2.1.3 空间中直线与平面之间的位置关系教案和课堂实录

9.2.1空间中直线与直线之间的位置关系

成都二十中 刘远泉

一、教学目标：

1、知识与能力 （1）了解空间中两条直线的位置关系，并能判断直线与直线之间的位置关系；

（2）理解异面直线的概念，画法，培养学生的空间想象能力；

（3）能运用公理4证明简单的几何问题，掌握转化的思想方法，把空间问题转化为平面问题来解决。

2、过程与方法

（1）师生共同讨论与讲授法相结合；（2）让学生在学习过程中不断归纳整理所学知识。

3、情感态度与价值观

（1）让学生感受到掌握空间两直线关系的必要性，提高学生的学习兴趣；

（2）把问题放给学生，让学生去自主解决，培养学生独立学习的习惯。

二、学法与教学用具

1、学法：学生通过阅读教材、自主思考与教师交流、合作探究解决问题,并进行总结概括，结合练习从而较好地完成本节课的教学目标。

2、教学用具：多媒体课件 自制教学模型 三角板

空间中直线与直线之间的位置关系（1）

教学重点、难点：

1．重点: （1）异面直线的概念；（2）理解并掌握公理4。

2．难点: （1）理解异面直线的概念；（2）理解并掌握公理4。

教学过程：

一复习引入

1、提出问题：在一个平面内，两直线有哪几种位置关系呢？在空间中呢？

二新课

1、空间中直线与直线之间的位置关系 引导学生观察身边的实例：如：

（1）十字路口的两条路所在的直线？（相交）；

1

（2）两条铁轨所在的直线？（平行）；

（3）立交桥中路线AB、CD所在的直线？（即不相交也不平行）。

再通过让学生观察异面直线的实例,引出异面直线的定义。

指出“异面”是空间两条直线的一种位置关系，进一步引导学生归纳总结出空间两条直线的位置关系有且只有三种：

同在一个平面内

相交直线

按平面基本性质分

平行直线

不同在任何一个平面内: 异面直线

有一个公共点: 相交直线

按公共点个数分

无公共点

平行直线

异面直线

2、异面直线的概念

概念：不同在任何一个平面内的两条直线。

合作探究一：分别在两个平面内的两条直线是否一定异面？

（不一定：它们可能异面，可能相交，也可能平行。） 指出：两直线异面的判别一 : 两条直线

既不相交、又不平行. 两直线异面的判别二 : 两条直线不同在任何一个平面内. 注意：在不同平面内的两条直线不一定异面

练习1：请在教室里找出几对异面直线的例子。（单独提问完成）

练习2：判断下列各图中直线l与m是异面直线吗? （单独提问完成）

m

ml

lm

l 1 2 3

mmm

ll

l 4 5 6 练习3：辨析

2

(1)、空间中没有公共点的两条直线是异面直线；

(2)、分别在两个不同平面内的两条直线是异面直线; (3)、不同在某一平面内的两条直线是异面直线; (4)、不同在任一平面内的两条直线是异面直线；

(5)、平面内的一条直线和平面外的一条直线是异面直线; (6)、既不相交，又不平行的两条直线是异面直线 . 3、异面直线画法：

提出问题：如右图我们能否说直线l与直线m是异面直线？

（不能）

如何才能体现两条异面直线异面呢？

（用一个或两个平面衬托）

作图

ml



l m mmll练习4：请画出两条异面直线。

例1、下图长方体中

A1B1(1)说出以下各对线段的位置关系? ① CA1 和 BD1是 直线

D C ② BD和B1D1是 直线

③ BD1

和DC是 直线

A B (2)与棱 AB 所在直线异面的棱共有 条? CA（分别是

：CC1、DD1、B1C1、A1D1）

G课后思考:这个长方体的棱中共有多少对异面直线? DB合作探究二 HE如右图所示是一个正方体的展开图，如果将它还原成F正方体，那么AB、CD、EF、GH这四条线段所在的直线是异面直线的有几对？

4．公理4

D1

C1

3

（1）思考：在同一平面内,如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线平行。空间中,如果两条直线都与第三条直线平行,是否也有类似的规律? D1

C1（2）观察1：如图2.1.2-2,长方体ABCDA1BC11D1中, A1B1AA1∥BB1, AA1∥DD1，那么BB1与DD1平行吗? DC（3）观察2：圆柱的母线与轴所在直线是否平行？

联系相应事实归纳出公理4

AB公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。

符号表示：设a、b、c是三条直线，

a∥b b∥c =>a∥c

公理4 作用：判断空间两条直线平行的依据。

（4）观察3 : 将一张纸如图进行折叠 , 则各折痕b, d, …及边

a, c, e,

之间有何关系？

a b c d e

a∥b

∥c

∥d

∥e …

推广：在空间平行于一条已知直线的所有直线都互相平行．

注：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间此性质都适用。

5、例题选讲

A

例2、如图在空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别

H

是AB、BC、CD、DA的中点。

E

D

求证：四边形EFGH是平行四边形。

G

B

C

F

4 …

（考虑到学生第一次接触空间四边形，简单介绍平面四边形和空间四边形的区别，并利用多媒体展示空间四边形，再分析如何证明）

分析：如何判定一个四边形是平行四边形？

怎样证明EH∥FG且EH=FG？证明关键是什么？

HA证明：如图,连结BD．∵E、H 分别是AB、AD的中点 DGE ∴EH是△ABD的中位线

BCF11

∴ EH∥ BD , EH=BD同理, FG∥ BD, FG=BD22∴ EH∥ FG,且EH=FG ∴四边形EFGH是平行四边形。

提问：有没有其它证明方法呢？（EF∥ HG,且EF=HG）

6、变式练习：

(1)在空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中

点, 且ACBD,那么四边形EFGH是什么图形? (2) 在空间四边形ABCD中， F、G分别是边BC、CD的中点，E、H分别是边

AEAH2EBHD3则四边形EFGH是什么图形?为什么?

AE、AD边上的点，且, （先用课件进行动态演示，让学生观察猜想，再让学生尝试证明）

三

课堂小结（提问方式完成）

1、异面直线的定义: 不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。

2、空间两直线的位置关系（平行、相交、异面）

3、异面直线的画法：用平面来衬托

4、什么是平行公理?（平行同一条直线的两条直线互相平行）

它的作用是什么?（判断两直线平行，它将空间平行问题转化为平面内的平行问题）

5

四

作业

D1C11、

P95

A组第2题。

A1B1DBABCDABCD111112、

如图,在正方体中,与对角线

成异面直线的棱共有几条?

D

C

AB3、课后探究题

如右图在空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点, , 若

且

,则四边形EFGH是正方形。

A

E

H

D

G

B

C

F

空间中直线与直线之间的位置关系（2）

教学重、难点

重点：异面直线的概念，公理4及其应用。 难点：异面直线的概念及公理4的应用。

教学过程

一、复习引入

1、平面几何中两直线的位置关系

位置关系

共面情况

公共点个数

平行线的传递性

6

在平面几何中，同一平面内的三条直线a，b，c，如果a∥b且b∥c，那么aD1 ∥c 探究新知

C1 B1 A1 D C A 问题1：在平面中，如果一个角的两边和另一个角的两边分别

B 平行并且方向相同，那么这两个角相等。这一结论在空间成立吗？

观察右图中的∠ADC和∠A1C1D1，∠ADC和∠A1Ｂ1Ｃ1的关系归纳：

定理（等角定理）：

． 二、例题探练

１、如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，已知E、F D1 C1 分别是AB、BC的中点，求证：EF∥A1C1．

A1 B1

D

C

A F E B 2、如果OA//O1A，OB//O1B1，那么AOB与A1O1B1之间具有什么关系？

D1 C1

A1 B1

D C

A B 四、当堂练习

1、异面直线是指（ ）

A．空间中两条不相交的直线；

B．分别位于两个不同平面内的两条直线；

C．平面内的一条直线与平面外的一条直线；

D．不同在任何一个平面内的两条直线．

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2、已知ABCD-A1B1C1D1是棱长为a的正方体，正方体的哪些棱所在的直线与直

线BC1是异面直线？

3、分别与两条异面直线同时相交的直线( ) A、一定是异面直线 B、不可能平行

C、不可能相交 D、相交、平行和异面都有可能

4、正方体的一条对角线与正方体的棱可组成n对异面直线，则n等于( ) A 2 B 3 C 6 D 12 5、三条直线a、b、c，有命题：（1）若a//b,b//c,则a//c; (2)若a⊥b,c⊥b,则a//c; (3)若a//c,c⊥b,则b⊥a; (4)若a与b, a与c都是异面直线, 则b与c也是异面直线. 其中正确的命题个数是（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 6、异面直线a,b分别在平面α、β内,α∩β=l 则l与a、b的位置关系是（ ）

A. 与a,b均相交 B. 至少与a,b中一条相交

C.与a,b均不相交 D. 至多与a,b中一条相交

五、课堂小结：（学生自己总结）

六、作业 1、在长方体ABCD-A1B1C1D1中,下列各线段所在直线的位置关系分别为: (1)AA1和CC1是 直线; (2) (2)B1C1和DD1是 直线; (3)B1C1和D1C是 直线; (4)(4)BC1和DC1是 直线;

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(5)BC1和A1C是 直线; (6)(6)BC1和A1C是 直线; (7)BC1和AD1是 直线. 2、已知空间四边形ABCD中,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点,AC=BD。

求证：EFGH是菱形。

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