小结教学设计和教学实录

精心备考

有效突破

----立体几何二轮复习的备考思考与教学设计

文/邓永生

/ 长沙市周南中学文科数学组

阳春三月，草长莺飞，高考百日冲刺的号角早已吹响。如何利用有限的时间实现最大突破是二轮复习中值得思考与研究的一个重要课题。以下是笔者对数学立体几何二轮复习备考的一些不成熟的思考，与大家共享。

立体几何一直是高考的热点与难点，也是高考数学制胜的关键所在。如何在二轮复习中实现立体几何的精准有效突破，我认为可以从以下几个方面考虑：①考什么？②怎么考？③怎么备考？④如何针对性突破？……

①考什么？重在大纲，从考试大纲来寻求方向：

考试大纲对空间几何体和点、直线、平面的位置关系以及空间向量与立体几何（理科）均给出了明确的考查要求：

对空间几何体

：认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征,并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构. 能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图, 能识别上述三视图所表示的立体模型；了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式等. 对点、直线、平面之间的位置关系中：要求理解空间直线、平面位置关系的定义并了解四个公理和等角定理，能以这些定义、公理和定理为出发点,认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定定理，并能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题. 对空间向量与立体几何（理科）：要求了解空间向量的概念，向量的基本定理及其意义,掌握空间向量的正交分解及其坐标表示，以及空间向量的线性运算，数量积及其坐标表示,能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直. 要求掌握空间向量的应用：能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系. 能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理(包括三垂线定理).能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题,了解向量方法在研究立体几何问题中的应用. 与2017年考纲对比，这部分内容作为高考的必考内容，没有什么明显的变化，预计在2018年的高考中仍会以“一小一大或两小一大”的格局呈现，保持一贯的稳定性与持续性. ②怎么考？----重在真题，从历年真题中寻找规律：

2013-2017年全国卷I的立体几何试题统计归纳表

文科

章节

空间几何体

理科

试题分布

章节

考点细分

1.三视图&几何体表面积与体积的计2013T8考点细分

1.三视图&几何体表面积与体积的计算

试题分布

；2014T12；2013 T11，2014 T8，2015 空间几T6；2015 T11；2016 T7；

何体

算

2015T6;2015T11；2016T6;2017T7；2017T16

1

2.空间几何体与球的位置关系及计算

点、直3.空间中的线面位置关系（平行&垂直）

2013T15，2017 T16；

2.空间几何体与球的位置关系及计算

点、直3.空间中的线面位置关系（平行&垂2013 T6，

2013T19-1；2014T19-1；2013T18-1;2014T19-1;201线、平面2015 T19-1；2015 T11；线、平面直）

5T18-1；2016T11；之间的2015T18-1；2016 T18-1；2017 T6；2017 T18-1；

4.空间几何体的体积计算（解答）

之间的2016T18-1；2017T18-1；

位置关系

位置关系

4.空间角的体积计算（解答）

2013 T19-2；2014 T19-2；2013T18-2；2015 T19-2；2015 T18-2；2016 T18-2；2017 T18-2；

2015T18-2;2016T18-22017T18-2。

5.空间向量在立体几何中的应用

；

空间向2013T18-2；量与立体几何

2014T19-2;2015T8-2；2016T18-2；2017T18-2。

从对全国卷I五年真题的统计来看：

对空间几何体的考查：题型一般以选择题、填空题的形式出现，内容则主要考查由空间几何体的三视图确定其直观图，并求其表面积、体积。重点在于空间几何体的表面积、体积计算公式的正确使用，难点是如何根据三视图确定空间几何体的结构特征.

对点、直线、平面之间的位置关系的考查：题型上选择题、填空题一般从宏观的角度，结合实际观察、判断空间点、线、面的位置关系，确定命题的真假；解答题中第（1）小问则从微观的角度，严密推导线面平行、垂直.内容上，主要考查空间点、线、面位置关系的命题的判断及证明，重点是根据平行、垂直的判定定理与性质定理证明线面平行、垂直.第（2）小问则侧重几何体中有关计算，文科的热点是求空间几何体的体积问题（或是点面距），

理科的热点则是求空间角的值（二面角的余弦或是线面角的正弦值），侧重对空间向量的在计算空间角的应用上。

③怎么备考？----重在教材，落实基础知识点和基本技能与方法：

回归教材，构建知识网络，落实基础知识

2

1.空间几何体部分，复习时要牢牢抓住各种空间几何体的结构特征，通过对各种空间几何体结构特征的了解，认识各种空间几何体的三视图和直观图，通过三视图和直观图判断空间几何体的结构，在此基础上掌握好空间几何体的表面积和体积的计算方法．

2.空间点、直线、平面的位置关系部分，其基础是平面的性质、空间直线与直线的位置关系，重点是空间线面平行和垂直关系的判定和性质，面面平行和垂直关系的判定和性质．在复习中要牢牢掌握四个公理和八个定理及其应用，掌握好平行关系和垂直关系的证明方法． 3.空间向量与立体几何部分，建议把复习的重心放在如何求平面的法向量，如何把立体几何问题转化为空间向量问题的方法上，并注重运算能力的训练．

梳理热点，构建方法体系，落实难点考点

热点1：通过三视图找几何体原图的方法有三种：直接法、拼凑法和模型法

拼凑法：第1步：画出正视图，第2步：平移俯视图到恰当的位置（长对正，高平齐），使它和正视图在一起，第3步：把侧视图顺时针旋转900再平移到恰当的位置（高平齐，宽相等），使它和正视图、俯视图在一起，第4步：调整它们的位置，找到顶点，找到原图. 模型法：第1步：画出一个长方体或正方体或其他几何体；第2步：补点；第3步：结合三视图排除某些点；第4步：确定那些排除的点附近的点是否是几何体的顶点；第5步：结合实线虚线和确定的点找到几何体的顶点，从而找到符合三视图的原图. 热点2：求几何体外接球的半径的方法:模型法和截面性质法. 模型法就是把几何体放在长方体中，使几何体的顶点和长方体的若干个顶点重合，则几何体的外接球和长方体的外接球是重合的，长方体的外接球的半径r12ab2c2就是几何2体的外接球半径.如果已知中有多个垂直关系，可以考虑用此种方法. 截面性质法就是找到球心O和截面圆的圆心O，找到OO、球的半径OA、截面圆的半径

3

OA确定的RtOOA,再解RtOOA求出球的半径OA. 热点3：空间直线、平面垂直位置关系的判定和证明方法：几何法和向量法

几何法：线线垂直线面垂直面面垂直，它体现的主要是一个转化的思想. 位置关系

定义

判定定理

性质定理

①如果一条直线垂直于一个平①如果一条直线与平面内的面，那么它就和平面内的任意一两条相交直线垂直，则这条条直线垂直.（记为：线面垂直，如果一条直线垂直于一个平面的所有直线和平面垂直线，则这条直线垂直直

于这个平面.

有一条垂直于平面，那么另③过一点与已知平面垂直的直一条直线也垂直于这个平线只有一条. 面.

④垂直于同一条直线的两个平

面平行. ①如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交如果一个平面过另一个平面如果两个平面相的一条垂线，则这两个平面平面和平面垂直

交所构成的二面角是互相垂直.(记为：线面垂直，90°，则这两个平面互则面面垂直) 相垂直 .

面作垂线，那么这条垂线一定在第一个平面内. 一个平面内的一点向另一个平②如果两个平面互相垂直，经过（记为：面面垂直，则线面垂直） 线的直线垂直于另一个平面.②如果在两条平行直线中，平面，那么这两条直线平行. 直线与这个平面垂直.（记则线线垂直）

为：线线垂直，则线面垂直）

②如果两条直线垂直于同一个向量法：向量a,b是直线a,b的方向向量，且a(x1,y1,z1),向量m,n是平面,的法向量，且m(x3,y3,z3),b(x2,y2,z2)，

n(x4,y4,z4)

，

直线a直线babab0x1x2y1y2z1z20(其中a,b分别为直线a，b的方向向量）直线a平面amx1x3,y1y3,z1z3(其中a为直线a的方向向量,m为平面的法向量）平面平面mnmn0x3x4y3y4z3z40(其中m,n分别为平面，的法向量）（平行关系也可类似总结）

热点4：二面角的求法：几何法和向量法

几何法：找作（定义法、三垂线法、垂面法）证（定义）指求（解三角形）

4

向量法：首先求出两个平面的法向量m,n；再代入公式cosmnmn（其中m,n分别是两个平面的法向量，是二面角的平面角.）求解.（注意“”号的选择）

④如何针对性突破？----重在课堂，反思问题原因，实现针对性的训练突破：

下面是以文科立体几何解答题为蓝本的一节复习课的构思设计：

（一）思高考真题，让学生做一名发现者

1.【2013全国卷I文19】如图，三棱柱（Ⅰ）证明：；

ABAC1ABCA1B1C1中，CACB，ABAA1，BAA160。

（Ⅱ）若ABCB2，AC

6，求三棱柱ABCA1B1C1的体积。12.

【2014全国卷I文19】如图，三棱柱为菱形，B1C的中点为O，且（I）证明：B1C求三棱柱ABCA1B1C1中，侧面BB1C1CAO平面BB1C1C. AB;（Ⅱ）若ACAB1,CBB160,BC1,ABCA1B1C1的高. 平面ABCD，

3.【2015全国卷I文19】如图四边形ABCD为菱形，G为AC与BD交点，BE（I）证明：平面（II）若ABCAEC平面BED；

120，AEEC,

三棱锥EACD的体积为6，求该三棱锥的侧面积. 34.【2017全国卷I文18】如图，在四棱锥P−ABCD中，AB//CD，且BAPCDP90．

（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；

（2）若PA=PD=AB=DC，APD90，且四棱锥P−ABCD的体积为求该四棱锥的侧面积．

8，3观察以上四年的高考试题，不难发现：四年的试题的几何载体都源于一个放倒的三棱柱，前两题的载体就是三棱柱，后面两题则可以理解是三棱柱切割一部分后的剩下的多面体，问题的呈现：第一问是空间中直线、平面的垂直关系的证明，第二问在侧重在空间几何体的体积计算，或是与体积计算有关，这实际上可以抽象理解为是高考命题的一个骨架模型。

（二）按骨架模型，让学生做一次命题者

第1步：找载体（用熟悉的几何体进行切割，得一个不规则的多面体）

5

如：拿一个同学们都熟悉的几何体----正方体，切掉两个锥体A1AB1D1,C1CB1D1得到一个多面体ABCDB1D1,如图：



第2步：寻找线面关系，构建问题(1): 线面位置关系的证明：平行或是垂直的判定

如：将B1F,D1E,取AE的中点M,可得:①AECF;②BM//面CEF等

第3步：设定数量关系，构建问题（2）：空间几何体的体积计算（或是已知体积求相应的几何量）

如：给定正方体的边长为2，则可以计算几何体ABCDEF的体积，或是ACEF的体积，或是几何体ABCDEF的表面积等。

整合刚才的思考，我们也可以将正方体换成长方体，集成相关几何元素的关系，于是有了下面这一考题：

如图，在多面体ABCDEF中，

ABCD是正方形，

BF平面ABCD，

DE平面ABCD，

BFDE，点M为棱AE的中点.

（1）求证：平面BMD//平面EFC；

，BF2,求三棱锥ACEF的体积.

（2）若AB1【解析】（1）证明：设AC与BD交于点N，则N为AC的中点，∴MN//EC. ∵MN平面EFC，

EC平面EFC，∴MN//平面EFC. ∵BF平面ABCD，

DE平面ABCD，且BFDE，

∴BFDE，∴BDEF为平行四边形，∴BD//EF. //∵BD平面EFC，

EF平面EFC，

∴BD//平面EFC. 又∵MNBDN，∴平面BDM//平面EFC. （2）连接EN,FN.在正方形ABCD中，

ACBD，

又∵BF平面ABCD，∴BFAC. ∵BFBDB,∴AC⊥平面BDEF，且垂足为N，

∴VACEF

11122ACSNEF222,∴三棱锥ACEF的体积为. 332336

通过这一环节，让学生亲身体会，在交流与讨论中揭开命题的神秘面纱，发现高考的命题原来也就是那么回事，在收获成功喜悦的同时也让文科考生对立体几何不再畏惧。

（三）变不同演练，让学生做一名学习者

选取一个简单的容易理解上手的几何载体，构建不同的题设条件进行演练：

例1．【2018安徽省池州市期末】在四棱锥PABCD中，

AB//DC，

ABAD，

PAADDC2AB2，

PDAC，

E是棱PC的中点，且BECD.

（Ⅰ）求证：

PA平面ABCD；

（Ⅱ）求点P到平面BDE的距离.

【解析】（Ⅰ）取PD中点G，连接GE,GA，

1DCAB,故ABEG为平行四边形，

2所以BE//AG

，因为BECD，故CDAG.

由已知EG//DC//AB,EG又CDAD，所以CD面PAD，PA面PAD，所以PACD.

由已知可求，

PDAC22，所以PAADPD，

所以PAAD，又ADCDD，所以PA面ABCD.

（Ⅱ）已知E是棱PC的中点，所以点P到平面BDE的距离等于点C到平面BDE的距离h.

由（Ⅰ）知CDPD，所以在直角三角形PDC中，

PC23，

DE

在PBC中，

PBBC5，

BE2221PC3，

2BC2EC22，又BD5，

16.

DEBE22222

所以DEBEBD，所以BEDE.所以BDE

的面积为S三棱锥EBCD的体积为VEBCD112SBCDPA，三棱锥CBDE的体积323VCBDEVEBCD2166226，又VCBDESh，故点P到h，所以h，

h336633平面BDE的距离为26.

3【变式思考】同一个载体，换一换题设条件，就又是一道新题，如下：

2．【2018界内蒙古赤峰市期末】如图,在四棱锥PABCD中,棱PA底面ABCD,且ABBC,

AD//BC,

PAABBC2AD2, E是PC的中点.

(1)求证:

DE平面PBC；

(2)求三棱锥APDE的体积.

【解析】(1)证明:取PB中点H,连接AH,EH, ∵PA底面ABCD,

BC底面ABCD,

PABC

7

BCAB,且PAABA

BC平面PAB,又AH平面PAB,所以BCAH.

又∵PAAB,H为PB的中点,

AHPB ,又BCPBB,

AH平面PBC,在1PBC中,

H,E分别为PB,PC中点,

HEBC ,又BC2AD,

AD//BC ,

2AD//HE，

ADHE

∴四边形ADEH是平行四边形,∴AH//DE、DE

平面PBC.

(2)解:由(1)知,

BCPB，∴ADPB,又PBAH,且AHADA,

PB平面ADEH,

PH是三棱锥PADE的高,又可知四边形ADEH为矩形,且AD1,

AH2 , 所以VAPDEVPADE1S311121AH

.

SAH2ADE32矩形ADEH323另解:

E是PC的中点,∴E到平面PAD的距离是B到平面PAD的距离的一半，

所以VBPAD

通过对同一载体进行不同的题设给定，变换不同的问题形式进行变式演练，既加深对知识的熟悉与理解，更是对方法与技能的融汇与贯通。相信无需大量的刷题，只要落实热点难点，我们就一定能做到有的放矢，实现精准突破。

以上，是我对立体几何二轮复习的粗浅思考，还有许多值得深入探究的地方，欢迎各位同行、名家指点，不甚感激！

111121.

323

8