3.3.1 两条直线的交点坐标教学实录

3.3.1两条直线的交点坐标

教学目标

1、知识与技能目标：两条直线的交点的求法，二元一次方程组的解与两条直线的位置的对应关系，过两条直线的交点的直线系方程. 2、过程与能力目标：通过学习两条直线交点坐标的求法，以及判断两直线位置的方法，培养学生的数形结合能力，通过研究两条直线的位置与它们对应方程组的解的关系，进一步渗透坐标法及转化化归的思想．

3、情感与态度目标：通过两直线交点与二元一次方程组的解的关系，认识事物之间的内在联系，能用辩证的观点看问题；在探究和解决问题的过程中，培养学生细心观察、勇于探索、互相合作的精神．

教学重、难点

重点: 能判断两条直线的位置关系，会求两直线的交点坐标． 难点：二元一次方程组的解与两条直线的位置的对应关系，过两条直线的交点的直线系方程．

教学过程

☆情境引入☆

问题1. 直线的一般式方程与二元一次方程之间有什么关系？ 问题2. 如何求二元一次方程组的解? 二元一次方程组的解有几种情况？

问题3：直角坐标系中两条直线的位置关系有几种？

每一个关于x,y的二元一次方程都表示条直线，而二元一次方程组的解有三种情况，直角坐标系中两条直线的位置关系也有三种

☆探索新知☆

1、求两条直线的交点坐标

问题：两条直线方程所组成的二元一次方程组的解的个数与直线的位置关系有什么联系？

已知l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20，将方程联立，得A1xB1yC10，对于这个方程组解的情况分三种讨论：

AxByC0222（1）若方程组有唯一解，则l1、l2相交，有唯一的公共点；

（2）若方程组无解，则l1、l2没有公共点，即平行；

（3）若方程组有无数多个解，则l1、l2有无数多个公共点，即重合．

如何求解两条直线的交点？如何判断两条直线的位置关系？

写出两条直线方程，联立求解：

方程组有唯一解错误！未找到引用源。两直线相交

方程组无解错误！未找到引用源。两直线平行 方程组有无穷多解错误！未找到引用源。两直线重合

题型一：求两直线交点坐标

例、求下列两条直线的交点坐标: l1:3x4y20

l2:4x2y20 解：解方程组  得

x2,

y2.3x4y20,

4x2y20.

所以l1与l2的交点是M(2,2)．

题型二：判断直线的位置关系

例、求经过两条直线x2y40和xy20的交点，且和直线2xy60平

行的直线l的方程．

分析：由直线l与直线2xy60平行，可以求得直线l的斜率；又因为直线l经过两条直线x2y40和xy20的交点，所以求出两直线的交点即可由点斜式求得直线l的方程．

解法一：直线2xy60的斜率为2，且直线l与直线2xy60平行，

直线l的斜率为：kl2．

解方程组x2y40,x0, 得

xy20.y2.．

直线x2y40和xy20的交点坐标为M(0,2）直线l的方程为y22(x0)，即

2xy20．

解法二：设与直线2xy60平行的直线l的方程为2xyc0

解方程组x2y40,x0, 得

xy20.y2.．

直线x2y40和xy20的交点坐标为M(0,2）直线l经过两条直线x2y40和xy20的交点M(0,2）

20-2c0，即C2

直线l的方程为2xy20

2．直线系方程

具有某一共同属性的一类直线的集合称为直线系，表示直线系的方程叫做直线系方程．直线系方程的特点是除含坐标变量x，y以外，还含有特定系数(也称参变量)．

（1）共点直线系方程：经过两条直线l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20，交点的直线系方程为A1xB1yC1(A2xB2yC20其中λ是待定系数．

例、求经过两条直线x2y40和xy20的交点，且和直线2xy60平行的直线l的方程．

解：设经过两条直线x2y40和xy20的交点的直线l方程为，

x2y4（xy）20则(1)x(2)y420．

直线l与直线2xy60平行，直线l的方程为2xy20．

12，即1．

2

(2)平行直线系方程：与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程是Ax＋By＋λ＝0(λ≠C)，λ是参变量．

(3)垂直直线系方程：与Ax＋By＋C＝0(A≠0，B≠0)垂直的直线系方程是Bx－Ay＋λ＝0.

☆课堂提高☆

1、

直线x＝1与直线y＝2的交点坐标是(

) A．(1,2)

B．(2,1)

C．(1,1)

D．(2,2)

2．直线2x＋3y＋8＝0和直线x－y－1＝0的交点坐标是(

) A．(－2，－1)

B．(－1，－2)

C．(1,2)

D．(2,1)

3．

直线l1：3x＋2＝0，直线l2：4x－5＝0，则l1与l2的位置关系是(

) A．平行

B．相交

C．重合

D．异面

4．判断直线l1：3x＋2y－2＝0与直线l2：x－2y－3＝0的位置关系．如果相交，求出交点坐标．

5．求经过两条直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点且与直线3x＋y－1＝0平行的直线l的方程．