3.1.2 导数的概念课件配套优秀获奖教案

§1.1.2导数的概念

一、教学目标：

1．了解瞬时速度、瞬时变化率的概念；

2．理解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵；

3．会求函数在某点的导数

二、教学重难点：

重点：瞬时速度、瞬时变化率的概念、导数的概念； 难点：导数的概念．

三、教学过程：

（一）复习旧知，情境创设

1、复***均变化率及几何意义

2.探究：计算运动员在0t6549这段时间里的平均速度，并思考以下问题：

⑴运动员在这段时间内使静止的吗？

⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？

探究过程：如图是函数h(t)= -4.9t+6.5t+10的图像，结合图形可知，h(h(65496549)h(0)0(s/m)，

0654926549)h(0)，

h 所以v虽然运动员在0t这段时间里的平均速度为0(s/m)，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态．

ot 二．新课讲授

1．瞬时速度

我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度。运动员的平均速度不能反映他在某一时刻的瞬时速度，那么，如何求运动员的瞬时速度呢？比如，t2时的瞬时速度是多少？考察t2附近的情况：

思考：当t趋近于0时，平均速度v有什么样的变化趋势？

结论：当t趋近于0时，即无论t从小于2的一边，还是从大于2的一边趋近于2时，

平均速度v都趋近于一个确定的值13.1．

从物理的角度看，时间t间隔无限变小时，平均速度v就无限趋近于史的瞬时速度，因此，运动员在t2时的瞬时速度是13.1m/s

为了表述方便，我们用limt0h(2t)h(2)t13.1

表示“当t2，t趋近于0时，平均速度v趋近于定值13.1”

小结：局部以匀速代替变速，以平均速度代替瞬时速度，然后通过取极限，从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。

思考：１、函数的平均变化率怎么表示？

２、函数ｆｘ在ｘ＝ｘ０处的瞬时变化率怎么表示？

2 导数的概念

从函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是: limx0f(x0x)f(x0)xlimx0fx

'我们称它为函数yf(x)在xx0出的导数，记作f(x0)或y|xx，即

0' f(x0)limf(x0x)f(x0)x

x0说明：（1）导数即为函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率

（2）xxx0，当x0时，xx0，所以f(x0)limf(x)f(x0)xx0

x03 导数的作用：导数可以描绘任何事物的瞬时变化率

在例2中，高度h关于时间t的导数是运动员的瞬时速度；

在例1中，我们用的是平均膨胀率，那么半径r关于体积v的导数是气球的瞬时膨率

三．典例分析

2例1．（1）求函数y=3x在x=1处的导数. 2分析：先求Δf=Δy=f(１＋Δx)-f(１)=6Δx+(Δx)

再求fx6x再求limx0fx6

解：法一

定义法（略）

法二：y|x1lim3x31x122limx13(x1)x122lim3(x1)6

x1x1由导数的意义可知,求函数y=f(x)在点x0处的导数的基本方法是:一差、二比、三极限

(1)求函数的增量(2)求平均变化率yf(x0x)f(x0);yxf(x0x)f(x0)x;

(3)取极限，得导数2f(x0)limyx.

x0（2）求函数f(x)=xx在x1附近的平均变化率，并求出在该点处的导数． yx(1x)2解：(1x)2x3x

f(1)limx0yx(1x)(1x)2x2lim(3x)3

x0(3)

质点运动规律为s=t2+3，求质点在t=3的瞬时速度. 解：sf(3t)f(3)(3t)3(33)(t)6t222

st/(t)6ttst2t6

lim(t6)6t0f(3)limt0

例2．（课本例1）将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热，如果第xh时，原油的温度（单位：C）为f(x)x27x15(0x8)，计算第2h时和第6h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义．

解：在第2h时和第6h时，原油温度的瞬时变化率就是f'(2)和f'(6)

根据导数定义，2fxf(2x)f(x0)x2

(2x)7(2x)15(27215)xx3

所以f(2)limx0fxlim(x3)3

x0同理可得:f(6)5

在第2h时和第6h时，原油温度的瞬时变化率分别为3和5，说明在2h附近，原油温度大约以3C/h的速率下降，在第6h附近，原油温度大约以5C/h的速率上升．

注：一般地，f(x0)反映了原油温度在时刻x0附近的变化情况．

'

四．课堂练习

1．质点运动规律为st3，求质点在t3的瞬时速度为．

2．求曲线y=f(x)=x在x1时的导数．

3．例2中，计算第3h时和第5h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义．

五．回顾总结

1．瞬时速度、瞬时变化率的概念

2．导数的概念

六．教后反思：

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