3.1.3 空间向量的数量积运算评课稿

高二年级

授课时间

数学 课题

§3.1.3空间向量的数量积运算

第 1 课时

授课类型

新授课

2019年7月2日

教

学

目

标

知识与技能：①

掌握空间向量的数量积公式及向量的夹角公式；

②

运用公式解决立体几何中的有关问题。

过程与方法：①

比较平面、空间向量，培养学生观察、分析、类比转

化的能力；

②

探究空间几何图形，将几何问题代数化，提高分析问题、解决问题的能力。

情感态度与价值观：①

通过师生的合作与交流，体现教师为主导、学生为主体的教学模式；

②

通过空间向量在立体几何中的应用，提高学生的空间想象力，培养学生探索精神和创新意识，让学生感受数学，体会数学美的魅力，激发学生学数学、用数学的热情。

空间向量数量积公式及其应用

如何将立体几何问题等价转化为向量问题；在此基础上，通过向量运算解决立体几何问题。

教学重点

教学难点

教学环节及时间分配

教学过程

（教学内容的呈现及教学方法）

学

生

活

动

（学习活动的设计）

设

计

意

图

复习引入

一、回顾平面向量数量积的相关内容：

3分

①

平面向量的夹角；

②

空间向量的数量积；

1）

两个向量的夹角的定义

如图，已知两个非零向量a,b.在空间任取一点O，

作OAa,OBb,则角AOB叫做向量a与b的夹角，合作

记作：a,b探究

8分

a

bb

范围：0a,b在这个规定下，两向量的夹角就

被唯一确定了，并且a,b＝b,a

如果a,b,则称a与b互相垂直，并记作：ab2

2）两个向量的数量积

注意：

①两个向量的数量积是数量，而不是向量；

②零向量与任意向量的数量积等于零；

：类比平面向量

的几何意义，空间中

的几何意思是什么？

答：空间中

的几何意义是

的长度|a|

与

在的方向上的投影

||cos θ的乘积．

3)空间向量的数量积性质

二、讲授新课

aA B 已知两个非零向量a,b,则abcosa,b叫做a,b的数量积，记作ab.即：ababcosa,b思考ababbabab以问题的形式引导学生回顾

复习前面

所学的平

面向量的

相关知

识，为学类比平习好空间面向量向量做好铺垫。

的数量

积的有明确空间关概念、向量夹角计算方的概念

法和运

算律推让学生对导出空空间向量数量积有间向量更深的理的数量解

积的有

关概念、

计算方

法和运

力求改变算律

单一、被

动的学习

方式，让

学生成为结合复学习的主习过的人，给他知识，学们提供一生探究个自主探索学习的讨论

机会.

让学生对

两个问题学生探进行对比究交流分析，强讨论。

化对空间

向量的数量积运算

的理解.

学生口答

对于非零向量

a,

b

有：

练习强化

6分钟

2

注意：

①性质2）是证明两向量垂直的依据；

点拨提升

6分钟

②性质3）是求向量的长度（模）的依据；

4)空间向量的数量积满足的运算律

注意：数量积不满足结合律

已知空间四边形ABCD的每条边和对角线

长都等于a，如图所示，点E，F分别是AB，AD

的中点，求：

→→(1)AB·AC；

→→(2)EF·BC.

1)aeacosa,e2)abab0aa3)a

结合平面向量的学习，让学生自学、探究对学生可能出现的问题，组织学生讨论、交流、纠正

1)(a)b(ab)2)abba(交换律）3）a(bc)abac(分配律）（ab)ca(bc)典例分析

类比于

平面向

量，空间

向量又

有哪些

性质及

满足哪

些运算

律？

学生分

组讨论、

纠正、

争辩，合

作交流

交流问

题，给每不同层次一个学的题目，生表现层层递个人的进，不断机会。

提高学生的能力。

不仅巩固

新学的知

→→→→→→【解】

(1)AB·AC＝|AB||AC|cos〈AB，AC〉

21a

＝a×a×＝. 22

(2)∵E，F分别为AB，AD的中点，

→1→∴EF＝BD. 能力提升

215分钟

→→1→→∴EF·BC＝BD·BC

2

11

＝×a×a×

222

a＝.

4

解：∵CDBDBC，

∴ABCDABBDABBC

|AB||BD|cosAB,BD

|AB||BC|cosAB,BC

ABCD31，

∴cosAB,CD

2|AB||CD|23

∴与的夹角的余弦值为．

总结

评价

2分钟

王新敞奎屯新疆

学生板演3、4，注重步骤。

例2.如图，在空间四边形ABCD中，AB2，BC3，BD23，CD3，ABD30，ABC60，求AB与CD的夹角的余弦值

223cos15023cos120633ABCD12识，而且让不同层次的学生得到不同的收获. 通过典型

例题让学

生理解本学生完节的知识成

点

鼓励学

生先尝

试分析。

学生展

示

应用整

合，强化

新知

培养学生

总结归纳

的能力

使不同的

学生得到

不同的锻

炼

作业可以

反映学生

对本节知学生总识的掌握结归纳程度。可所学知根据作业识

情况，强

化训练。

布置

作业

D'C'

A'B'|AC|2(ABADAA)2D|AB|2|AD|2|AA|2C2(ABADABAAADAA)AB

4232522(0107.5)85|AC|85.四、课堂小结

通过学习, 我们可以利用向量数量积解决立体几何中的以下问题：

1、证明两直线垂直; 2、求两点之间的距离或线段长度; 3、求两直线所成角. 五、作业

必做题：P92 练习1、2、3 选做题： A组 1、2、3、4

板

书

设

计

§3.1.3空间向量的数量积运算

1. 两个向量的夹角

2. 两个向量的数量积

3.数量积的性质

4.数量积满足的运算律

例题解答

教学反思