3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示教学活动设计方案

空间向量的正交分解及其坐标表示

张君城

一、教学背景分析

（一）教学内容解析

本节课是《普通高中课程标准实验教科书数学》人教A版选修2-1第三章《空间向量与立体几何》的3.1.4节《空间向量的正交分解及其坐标表示》属于新授课. 本章知识结构

空间向量的定

义及其运算

《空间向量的正交分解及其坐标表示》属于空间向量及其运算部分中的第四节内容，位置处于在空间向量加减运算、数乘运算、数量积运算之后，坐标运算之前，意义十分明显，就是借助空间向量基本定理的建立，从而得出空间向量坐标的定义，从而完成从向量到坐标的转化，进而为后面的立体几何问题的解决服．．．．．．．．．务. 但同时，学生已经在之前的必修4中学***面向量的相关知识.

空间向量运算的几何表示

（如平行四边形法则）

用空间向量表示点、直线、平面等元素

建立空间图形与空间向量的联系

利用空间向量的运算解决立体集合中的问题

空间向量运算的坐标表示

（加减法、数乘、数量积）

因此，按照教学参考的教学建议，“宜多引导学生与平面向量及其运算作类比，．．引导学生体会与平面向量及其运算有什么联系与区别，让学生经历向量由平面向空间推广的过程，使学生体会其中的数学思想方法：类比与归纳，体验数学在结．．．．．．构上的和谐性与在推广过程中的问题，同时教学过程中，还应注意维度增加所带．．．．．．．．来的影响.”

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“又因为教材在本章专门安排了一个‘阅读与思考

向量概念的推广与应用’，把二维向量，三维向量，推广为高维向量，并说明了其应用. 有条件的地区，可．．以引导学生学习这个阅读材料，将空间向量的有关性质向多维推广.”

．．．．而事实上，之前学生所学习的向量共线定理，本质也是一样的，因此，仔细研究教材的编写意图，我们会发现这节课在整个高中向量课程教学中起到了一个．．．．重要的承上启下的作用，即：完成了从必修4到选修2-1中的向量共线定理，平．．．．面向量基本定理，空间向量基本定理对比与统一，同时通过教材的阅读与思考环．．．．．．．．．．节，又将学生带入了高维向量的世界，完成了一个学生对于不同维度下向量空间结构的认识的升华过程，巧妙至极！ ．．（二）学生学情分析

本节课授课的对象是高二年级的学生，他们已掌握了平面向量的基本原理，虽然具备一定的分析和解决问题的能力，逻辑思维也初步形成，但在把向量推广到空间中缺乏冷静、深刻，思维具有片面性、不严谨的特点，对问题解决的一般性思维过程认识比较模糊。因此，我设置本节课的教学重点和难点如下：

重点：学生通过平面向量的类比与归纳，得到空间向量基本定理的表述形式，以及选择特殊的单位正交基底，通过正交分解得到空间向量的坐标定义. 难点：类比过程中空间向量基本定理分解的唯一性的证明，与坐标定义中选择单位正交基底的合理性．

二、教学目标设置

依据课程标准，同时基于上述分析，我确定本节课的教学目标如下：

1、

通过类比平面向量基本定理理解空间向量基本定理的建立过程，掌握定理的．．表述形式；

2、

理解如何通过反证法，证明分解的唯一性；

3、

体会根据具体问题选择基底的重要性，特别是正交分解对于处理向量数量积．．．问题的意义所在；

．．4、

掌握空间向量的坐标定义，并能写出给定的空间向量的坐标；

5、

体会向量共线定理，平面向量基本定理，空间向量基本定理之间的内在联系，体会不同维度的向量空间之间的结构异同点，了解高维向量定义的合理性与必要性，并将本节课所获得的结果，在高维向量空间作简单的推广，培养学．．．．．．．．生的类比归纳能力.

2

三、教学过程

教学

环节

教学设计

教学内容

教师活动

学生活动

设计

意图

课复***面向量基本定理：

前复平面向量的坐标表示：

习

启发引导

探究探究任务二：结合空间向量基本定理，新类比平面向量正交分解及坐标表示，归知

纳：

例1：如图，M,N分别是四面体OABC的边OA,BC的中点，P,Q是MN的三等分点，用OA，OB，OC表示OP和OQ.

例题讲解

例2. 正方体ABCDA1B1C1D1的棱长

探究任务一：空间向量基本定理

通过复习引入，使学生回忆平面向量基本定理自主复习

及坐标表示，为推广到空间向量做准备。

学生体会类比、推广思想，尝试、归纳、总结培养学生分析问题和解决问题的能力．

引导、强调

自学、探究

引导

学生体会类比、归纳思想，尝试、总结培养学自主归纳

生归纳总结能力．实现从正交分解到直角坐标系的转换。

利用前面的所学知识，独立思考完成。

利用前面的所学知识，独立思考完成。

回忆总结所学知识，加深印象。

进一步使学生熟悉空间向量基本定理，提高学生的运算能力。

→→→→→

为2，以A为坐标原点，以AB，AD，AA1为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系，设向量i，j，k为x轴、y轴、z

轴正方向的单位向量，用向量i，j，k表示向量AC1和BD1。

→→→进一步强化学生对向量坐标表示的理解。

→→课

堂

1、空间向量正交分解及坐标表示

小

2、数学思想方法：类比，推广，归纳。

结

课堂练习

作业

整理、归纳所学知识，完善学生的认知结构，明确本节学习内容。

巩固提高本节学习内容

巩固知识，增强学生的求知欲。

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布置

四、反思

本节课的教学过程设置，先是从必修4中的平面向量基本定理出发，得到了本节课所需讲授的空间向量基本定理，然后通过引导学生进行大胆地猜想与推广，最后又回到课本，利用课本后续的“阅读与思考”内容，完成学生心目中的疑问的解答，成功地将高中教材中属于两本课本的高一与高二的学习内容，以及同一课本的课堂教学与课后阅读内容，进行了有机的整合，从而让学生通过教材的使用，充分体会到了知识之间的联系，也学习到了更为完整的数学.

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