1.1.2 四种命题教学实录及点评

1.1.2

四种命题

1．1.3

四种命题间的相互关系

一、基础过关

π1．命题“若α＝，则tan α＝1”的逆否命题是

4πA．若α≠，则tan α＝1 4πB．若α＝，则tan α≠1 4πC．若tan α≠1，则α≠

4πD．若tan α≠1，则α＝

42．设a，b是向量，命题“若a＝－b，则|a|＝|b|”的逆命题是

A．若a≠－b，则|a|≠|b| B．若a＝－b，则|a|≠|b| C．若|a|≠|b|，则a≠－b

D．若|a|＝|b|，则a＝－b

3．命题“若a>－3，则a>－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为

A．1

(

)

(

)

(

) B．2

C．3

D．4

(

) 4．以下说法错误的是

A．如果一个命题的逆命题为真命题，那么它的否命题也必为真命题

B．如果一个命题的否命题为假命题，那么它本身一定为真命题

C．原命题、否命题、逆命题、逆否命题中，真命题的个数一定为偶数

D．一个命题的逆命题、否命题、逆否命题可以同为假命题

5．“如果x、y∈R且x2＋y2＝0，则x、y全为0”的否命题是

A．若x、y∈R且x2＋y2≠0，则x、y全不为0 B．若x、y∈R且x2＋y2≠0，则x、y不全为0 C．若x、y∈R且x、y全为0，则x2＋y2＝0 D．若x、y∈R且xy≠0，则x＋y≠0 6．命题“正数的绝对值等于它本身”的逆命题是_______________，这是________命题．

7．下列命题中：

(

)

①若一个四边形的四条边不相等，则它不是正方形；

②正方形的四条边相等；

③若一个四边形的四条边相等，则它是正方形．

其中互为逆命题的有__________；互为否命题的有________；互为逆否命题的有________．(填序号) 8．写出命题“已知a，b∈R，若a2>b2，则a>b”的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假．

二、能力提升

9．给出命题：若函数y＝f(x)是幂函数，则函数y＝f(x)的图象不过第四象限，在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是

A．3

B．2

C．1

D．0

(

) 10．有下列四个命题，其中真命题有：

①“若x＋y＝0，则x、y互为相反数”的逆命题；

②“全等三角形的面积相等”的否命题；

③“若q≤1，则x2＋2x＋q＝0有实根”的逆命题；

④“不等边三角形的三个内角相等”的逆否命题．

其中真命题的序号为

A．①②

B．②③

(

) C．①③

D．③④

11．给定下列命题：

①若k>0，则方程x2＋2x－k＝0有实数根；

②若x＋y≠8，则x≠2或y≠6；

③“矩形的对角线相等”的逆命题；

④“若xy＝0，则x、y中至少有一个为0”的否命题．

其中真命题的序号是________．

12．判断命题：“若b≤－1，则关于x的方程x2－2bx＋b2＋b＝0有实根”的逆否命题的真假．

三、探究与拓展

13．已知函数f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，a、b∈R，对命题“若a＋b≥0，则f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)．”

(1)写出逆命题，判断其真假，并证明你的结论；

(2)写出逆否命题，判断其真假，并证明你的结论．

答案

1．C

2.D

3.B

4．B

5．B

6．如果一个数的绝对值等于它本身，那么这个数一定是正数

假

7．②和③

①和③

①和②

8．解

逆命题：已知a，b∈R，若a>b，则a2>b2；

否命题：已知a，b∈R，若a2≤b2，则a≤b；

逆否命题：已知a，b∈R，若a≤b，则a2≤b2. ∵原命题是假命题，

∴逆否命题也是假命题．

∵逆命题是假命题，

∴否命题也是假命题．

9．C

10．C

11．①②④

12．解

(利用原命题)因为原命题与逆否命题真假性一致，所以只需判断原命题真假即可．

方程判别式为Δ＝4b2－4(b2＋b)＝－4b，因为b≤－1，所以Δ≥4>0，故此方程有两个不相等的实根，即原命题为真，故它的逆否命题也为真．

13．解

(1)逆命题：若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋b≥0，为真命题．

由于逆命题与否命题具有相同的真假性，因此可转化为证明其否命题为真，即证明“若a＋b<0，则f(a)＋f(b)

因为a＋b<0，则a<－b，b<－a. 因为f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数，

则f(a)

所以f(a)＋f(b)

因此否命题为真命题，即逆命题为真命题．

(2)逆否命题：若f(a)＋f(b)

因为一个命题的真假性与它的逆否命题的真假性相同，所以可证明原命题为真命题．

因为a＋b≥0，所以a≥－b，b≥－a. 又因为f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，所以f(a)≥f(－b)，f(b)≥f(－a)．

所以f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)．

所以逆否命题为真命题．