3.1.2 空间向量的数乘运算教学设计(第一课时)

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3．1.2

空间向量的数乘运算

预习课本P86～89，思考并完成以下问题

1．实数λ与空间向量a的乘积λa的方向如何确定？

2．空间向量的数乘运算满足哪些运算律？

3．共线向量(平行向量)、方向向量及共面向量的定义分别是什么？

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[新知初探]

1．空间向量的数乘运算

定义

几何意义

运算律

[点睛]

对空间向量数乘运算的理解

(1)λa是一个向量．

(2)λa＝0⇔λ＝0或a＝0. (3)因为a，b可以平移到同一平面内，所以λa，μb，a＋b，λa＋μb都在这个平面内，因而平面向量的数乘运算律适用于空间向量．

2．共线、共面向量

共线(平行)向量

表示空间向量的有向线段所定义

在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量

对于空间任意两个向量a，充要条件

b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb

若两个向量a，b不共线，则向量p与a，b共面的充要条件是存在惟一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb

平行于同一个平面的向量叫做共面向量

共面向量

与平面向量一样，实数λ与空间向量a的乘积

λa仍然是一个向量，称为向量的数乘

λ>0

λ<0

λ＝0

分配律

结合律

λa与向量a的方向相同

λa与向量a的方向相反

λa＝0，其方向是任意的

λ(a＋b)＝λa＋λb

λ(μ

a)＝(λμ)a

λa的长度是a的长度的|λ|倍

如果l为经过点A平行于已知非零向量a的直线，那么对于空间任一点O，点P在直线l推论

上的充要条件是存在实数t，―→―→使OP＝OA＋ta，①其中a叫做直线l的方向向量，如图所示．

如图，空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有―→―→序实数对(x，y)，使MP＝xMA―→＋yMB

，或对空间任意一点―→―→―→O来说，有OP＝OM＋xMA高考资源网版权所有，侵权必究！

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―→＋yMB

―→若在l上取AB＝a，则①式可―→―→―→化为OP

＝OA＋tAB

[点睛]

对共线、共面向量的理解

(1)共线向量、共面向量不具有传递性．

(2)共线向量定理及其推论是证明共线(平行)问题的重要依据．定理中的条件b≠0不可遗漏．

(3)直线的方向向量是指与直线平行或共线的向量．一条直线的方向向量有无限多个，它们的方向相同或相反．

(4)空间任意两个向量总是共面的，空间任意三个向量可能共面，也可能不共面．

(5)向量p与a，b共面的充要条件是在a与b不共线的前提下才成立的，若a与b共线，则不成立．

[小试身手]

1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) ―→―→(1)向量AB与向量CD是共线向量，则点A，B，C，D必在同一条直线上(

) (2)空间两向量共线是指表示它们的有向线段在同一条直线上(

) (3)若向量a，b，c共面，则表示这三个向量的有向线段所在的直线共面(

) 答案：(1)×

(2)×

(3)×

2．化简：5(3a－2b)＋4(2b－3a)＝________. 答案：3a－2b

―→―→3．点C在线段AB上，且|AB|＝5，|BC|＝3，AB＝λBC，则λ＝________. 5答案：－

3―→―→―→―→4．已知A，B，C三点不共线，O为平面ABC外一点，若由OM＝－2OA＋OB＋λOC确定的点M与A，B，C共面，则λ＝________. 答案：2

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空间向量的线性运算

[典例]

已知正四棱锥P-ABCD，O是正方形ABCD的中心，Q是CD的中点，求下列各式中x，y，z的值．

―→―→―→―→(1)

OQ＝PQ＋yPC＋zPA；

―→―→―→―→(2)PA＝xPO＋yPQ＋PD. ―→―→―→―→1―→―→[解]

(1)如图，∵OQ＝PQ－PO＝PQ－(PA＋PC) 2―→1―→1―→＝PQ－PC－PA，

221∴y＝z＝－. 2(2)∵O为AC的中点，Q为CD的中点，

―→―→―→―→―→―→∴PA＋PC＝2PO，PC＋PD＝2PQ，

―→―→―→―→―→―→∴PA＝2PO－PC，PC＝2PQ－PD，

―→―→―→―→∴PA＝2PO－2PQ＋PD，

∴x＝2，y＝－2.

解决空间向量线性运算问题的方法

进行向量的线性运算，实质上是在正确运用数乘运算律的基础上进行向量求和，即通过作出向量，运用平行四边形法则或三角形法则求和．运算的关键是将相应的向量放到同一个三角形或平行四边形中．

[活学活用]

如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，M是BB1的中点，化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量：

―→―→(1)CB＋BA1；

―→―→1―→(2)AC＋CB＋AA1；

2―→―→―→(3)AA1－AC－CB. ―→―→―→解：(1)CB＋BA1＝CA1. (2)因为M是BB1的中点，

―→1―→所以BM＝BB1. 2―→―→―→―→1―→―→―→―→又AA1＝BB1，所以AC＋CB＋AA1＝AB＋BM＝AM. 2高考资源网版权所有，侵权必究！

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―→―→―→―→―→―→(3)AA1－AC－CB＝CA1－CB＝BA1. ―→―→―→向量CA1，AM，BA1如图所示.

空间向量共线问题

[典例]

如图所示，已知四边形ABCD，ABEF都是平行四边形―→―→且不共面，M，N分别是AC，BF的中点，判断CE与MN是否共线．

[解]

因为M，N分别是AC，BF的中点，且四边形ABCD，四―→―→―→―→1―→―→1―→边形ABEF都是平行四边形，所以MN＝MA＋AF＋FN＝CA＋AF＋FB. 221――→―→―→―→―→→―→―→1―→又因为MN＝MC＋CE＋EB＋BN＝－CA＋CE－AF－FB，

22―→―→―→―→以上两式相加得CE＝2MN，所以CE∥MN，

―→―→即CE与MN共线．

证明空间三点共线的三种思路

对于空间三点P，A，B可通过证明下列结论来证明三点共线．

―→―→(1)存在实数λ，使PA＝λPB成立．

―→―→―→(2)对空间任一点O，有OP＝OA＋tAB

(t∈R)．

―→―→―→(3)对空间任一点O，有OP＝xOA＋yOB

(x＋y＝1)．

[活学活用]

―→2

如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为A1C上一点，且A1O＝3―→A1C，BD与AC交于点M.求证：C1，O，M三点共线．

证明：连接AO，AC1，A1C1. ―→2―→∵A1O＝A1C，

3―→―→―→―→2―→―→2―→―→1―→2―→∴AO＝AA1＋A1O＝AA1＋A1C＝AA1＋(A1A＋AC)＝AA1＋AC. 3333―→―→―→―→―→―→―→―→―→∵AC＝2AM，AA1＝AC1＋C1A1＝AC1－AC＝AC1－2AM，

―→1―→―→4―→1―→2―→∴AO＝(AC1－2AM)＋AM＝AC1＋AM. 333312∵＋＝1，∴C1，O，M三点共线. 33

空间向量共面问题

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―→1―→1―→1―→[典例]

已知A，B，C三点不共线，平面ABC外一点M满足OM＝OA＋OB＋OC. 333―→―→―→(1)判断MA，MB，MC三个向量是否共面；

(2)判断M是否在平面ABC内．

―→―→―→―→[解]

(1)∵OA＋OB＋OC＝3OM，

―→―→―→―→―→―→∴OA－OM＝(OM－OB)＋(OM－OC)，

―→―→―→―→―→∴MA＝BM＋CM＝－MB－MC，

―→―→―→∴向量MA，MB，MC共面．

―→―→―→(2)由(1)知向量MA，MB，MC共面，而它们有共同的起点M，且A，B，C三点不共线，∴M，A，B，C共面，即M在平面ABC内．

解决向量共面的策略

―→―→―→―→―→―→―→(1)若已知点P在平面ABC内，则有AP＝xAB＋yAC或OP＝xOA＋yOB＋zOC

(x＋y＋z＝1)，然后利用指定向量表示出已知向量，用待定系数法求出参数．

(2)证明三个向量共面(或四点共面)，需利用共面向量定理，证明过程中要灵活进行向量的分解与合成，将其中一个向量用另外两个向量来表示．

[活学活用]

已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，求证：

(1)E，F，G，H四点共面．

(2)BD∥平面EFGH. 证明：如图，连接EG，BG. ―→―→―→―→1―→―→―→―→―→(1)因为EG＝EB＋BG＝EB＋(BC＋BD)＝EB＋BF＋EH＝2―→―→EF＋EH，由向量共面的充要条件知：E，F，G，H四点共面．

―→―→―→1―→1―→1―→(2)因为EH＝AH－AE＝AD－AB＝BD，所以EH∥BD.又EH⊂平面EFGH，222BD⊄平面EFGH，所以BD∥平面EFGH.

层级一

学业水平达标

1．设a，b是不共线的两个向量，λ，μ∈R，且λa＋μb＝0，则(

) A．λ＝μ＝0

B．a＝b＝0 高考资源网版权所有，侵权必究！

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C．λ＝0，b＝0 D．μ＝0，a＝0 解析：选A

因为a，b不共线，所以a，b均为非零向量，又因为λa＋μb＝0，所以λ＝μ＝0. ―→―→1―→1―→2．已知点M在平面ABC内，并且对空间任意一点O，有OM＝xOA＋OB＋OC，26则x的值为(

) A．1 C．3 B．0 1D.

311―→―→1―→1―→解析：选D

∵OM＝xOA＋OB＋OC，且M，A，B，C四点共面，∴x＋＋＝1，26261x＝. 3―→―→―→3．若空间中任意四点O，A，B，P满足OP＝mOA＋nOB，其中m＋n＝1，则(

) A．P∈AB

C．点P可能在直线AB上

B．P∉AB

D．以上都不对

解析：选A

因为m＋n＝1，所以m＝1－n，

―→―→―→所以OP＝(1－n)OA＋nOB，

―→―→―→―→即OP－OA＝n(OB－OA)，

―→―→―→―→即AP＝nAB，所以AP与AB共线．

―→―→又AP，AB有公共起点A，

所以P，A，B三点在同一直线上，

即P∈AB. 4．在下列条件中，使M与A，B，C一定共面的是(

) ―→―→―→―→A．OM＝3OA－2OB－OC

―→―→―→―→B．OM＋OA＋OB＋OC＝0 ―→―→―→C．MA＋MB＋MC＝0 ―→1―→―→1―→D．OM＝OB－OA＋OC

42―→―→―→解析：选C

∵MA＋MB＋MC＝0，

―→―→―→∴MA＝－MB－MC，

∴M与A，B，C必共面．

5．已知在长方体ABCD-A1B1C1D1中，点E是A1C1的中点，点F是AE的三等分点，高考资源网版权所有，侵权必究！

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1―→且AF＝EF，则AF＝(

) 2―→1―→1―→A．AA1＋AB＋AD

221―→1―→1―→B.AA1＋AB＋AD

2221―→1―→1―→C.AA1＋AB＋AD

2661―→1―→1―→D.AA1＋AB＋AD

366―→1―→―→―→―→―→1―→解析：选D

如图所示，AF＝AE，AE＝AA1＋A1E，A1E＝A1C1，32→1―→―→―→―→―→―→―→―→―→1―A1C1＝A1B1＋A1D1，A1B1＝AB，A1D1＝AD，所以AF＝AA1＋2

A1C1

31―→1―→1―→＝AA1＋AB＋AD，故选D. 36621216．化简：(a＋2b－3c)＋53a－2b＋3c－3(a－2b＋c)＝________. 211051310510＋－3a＋1－＋6b＋解析：原式＝a＋b－c＋a－b＋c－3a＋6b－3c＝23222323－3＋10－3c＝5a＋9b－7c. 23626597答案：a＋b－c

626―→―→―→1―→―→7．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若AD＝2DB，CD＝CA＋λCB，则λ＝3________. ―→―→―→―→1―→―→1―→―→2―→1―→―→1解析：CD＝CB－DB＝CB－AB＝CB－(CB－CA)＝CB＋CA，又CD＝333332―→―→CA＋λCB，所以λ＝. 32答案：

38．有下列命题：

―→―→①若AB∥CD，则A，B，C，D四点共线；

―→―→②若AB∥AC，则A，B，C三点共线；

21③若e1，e2为不共线的非零向量，a＝4e1－e2，b＝－e1＋e2，则a∥b；

510④若向量e1，e2，e3是三个不共面的向量，且满足等式k1e1＋k2e2＋k3e3＝0，则k1＝k2＝k3＝0. 其中是真命题的序号是________(把所有真命题的序号都填上)．

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―→―→解析：根据共线向量的定义，若AB∥CD，则AB∥CD或A，B，C，D四点共线，故①错；

―→―→―→―→因为AB∥AC且AB，AC有公共点A，所以②正确；

12－e1＋e2＝－4b，所以a∥b.故③正确；易知④也正确．

由于a＝4e1－e2＝－4105答案：②③④

9.在空间四边形ABCD中，G为△BCD的重心，E，F分别为边―→1―→1―→CD和AD的中点，试化简AG＋BE－AC，并在图中标出化简结果32的向量．

解：∵G是△BCD的重心，BE是CD边上的中线，

―→1―→∴GE＝BE. 31―→1―→―→又AC＝(DC－DA) 221―→1―→―→―→―→＝DC－DA＝DE－DF＝FE，

22―→1―→1―→∴AG＋BE－AC

32―→―→―→―→＝AG＋GE－FE＝AF

(如图所示)．

10．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，M为DD1的中点，点N在AC上，且AN∶NC＝2∶―→―→―→1，求证：A1N与A1B，

A1M共面．

―→―→―→―→―→―→―→1―→―→2―→2―→证明：∵A1B＝AB－AA1，A1M＝A1D1＋D1M＝AD－AA1，

AN＝AC＝(AB＋233―→AD)，

―→―→―→2―→―→―→∴A1N＝AN－AA1＝(AB＋AD)－AA1

3→1―→2―→―→2―AD－

AA1



＝(AB－AA1)＋2332―→2―→＝A1B＋A1M，

33―→―→―→∴A1N与A1B，A1M共面．

层级二

应试能力达标

1.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列各式中运算的结果为―→向量BD1的是(

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―→―→―→①(A1D1－A1A)－AB；

―→―→―→②(BC＋BB1)－D1C1；

―→―→―→③(AD－AB)－2DD1；

―→―→―→④(B1D1－A1A)＋DD1. A．①②

C．③④

B．②③

D．①④

―→―→―→―→―→―→―→―→―→―→―→解析：选A

(A1D1－A1A)－AB＝AD1－AB＝BD1，(BC＋BB1)－D1C1＝BC1＋C1D1＝―→BD1.故选A. ―→1―→―→―→―→―→2．已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，A1E＝A1C1，若AE＝xAA1＋y(AB＋AD)，则(

) 41A．x＝1，y＝

21C．x＝1，y＝

31B．x＝，y＝1 21D．x＝1，y＝

4―→―→―→―→1―→―→1―→―→解析：选D

因为AE＝AA1＋A1E＝AA1＋A1C1＝AA1＋(AB＋AD)，所以x＝1，y441＝. 43．给出下列命题：

―→―→―→―→①若A，B，C，D是空间任意四点，则有AB＋BC＋CD＋DA＝0；

②|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共线的充要条件；

―→―→③若AB，CD共线，则AB∥CD；

―→―→―→―→④对空间任意一点O与不共线的三点A，B，C，若OP＝x

OA＋y

OB＋z

OC

(其中x，y，z∈R)，则P，A，B，C四点共面．

其中不正确命题的个数是(

) A．1

C．3 B．2 D．4 解析：选C

显然①正确；若a，b共线，则|a|＋|b|＝|a＋b|或|a＋b|＝||a|－|b||，故②错―→―→误；若AB，CD共线，则直线AB，CD可能重合，故③错误；只有当x＋y＋z＝1时，P，A，B，C四点才共面，故④错误．故选C. ―→―→―→―→4．对于空间任一点O和不共线的三点A，B，C，若有OP＝xOA＋yOB＋zOC，则“x＋y＋z＝1”是“P，A，B，C四点共面”的(

) A．必要不充分条件

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B．充分不必要条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

―→―→―→―→―→―→解析：选B

若x＋y＋z＝1，则OP＝(1－y－z)·OA＋yOB＋zOC，即AP＝yAB＋―→―→―→―→zAC，由共面向量定理可知向量AP，AB，AC共面，所以P，A，B，C四点共面；反之，―→若P，A，B，C四点共面，当点O与点A重合时，OA＝0，x可取任意值，不一定有x＋y＋z＝1，故“x＋y＋z＝1”是“P，A，B，C四点共面”的充分不必要条件．

―→―→y―→z―→5．在平行六面体ABCD-A′B′C′D′中，若AC′＝xAB＋BC＋CC′，则x＋y23＋z＝________. ―→―→―→―→―→解析：在平行六面体ABCD-A′B′C′D′中，AC′＝AB＋BC＋CC′，又AC′＝―→y―→z―→xAB＋BC＋CC′，

23y＝1，∴2z3＝1，答案：6 x＝1，

x＝1，∴y＝2，z＝3，

∴x＋y＋z＝6. ―→―→―→6．设e1，e2是平面上不共线的向量，已知AB＝2e1＋ke2，CB＝e1＋3e2，CD＝2e1－e2，若A，B，D三点共线，则实数k为________．

―→―→―→―→解析：因为BD＝CD－CB＝e1－4e2，AB＝2e1＋ke2，

1－4又A，B，D三点共线，由共线向量定理得＝k，

2所以k＝－8. 答案：－8 7.如图，已知M，N分别为四面体A-BCD的面BCD与面ACD的重心，G为AM上一点，且GM∶GA＝1∶3.求证：B，G，N三点共线．

―→―→―→―→―→―→―→3―→证明：设AB＝a，AC＝b，AD＝c，则BG＝BA＋AG＝BA＋AM

41311＝－a＋(a＋b＋c)＝－a＋b＋c，

4444―→―→―→―→1―→―→BN＝BA＋AN＝BA＋(AC＋AD) 3114―→＝－a＋b＋c＝BG，

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―→―→∴BN∥BG. 又BN∩BG＝B，∴B，G，N三点共线．

8.如图所示，已知四边形ABCD是平行四边形，点P是ABCD所在平面外的一点，连接PA，PB，PC，PD.设点E，F，G，H分别为△PAB，△PBC，△PCD，△PDA的重心．

(1)试用向量方法证明E，F，G，H四点共面；

(2)试判断平面EFGH与平面ABCD的位置关系，并用向量方法证明你的判断．

证明：(1)分别连接PE，PF，PG，PH并延长，交对边于点M，N，Q，R，连接MN，NQ，QR，RM，

∵E，F，G，H分别是所在三角形的重心，∴M，N，Q，R是所在边―→2―→―→2―→―→2―→―→2―→的中点，且PE＝PM，

PF＝PN，

PG＝PQ，

PH＝PR.由题3333意知四边形MNQR是平行四边形，

―→―→―→―→―→―→―→∴MQ＝MN＋MR＝(PN－PM)＋(PR－PM) 3―→―→3―→―→＝(PF－PE)＋(PH－PE) 223―→―→＝(EF＋EH)．

2―→―→―→3―→3―→3―→又MQ＝PQ－PM＝PG－PE＝EG. 222―→―→―→∴EG＝EF＋EH，

由共面向量定理知，E，F，G，H四点共面．

(2)平行．证明如下：

―→3―→―→―→―→由(1)得MQ＝EG，∴MQ∥EG，∴EG∥平面ABCD. 2―→―→―→3―→3―→3―→又MN＝PN－PM＝PF－PE＝EF，

222―→―→∴MN∥EF.即EF∥平面ABCD. 又∵EG∩EF＝E，∴平面EFGH与平面ABCD平行．

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