，f(x0))处的切线方程y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)，再进行相关论证．

2．与切线有关的问题

与切线有关的多边形的面积或长度的最值问题，切线方程求解不难，主要是建立函数后对所建立函数的研究，难度会因为所建函数不同而不同．

1设函数f(x)＝ax＋(a，b∈Z)，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y＝3. x＋b(1)求y＝f(x)的解析式；(2)证明曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝1和直线y＝x所围三角形的面积为定值，并求出此定值．

321、曲线yx3x1在点（1，－1）处的切线方程为__________. 2、在曲线yxx2的切线中，与直线4xy1平行的切线方程是

3x213lnx的一条切线的斜率为2,则切点的横坐标为

. 3、已知曲线y44、过原点作曲线y＝ex的切线，则切点的坐标为

，切线的斜率为

．

5、已知函数f(x)xx2，求过点P（1，2）的曲线的切线方程

6、已知直线l1为曲线yxx2在点（1，0）处的切线，l2为该曲线的另一条切线，且l1l2.（Ⅰ）求直线l2的方程；（Ⅱ）求由直线l1、l2和x轴所围成的三角形的面积. 7、设t0，点P（t，0）是函数f(x)xax与g(x)bxc的图象的一个公共点，两函数的图象在点P处有相同的切线.，用t表示a，b，c；

xxOyf(x)e(x0)的图象上的动点,该图象在

在平面直角坐标系中,已知点P是函数3223P处的切线l交y轴于点M,过点P作l的垂线交y轴于点N,设线段MN的中点的纵坐标为t，则t的最大值是_

_ 6

变式：已知a>0，函数fxax3bx图像上相异两点A,B处的切线分别为l1,l2,且l1//l2，

（1）

判断函数fx的奇偶性，并判断A，B是否关于原点对称

（2）

若直线l1,l2都与AB垂直，求实数b的取值范围

2、函数f(x)exex的导数_____________

导数在函数中的应用（1）

考纲要求：1．理解函数的单调性和导数的关系，能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间．2．理解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件，会利用导数求函数的极大值、极小值，会利用函数的极大值、极小值求参数范围．

热身练习：

研究函数f(x)x3的性质

思考1：函数的导数符号与函数的单调性有联系吗？

思考2：函数f(x)满足f(x0)0时，函数在xx0处是否一定取得极值？

例题分析：

题型一：单调性（一）、求单调区间：

1、函数

f(x)xlnx的单调增区间________________

2、讨论函数f(x)xa（a0)的单调区间. x

（二）、已知单调性求参数的范围

若函数f(x)1x31ax2(a1)x1在区间（1，4）内为减函数，在区间6,上为增函数，试求a的取值范围。

32

题型二：极值问题

1、已知可导函数f(x)的导函数f(x)的图象如图所示，给出下列四个结论：

①x1是f(x)的极7

小值点；②f(x)在(,1)上单调递减；③f(x)在(1,)上单调递增；④f(x)在(0,2)上单调递减，其中正确的结论是 ．（写出所有正确结论的编号）

2、已知f(x)x33ax23(a2)x1有极小值又有极大值，则a的范围_______

b_______

3、函数yx3ax2bxa2在x1有极值为10，则a_____,

4求函数f(x)2xtanx在(0,2)上的极大值

35、（1）、函数g(x)=12xb与f(x)=x12x，若方程f(x)g(x)仅有一个根，求b的范围。

（能力题）（2）、已知函数f(x)kexx2有两个极值点，求k的取值范围

导数在函数中的应用（2）

设函数f(x)x(xa)2（xR），其中aR．当a0时，求函数f(x)的极大值和极小值为

8、已知等腰梯形的三边AB,BC,CD分别与函数y12x2,x2,22的图象切于点P,Q,R，且点P的横坐标为x1，则此梯形的面积为

．

2已知f(x)x2xalnx，若函数在区间0,1上恒为单调函数，则实数a

的取值范围为

3如果质点A的位移S与时间t满足方程S2t(位移单位:米，时间单位:秒),则质点在t3时的瞬时速度为

米/秒.

xx已知函数ye.过原点作曲线y＝e的切线，求切线的方程_________

题型三：最值问题

1、函数f(x)x33x1在区间3,0上的最大值、最小值分别为_____.

22、函数fx4x7，x01，，则fx的值域_____；

2x

三、巩固练习

31、函数f(x)ln(3xx)的单调递增区间为_________________ 8

2、函数f(x)ax3x1有极值的充要条件为_________________ 3、f(x)ax3x2x5在R上单调递增，a的取值范围_________________ 4、已知aR，求函数f(x)x2eax的单调区间.

5、已知aR，讨论函数f(x)ex(x2axa1)的极值个数

6、已知函数f(x)lnxax(aR). (Ⅰ) 求函数f(x)的单调区间；(Ⅱ) 当a >0时，求函数f(x)在[1,2]上最小值.

讨论函数f(x)lnxax的单调区间.

10、已知函数f(x)lnx

1－x3、已知函数f(x)＝lnx＋，其中a为大于零的常数．求函数f(x)在区间[e，e2]上的最小值．

ax

4、函数f(x)=x2－x＋alnx；当x1时，f(x)x2恒成立，求a取值范围

已知函数f(x)2sinxxk在区间0,

2a,aR．（1）讨论函数的单调区间；

x上有两个零点，求实数k取值范围

2xsinx,x(0,2)则f(x)得单调增区间是

．

233、讨论函数f(x)x3bx2（b0)的单调区间. 2、已知函数f(x)1

导数在函数中的应用（2）

一、复习目标：掌握导数单调性、极值与最值在函数中的综合应用。

9

二、典型例题分析

1、已知函数f(x)ax3bx2cx在点x0处取得极大值5，其导函数yf'(x)的图象经过点(1,0)，(2,0)，如图所示.求：

（Ⅰ）x0的值； （Ⅱ）a,b,c的值.

2、已知x1是函数f(x)mx33(m1)x2nx1的一个极值点，其中m,nR,m0，

（I）求m与n的关系式； （II）求f(x)的单调区间；

（III）当x1,1时，函数yf(x)的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m，求m的取值范围.

2]上的最3、已知a是实数，函数f(x)x(xa)．（Ⅰ）求函数f(x)的单调区间；（Ⅱ）设g(a)为f(x)在区间[0，小值．写出g(a)的表达式

4、已知函数f(x)x28x,g(x)6lnxm.

（I）求f(x)在区间t,t1上的最大值h(t);

（II）是否存在实数m,使得yf(x)的图象与yg(x)的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由。

三、巩固练习

1413xaxa2x2a4(a0)（1）求函数yf(x)的单调区间；（2）若函数yf(x)的图像43与直线y1恰有两个交点，求a的取值范围．

1、已知函数f(x)

322、设函数f(x)xax9x1(a0).若曲线y=f(x)的斜率最小的切线与直线12x+y=6平行，求（Ⅰ）a的值;（Ⅱ）函数f(x)的单调区间.

3]，3、设函数f(x)2x3ax3bx8c在x1及x2时取得极值．（Ⅰ）求a、b的值；（Ⅱ）若对于任意的x[0，10 32

都有f(x)c2成立，求c的取值范围．

导数的综合运用

考纲要求：1．会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)．2．会利用导数解决某些实际问题．

知识梳理：1．利用导数研究函数单调性的步骤

(1)求导数f′(x)；

(2)在函数f(x)的定义域内解不等式f′(x)>0或f′(x)＜0；

(3)根据(2)的结果确定函数f(x)的单调区间．

2．求可导函数极值的步骤

(1)确定函数的定义域；

(2)求导数f′(x)；

(3)解方程f′(x)＝0，求出函数定义域内的所有根；

(4)列表检验f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右两侧值的符号，如果左正右负，那么f(x)在x0处取极大值，如果左负右正，那么f(x)在x0处取极小值．

3．最大值与最小值的概念

如果在函数定义域I内存在x0，使得对任意的xI，总有____________，则称f(x0)为函数f(x)在定义域上的最大值．如果在函数定义域I内存在x0，使得对任意的xI，总有____________，则称f(x0)为函数f(x)在定义域上的最小值．

4．求函数f(x)在闭区间[a，b]内的最值的步骤

(1)确定函数f(x)在闭区间[a，b]内连续、可导；

(2)求函数f(x)在开区间(a，b)内的极值；

(3)求函数f(x)在[a，b]端点处的函数值f(a)，f(b)；

(4)比较函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)的大小，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．

5．利用导数解决实际生活中的优化问题的步骤

(1)分析实际问题中各变量之间的关系，建立实际问题的数学模型，写出相应的函数关系式y＝f(x)；

(2)求导数f′(x)，解方程f′(x)＝0；

(3)判断使f′(x)＝0的点是极大值点还是极小值点；

(4)确定函数的最大值或最小值，还原到实际问题中作答．一般地，对于实际问题，若函数在给定的定义域内只有一个极值点，那么该点也是最值点．

课前热身：1．函数f(x)＝x3－3x＋1在闭区间[－3,0]上的最大值、最小值分别是

2．函数f(x)＝xln x在(0，＋∞)上的最小值为__________．

13．已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系为y＝－x3＋81x－234，则使该生3产厂家取最大年利润的年产量为__________．

x34．若函数f(x)＝2(a>0)在[1，＋∞)上的最大值为，则a的值为________．

3x＋a325．(2012江苏盐城模拟)已知函数f(x)＝x＋ax＋bx＋c，x

[－2,2]表示过原点的曲线，且在x＝±1处的切线的倾3斜角均为π，则以下命题：

4①f(x)的解析式为f(x)＝x3－4x，x

[－2,2]；

②f(x)的极值点有且只有一个；

③f(x)的最大值与最小值之和等于零．

其中正确命题的序号为________．

典例分析：例1、已知函数f(x)＝ax3＋bx＋c在点x＝2处取得极值c－16. (1)求a，b的值；(2)若f(x)有极大值28，求f(x)在[－3,3]上的最小值．

例2、已知a是实数，函数f(x)＝x(x－a)．(1)求函数f(x)的单调区间；

(2)设g(a)为f(x)在区间[0,2]上的最小值，

①写出g(a)的表达式；

[来源:Zxxk.Com][来源学科网]11

②求a的取值范围，使得－6≤g(a)≤－2.

例3、已知f(x)＝xln x，g(x)＝－x2＋ax－3.(1)求函数f(x)在[t，t＋2](t>0)上的最小值；

(2)对一切x

(0，＋∞)，2f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围．

例4、已知矩形纸片ABCD中，AB＝6 cm，AD＝12 cm，将矩形纸片的右下角折起，使该角的顶点B落在矩形的边AD上，且折痕MN的两端点M，N分别位于边AB，BC上，设∠MNB＝θ，MN＝l. (1)试将l表示成θ的函数；

(2)求l的最小值．

巩固练***面直角坐标系xOy中，已知点P是函数f(x)＝ex(x>0)的图象上的动点，该图象在P处的切线l交y轴于点M，过点P作l的垂线交y轴于点N，设线段MN的中点的纵坐标为t，则t的最大值是________．

2．已知函数f(x)是定义在[－e,0)∪(0，e]上的奇函数，当x

(0，e]时，f(x)＝ax＋ln x(其中e是自然对数的底数，aR)．

(1)求f(x)的解析式；

ln x1(2)设a＝－1，g(x)＝－，求证：当x

(0，e]时，f(x)＜g(x)＋恒成立；

x2(3)是否存在负数a，使得当x

(0，e]时，f(x)的最大值是－3？如果存在，求出实数a的值；如果不存在，请说明理由．

3．已知函数f(x)＝x2＋ln x. (1)求函数f(x)在[1，e]上的最大值和最小值；

21(2)求证：当x

(1，＋∞)时，函数f(x)的图象在g(x)＝x3＋x2的图象的下方．4．已知某厂生产某种产品x件的322总成本为c(x)＝1 200＋x3(万元)，且产品单价的平方与产品件数x成反比，生产100件这样的产品的单价为50万元，75问：产量定为多少时总利润最大？

[来源

导数测试卷

1、设f(x)在x=x0处可导，2、函数yf(x03x)f(x0)无限趋近于1，则f(x0)=________ x13xx23xa的单调递减区间为_______ 333、在介质中一小球下落ts时下落位移(m)为h

1.50.1t,则t=3时球下落的加速度为_______。

4、函数f(x)2x2lnx的减区间_______；函数f(x)x2sinx的单调增区间为

2cosx5、曲线ye在点(2，e)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为____________. 6、已知a>0,函数f(x)x3ax在[1,)上是单调减函数,则a的最大值为__________. 7、若函数f(x)4xx12在区间(m,2m1)上是单调增函数,则m的范围是_______________. 38、函数g(x)=12xb与f(x)=x12x，若方程f(x)g(x)仅有一个根，则b的范围_______

9、函数f(x)的定义域为开区间(a,b)，导函数f(x)在(a,b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a,b)内有极12

y

yf(x)b

aO

小值点个数_______________.x

10、设函数f(x)x3ax2bxc的图象如图所示，且与y0在原点相切，若函数的极小值为4，函数解析式为________________ 11、已知函数f(x)=x2－x＋alnx；当x1时，f(x)x2恒成立，a的取值范围__________. 134x,则过点P(2,4)的切线方程是____________________. 3313、已知函数f(x)的定义域为2,,部分对应值如下表.f(x)为f(x)的导函数,函数f(x)的图象如图所示.若|f(m)|1,则m的取值范围是_______________. 12、已知曲线f(x)x

f(x)

y f′(x) 2

1 0 4 1 —2 0 x 1

14、设f(x)、g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当x＜0时,f(x)g(x)f(x)g(x)＞0.且g(3)=0.则不等式f(x)g(x)＜0的解集是___________________. 15、利用导数讨论函数f(x)x

16、设函数f(x)a的单调性

x13xx23x1

(1)求f(x)的单调增区间和极值; (2)讨论方程f(x)a的实根的个数. 3

17、如图，已知曲线C1：y=x3(x≥0)与曲线C2:y=－2x3+3x(x≥0)交于O，A,直线x=t(0

的最大值.

A

C2

B O x

t

18、已知函数f(x)lnxax(aR). (Ⅰ) 求函数f(x)的单调区间；

(Ⅱ) 当a >0时，求函数f(x)在[1,2]上最小值.

32219、

已知函数f(x)xmxmx1（m为常数，且m>0）有极大值9. 13

（Ⅰ）求m的值；

（Ⅱ）若斜率为-5的直线是曲线yf(x)的切线，求此直线方程.

20、（08辽宁22）设函数f(x)ax3bx23a2x1(a，bR)在xx1，xx2处取得极值，且x1x22．（Ⅰ）若a1，求b的值，并求f(x)的单调区间；（Ⅱ）若a0，求b的取值范围．

14