探究与发现 为什么截口曲线是椭圆教案和学案内容

王晓杰

求椭圆离心率（范围）教学设计

求椭圆离心率（范围）教学设计

一、教学分析

教材分析：

历年来平面几何与解析几何是高考的“重头戏”，而圆锥曲线又是解析几何的重中之重，其中圆锥曲线的离心率是高考的“常客”。就椭圆而言，有求离心率的值与求离心率的范围两类题型。

学情分析：

求离心率（范围）涉及到的知识点较多，综合性较强，对学生的思维能力和运算能力有较高要求。因此学生在遇到此类问题时，常常感觉无从下手，其实解决这类问题的关键是设法找到a,b,c中两者或三者之间的关系，然后转化为关于离心率的问题。在此过程中，如何分析题意，深入探索题目所隐含的条件尤为重要。

二、教学目标

知识与技能：

1. 掌握求椭圆离心率的两种常用方法

2. 理解求椭圆离心率的值或范围就是建立a,b,c三个特征量之间的等量关系或不等量关系。

过程与方法：

通过在不同条件下求椭圆离心率（范围）深刻理解离心率e与a,b,c三个特征量之间的关系

情感态度与价值观：

通过分析一般情况下求椭圆离心率（范围），培养学生分析问题，挖掘条件的能力以及数形结合，转化与划归的思想方法。

三、教学重点与难点

重点：椭圆离心率（范围）的求法

通过“根据具体例题抽象总结出一般性的方法”来突出重点

难点：根据已知条件，寻找a,b,c之间的关系式

通过“在具体题目挖掘条件，列出离心率a,b,c之间关系式，进而得到e的值或范围”来突破难点

四、教学方法与手段

教学方法：情景教学法，讲练结合法

教学手段：多媒体课件（PPT）辅助教学，几何画板辅助教学

五、教学过程

（一）课堂导入

复习椭圆中三个特征量a,b,c之间的关系式（a2b2c2）；并分析离心率e与a,b,c三个量中两个量之间的关系（借助理论分析和几何画板从数与形两个角度说明）。

意图：让学生体会到离心率e不仅与a,c有关，而且与a,b密切相关，由于离心率的定义中涉及到a,c，椭圆概念中涉及到a,b，因此e与b,c的关系在课堂上不做太多说明，作为学生课后自主探究内容。通过引入，为本节课的主要内容做铺垫。

（二）知识新授

x2y21的离心率是____________ 例1：（2017•浙江）椭圆C:94x2y21的离心率为（

）

例2：（2011•全国卷）椭圆C:168A.1132

B.

C.

D.

3232思考：①以上两个椭圆，哪个离心率较大？

②两个椭圆哪个“更圆”？

cb2分析：方法一：e：方法二：e12

aa意图：让学生体会到既可以通过a,c也可以通过a,b直接求离心率（求离心率的第一种方法）；感受离心率e与椭圆圆扁程度之间的关系。

x2y2例3：已知F1,F2是椭圆C:221ab0的左右焦点，P是椭圆上一点。若abF1PF2的最大值是90，求椭圆离心率的值。

变式1：若P仍是椭圆上一点，存在F1PF290，求离心率的值。

变式2：若满足F1PF290的P点均在椭圆内，求离心率的取值范围。

方法：焦点三角形中当点为P椭圆上下顶点时，F1PF2取最大值，然后结合离心率的概念借助特征三角形建立a,c的等量关系或不等关系得出离心率的值或范围。

意图：考察焦点三角形中F1PF2的最大值问题，让学生能从特征三角形中寻找特征量a,c之间的关系，进而得出离心率的值，感受离心率与特征量之间的关系。

x2y2例4：（2014•全国卷Ⅱ）设F1,F2分别是椭圆C:221ab0的左右焦点，M是ab3C上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点是N，若直线MN的斜率为，4求C的离心率。

变式：若直线MN的斜率大于3，求离心率的取值范围。

4方法：利用斜率公式建立a,b,c之间的等量关系（二次齐次式）或不等量关系，再利用a2b2c2及ec求解。

a意图：初步感受求离心率的第二种方法———建立齐次式。注意对a2b2c2的利用及离心率本身的范围。

x2y2例5：（2017•全国卷Ⅲ）已知椭圆C:221ab0的左右顶点分别为A1,A2，且ab以线段A1A2为直径的圆与直线bxay2ab0相切，求C的离心率。

变式1：若以上圆与直线相交，求离心率的范围。

变式2：若以上圆与直线相离，求离心率的范围。

方法：利用直线与圆的位置关系建立a,b之间的等量（二次齐次式）或不等量关系式，再利用a2b2c2及ec求解。

a意图：熟悉对建立齐次式求离心率的理解及应用。

例6：若椭圆的长轴长等于短轴长的2倍，求椭圆离心率的值。

变式：若椭圆的长轴长不大于短轴长的2倍，求离心率的取值范围。

方法：依据题意直接得出a,b之间的等量（一次齐次式）或不等量关系式，再平方求值。

意图：加深对建立齐次式求离心率的理解及应用。

（三）课堂备用练习：

F1,F2是椭圆的两个焦点，①

已知P是椭圆上一定点，若PF1F260，PF2则椭圆的离心率为____________ 3PF1，x2y2②（2012•全国卷）设F1,F2是椭圆E:221ab0的左右焦点，P为直线abx3a上一点，F1PF2是底角为30的等腰三角形，则E的离心率（

）

2A.1234

B.

C.

D.

2345六、课堂小结

本节课主要学习了求椭圆离心率的值及范围，求离心率的值关键是建立a,b,c之间的等量关系式，有时可以直接求得离心率的值，有时需要挖掘条件建立a,b,c之间的齐次式；求离心率取值范围的关键是建立a,b,c之间的不等量关系式。总之，求离心率的值或范围关键是建立a,b,c之间的关系式。

七、课后作业

作业本：

1.若一个椭圆长轴的长度，短轴的长度以及焦距成等差数列，求椭圆的离心率。

x2y22.已知椭圆E:221ab0的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线ab若AFBF4,点M到直线l的距离不小于l:3x4y0交椭圆于A,B两点，圆E的离心率取值范围。

八、板书设计

九、教学反思

（1）本节首先通过理论分析并结合几何画板让学生体会并明确离心率与三个特征量之间的关系，提高分析能力并培养数形结合的意识，引出本节主题——求椭圆的离心率（范围）。

（2）通过两种题型体会离心率与特征量间的关系。

（3）教学目标明确，教学结论清晰。

求椭圆的离心率（范围）

1.求e的值

法一：

法二

2.求e的范围

复习：

4，求椭5a2b2c2

ce

ab2e12a