3.1.3 空间向量的数量积运算教学设计第一课时

3.1.3

空间向量的数量积运算

知识与技能

1．掌握空间向量夹角的概念及表示方法；

2．掌握两个向量数量积的概念、性质和计算方法及运算律；

3．掌握两个向量数量积的主要用途，会用它解决立体几何中的一些简单问题．

过程与方法

1．运用类比方法，经历向量的数量积运算由平面向空间推广的过程；

2．引导学生借助空间几何体理解空间向量数量积运算的意义．

情感、态度与价值观

1．培养学生的类比思想、转化思想，培养探究、研讨、综合自学应用能力；

2．培养学生空间向量的应用意识．

重点难点

教学重点：

1．空间向量的数量积运算及其运算律、几何意义；

2．空间向量的数量积运算及其变形在空间几何体中的应用．

教学难点：

1．空间想象能力的培养，思想方法的理解和应用；

2．空间向量的数量积运算及其几何应用和理解．

教学过程

回顾：平面向量数量积定义？

已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a| |b|cosθ叫做a与b的数量积（或内积），记作a·b.

a·b=|a| |b|

cosθ

规定:零向量与任一向量的数量积为0。

数量积的几何意义？

1.两个空间向量的夹角的定义: b,在空间任取一点O,作OAa,OBb,则角如图,已知两个非零向量a、AOB叫做向量a与b的夹角,记作:a,b

⑴范围:0≤a,b≤

a,b=0时,a与b同向; a,b=π时,a与b反向

⑵a,b＝b,a

⑶如果a,b2,则称a与b垂直,记为ab

2.两个空间向量的数量积定义

b,则已知空间两个非零向量a、ababcosa,babcosa,b叫做a、b的数量积,记作ab.

即

注:①两个向量的数量积是数量，而不是向量.

②规定:零向量与任意向量的数量积等于零.

3.两个空间向量数量积的性质

b,e是单位向量有下列性质: 显然,对于非零向量a、①aeacosa,ea；

2②abab0;

③注：

性质②

是证明两向量垂直的依据；

性质③

实现了向量与向量模之间的转换；

4.空间向量数量积满足的运算律

⑴(a)b(ab)

aaa2也就是说aa. ⑵abba(交换律) ⑶a(bc)abac(分配律) 注意：

1.数量积不满足结合律

2.向量有加、减、乘运算，但向量不能做除法. 例1.在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直（三垂线定理）

PA分别是平面的垂线、斜线，AO是PA在平面内的射影，已知:如图,PO、l，且lOA，

求证：lPA

分析：用向量来证明两直线垂直，只需证明两直线的方向向量的数量积

证明：取直线l的方向向量a,同时取向量PO,OA

lOA,aOA0

PO,且l,lPO

aPO0

又因为aPAaPOOAaPOaOA0

所以，lPA

反过来，在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线垂直,那么它也和这条斜线的射影垂直.成立吗？

练习巩固: 1.设a,b,c是任意的非零空间向量,且相互不共线, 则：

①(a·b)c(c·a)b=0

②|a|-|b|<|ab| ③(b·c)a(c·a)b不与c垂直 ④(3a+2b)·(3a2b)=9|a|2- 4b2中,真命题是(

) (A)①②

(B)②③

(C)③④

(D)②④

2.已知向量a,b满足a1,b2,ab3,则ab_____. 3.如图，在空间四边形ABCD中，AB2，

BC3，BD23，CD3，ABD30，

ABC60，求AB与CD的夹角的余弦值

小

结：

1、空间向量数量积的定义、性质。

2、空间向量数量积的运算律

3、向量法证明线线、线面垂直;