1.3 空间几何体的表面积与体积（通用）教学实录与评析

空间几何体的表面积和体积

最新考纲：了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式．

知识回顾：

1．柱、锥、台和球的侧面积和体积

圆柱

面积

S侧＝2πrh 体积

V＝Sh＝πr2h

11V＝3Sh＝3πr2h

1＝3πr2l2－r2

1V＝3(S上＋S下＋S上·S下)h

122＝3π(r1＋r2＋r1r2)h

V＝Sh

1V＝3Sh

1V＝3(S上＋S下＋

4V＝3πR3

S上·S下)h

圆锥

S侧＝πrl 圆台

S侧＝π(r1＋r2)l 直棱柱

正棱锥

正棱台

球

S侧＝Ch 1S侧＝2Ch′

1S侧＝2(C＋C′)h′

S球面＝4πR2

问题探究：对于不规则的几何体应如何求其体积？

提示：对于求一些不规则几何体的体积，常用割补的方法，转化为已知体积公式的几何体进行解决．

2．几何体的表面积

(1)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各面面积之和．

(2)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环形；它们的表面积等于侧面积与底面面积之和．

基础训练：

1．判断正误(在括号内打“√”或“×”) (1)锥体的体积等于底面面积与高之积．(

) (2)球的体积之比等于半径之比的平方．(

)

(3)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差．(

) (4)正方体的内切球中其直径与棱长相等．(

) (5)圆柱的一个底面积为S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是2πS.(

) [答案]

(1)×

(2)×

(3)√

(4)√

(5)×

2．(2016·合肥质量检测)某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为(

)

A．12＋42

B．18＋8 2

C．28

[答案]

D 3．(2015·福州模拟)如图所示，已知三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长均为1，且AA1⊥底面ABC，则三棱锥B1－ABC1的体积为(

) D．20＋82

336A.12

B．4

C.12

[答案]

A 4．(2016·洛阳统一考试)如图是某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为(

) 6D．4

A．200π

B．150π

C．100π D．50π

[答案]

D 5．(2015·东北三校联考)已知某几何体的三视图如图所示，其中正视图中半圆直径为2，则该几何体体积为________．

3π

[答案]

24－2

一

空间几何体的表面积

1．多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积应注意重合部分的处理．

2．圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和．

例1：一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是(

)

A．1＋3

B．2＋3C．1＋22

D．22

(2)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16＋20π，则r＝(

) A．1

B．2C．4

对点训练：

1．(2015·山东烟台一模)一个空间几何体的三视图如下图所示，则该几何体的表面积为(

) D．8

A．48

B．48＋817C．32＋817

[答案]

B 2．(2015·江西九江模拟)如图，网格纸上小正方形边长为1，粗线是一个棱锥的三视图，则此棱锥的表面积为(

) D．80

A．6＋42＋23

B．8＋42C．6＋62

D．6＋22＋43

[答案]

A 3．(2015·太原模拟)已知一个空间几何体的三视图(如图)，则该几何体的表面积为________．

[答案]

33＋2π

二

空间几何体的体积

1．求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解．

2．若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等体积法、分割法、补形法等方法进行求解．

例2：(1)正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为3，D为BC中点，则三棱锥A－B1DC1的体积为(

) 3A．3

B．2C．1

3D．2

(2)(2015·重庆卷)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(

)

121A.3＋π

B．3＋πC.3＋2π

2D．3＋2π

[答案]

(1)C

(2)A

对点训练

1．(2016·云南统一考试)已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于(

)

160A.3

B．160C．64＋322 D．60 [答案]

A 2．(2015·南京模拟)在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，侧棱PA⊥底面ABCD，PA＝2，E为AB的中点，则四面体PBCE的体积为________．

3[答案]

3

3．(2016·河北质量监测)多面体的三视图如图所示，则该多面体的体积为________cm3.

32[答案]

3

三

组合体的表面积及其体积

与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图．

π例3：(1):在梯形ABCD中，∠ABC＝2，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2.将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为

(

) 2π4π5πA.3

B．3

C.3

D．2π

(2)已知直三棱柱ABC－A′B′C′的6个顶点都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA′＝12，则球O的半径为(

) 31713A.2

B．210C.2

[答案]

(1)C

(2)C [拓展探究]

(1)若本例(2)中的“AB＝3，AC＝4，AB⊥AC”改为“底面为正三角形，AB＝6”，则结果如何？

(2)本例(2)中若将直三棱柱改为“侧棱和底面边长都是32的正四棱锥”，则其外接球的半径是多少？

D．310

方法技巧点拨：

1．空间几何体的表面积、侧面积计算一般都可以转化为平面图形的面积计算；将圆柱、圆锥、圆台的侧面展开是把立体几何问题转化为平面几何问题处理的重要手段之一；关于球的问题中的计算，常选取球的一个大圆，化“球”为“圆”，应用平面几何的有关知识解决．

2．多面体体积的计算，基础仍是多面体中一些主要线段的关系，要求概念清楚，点、线、面的位置关系要明确，关键是正确地计算其底面面积和相应的高．在计算多面体的体积时要注意割补法和等积变换的应用．

练习：

1．如图是一个几何体的正视图和侧视图，其俯视图是面积为82的矩形．则该几何体的表面积是(

)

A．8

B．20＋82C．16

[答案]

B 2．(2015·福州模拟)已知三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长均为1，且AA1⊥底面ABC，则三棱锥B1－ABC1的体积为(

) D．24＋82

336A.12

B．4C.12

[答案]

A 3．(2015·陕西卷)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为(

) 6D．4

A．3π B．4π

C．2π＋4

[答案]

D 4．(2016·黄冈调研)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为(

) D．3π＋4

40A．20

B．3

C．56

D．60

[答案]

B 5．(2015·北京卷)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是(

)

A．2＋5

B．4＋5C．2＋25

[答案]

C 6．(2015·唐山一模)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为(

) D．5

A．4

B．21＋3

C．33＋12

[答案]

C 7．(2015·新课标全国卷Ⅱ)已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB＝90°，C为该球面上的动点．若三棱锥O－ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为(

) A．36π

B．64π

C．144π D．256π

[答案]

C 8．(2015·湖南卷)某工件的三视图如图所示．现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为(材料利用率＝新工件的体积)(

) 原工件的体积33D．2＋12

381642－1A.9π

B．9πC.

π122－13D．

π[答案]

A 9．(2016·石家庄调研卷)一个三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为(

)

2545A.3

B．3

C．45

D．25 [答案]

A 10．(2015·山东青岛二模)已知三棱锥D－ABC中，AB＝BC＝1，AD＝2，BD＝5，AC＝2，BC⊥AD，则该三棱锥的外接球的表面积为(

) A.6π

B．6π

C．5π

[答案]

B 11．(2015·长春一模)下图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的表面积是________．

D．8π

[答案]

16＋π

12．若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的体积等于________cm3.

[答案]

24 13．(2015·江西九江模拟)已知矩形ABCD的顶点都在半径为2的球O的球面上，且AB＝3，BC＝3，过点D作DE垂直于平面ABCD，交球O于E，则棱锥E－ABCD的体积为________．

[答案]

23