习题2.1教学设计第一课时

椭圆及其标准方程

教学目标：

知识与技能目标：

掌握椭圆的定义及其标准方程，能正确推导椭圆的标准方程．

过程与方法目标：

培养学生的动手能力、合作学习能力和运用所学知识解决实际问题的能力；培养学生运用类比、分类讨论、数形结合思想解决问题的能力．

情感、态度与价值观目标：

激发学生学习数学的兴趣、提高学生的审美情趣、培养学生勇于探索，敢于创新的精神．

教学重点：椭圆的定义和椭圆的标准方程．

教学难点：椭圆标准方程的推导．

教学方法：探究式教学法，即教师通过问题诱导→启发讨论→探索结果，引导学生直观观察→归纳抽象→总结规律，使学生在获得知识的同时，能够掌握方法、提升能力．

教具准备：多媒体课件和自制教具：绘图板、图钉、细绳．

教学过程：

（一）设置情景，引出课题

1、观看生活中有关椭圆的图片

2、2005年10月12日上午9时，“神州六号”载人飞船顺利升空，实现多人多天飞行，标志着我国航天事业又上了一个新台阶。

请问：“神州六号”飞船的运行轨道是什么？多媒体展示“神州六号”运行轨道图片．

（二）小组合作，形成概念

1、如何画椭圆呢？

“神州六号”飞船运行的轨迹是一个椭圆，这个轨迹是科学家事先计算好的一个椭圆，请问我们如何来画出椭圆呢？

自己动手试试看:取一条定长的细绳，把它的两端固定在画板上的F1 和F2 两点，用铅笔尖把细绳拉紧,使铅笔尖在图板上缓慢移动,仔细观察,你画出的是一个什么样的图形呢? （学生上黑板动手画椭圆）

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动画演示椭圆形成过程．

2、回顾画椭圆的过程，思考：

（1）在移动过程中，满足什么条件？

（2）改变两图钉之间的距离，使其与绳长相等，画出的是什么？

（3）当绳长小于两图钉之间的距离时，画出的是什么？

学生经过动手操作→独立思考→小组讨论→共同交流的探究过程，得出结论：

椭圆的定义：平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆．

这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距．（一般用2c表示）

注意: 1）

必须在平面内; 2）|MF1|+|MF2|>|F1F2|

椭圆

3）|MF1|+|MF2|=|F1F2|

线段

4)| |MF1|+|MF2|<|F1F2|

无轨迹

3、牛刀小试，巩固定义

1.已知定点, F1，F2且| F1F2|=8,动点P满足PF1PF28,则动点P的轨迹是（

）

A 椭圆

B 圆

C 直线

D 线段

2.已知定点, F1，F2且| F1F2|=6,动点P满足PF1PF28,则动点P的轨迹是（

）

A 椭圆

B 圆

C 直线

D 线段

（三）椭圆标准方程的推导：

1．如何求椭圆的方程？

回顾：求曲线方程的一般步骤：建设限代化

探求建立平面直角坐标系的方案

教师动画演示多种建系方法,最终总结为2个方案：

①以F1,F2所在直线为x轴，以线段F1F2的垂直平分线为y轴

②以F1,F2所在直线为y轴，以线段F1F2的垂直平分线为x轴

（建立平面直角坐标系通常遵循的原则：“对称”、“简洁”）

选定第一种方案：

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①建系：以F1,F2所在直线为x轴，以线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系x0y。

②设点：设P(x1,y)是椭圆上任意一点，为了使F1,F2的坐标简单及化简过程不那么繁杂，设|F1F2|=2c(c>0)，则F1(-c,0),F2(c,0)

③列式：椭圆上的点满足PF1+PF2为定值，设为2a，则2a>2c |MF1|+|MF2|=2a

∴(x+c)2+y2+(x-c)2+y2=2a,

④化简：（这里，教师为突破难点，进行设问：我们怎么化简带根式的式子？对于本式是直接平方好还是整理后再平方好呢？）

(x+c)2+y2=2a-(x-c)2+y2

两边平方，得：(x+c)2+y2=4a2-4a(x-c)2+y2+(x-c)2+y2

即:

a2-cx=a(x-c)2+y2

两边平方，得：a4-2a2cx+c2x2=a2(x-c)2+a2y2

整理，得：

(a2-c2)x2+a2y2=a(2a-2

)c令a2-c2=b2(b>0)，则方程可简化为：b2x2a2y2a2b2

x2y2整理成：

221(ab0)

即椭圆的标准方程

ab表示：①焦点在x轴上；

②焦点是F1(c,0),F2(c,0)

222cab③

讨论：如果以F1,F2所在直线为y轴，线段F1F2的垂直平分线为x轴，建立直角坐标系，焦点是F1(0,c),F2(0,c)，椭圆的方程又如何呢？

(提示：x轴和y轴交换）

y2x2

221(ab0)

为椭圆的另一标准方程

aby F2P表示：①焦点在y轴上；

c),F2(0，c)

②焦点是F1(0，x F1

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③c2a2b2

引导学生思考：已知椭圆标准方程，如何判断焦点位置？

讨论得出：看x2，y2的分母大小，哪个分母大就在哪一条轴上．

2.

总结：

椭圆的标准方程

y y

F

P

图像

x

x

F

标准x2y2y2x21(ab0)

1(ab0)

方程

a2b2a2b2

（1）方程的左边是两项平方和的形式，等号的右边是1；

方程（2）在椭圆两种标准方程中，总有a>b>0；

特点

（3）焦点在大分母变量所对应的那个轴上；

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（4）a,b,c关系a2b2c2

（四）课堂练习

1. 热身练习，加深理解

判断下列椭圆的焦点在何轴上，且指出a,b,c x2y2（1）194

在x轴上，a3,b2,c5

x2y2（2）11625

在y轴上，a5,b4,c3

（3）3x4y12

（提示：化成标准方程）

在x轴上，a2,b3,c1

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2. 综合应用，提升能力

x2椭圆y21上一点P到一个焦点的距离为2，则点P到另一个25

焦点的距离为（

）

A 5

B 6

C 7

D 8

答案：D

变式训练：

x2y2P为椭圆1上一点，F1,F2为焦点，则PF1F2周长为43

答案：6

（五）课堂小结

（六）作业布置

《同步导练》

[板书设计] 椭圆及其标准方程

一

椭圆的定义

二

椭圆的标准方程

椭圆标准方程的推导

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例一

例二

学习的过程是一个将外界的新信息不断搭建在已有知识上的过程，是认知结构发生重组和改造的过程。本课在设计中充分考虑到了学生的这一实际情况及学生的认知规律。为了突破重点，在教学设计中采用了循序渐进、逐层推进的方法：先用多媒体演示神州六号飞船绕地球运行的轨道图片形象地给出椭圆，使学生对椭圆有一个直观的了解；再让学生自己举例、动手操作“定性”地画出椭圆和探究归纳定义；最后通过坐标法“定量”地描述椭圆。这种从感性到理性地抽象概括，从而形成概念，推出方程的过程符合学生的认知规律。为使学生更好地掌握椭圆的标准方程。

为突破难点，在设计中通过课堂精心设问：①教师问：化简含有根号的式子时，我们通常有什么方法？②教师问：对于本式是直接平方好呢还是恰当整理后再平方？这样，椭圆方程的化简这一难点也就迎刃而解了。

爱因斯坦说过：“单纯的专业知识灌输只能产生机器，而不可能造就一个和谐发展的人才”，因此数学学习的核心是思考，离开思考就没有真正的数学。针对这节课的问题，教师边演示，边提问，让学生边观察，边思考，边讨论，最大限度地调动学生积极参与教学活动，在教学难点处适当放慢节奏，给学生充分的时间进行思考与讨论，教师适时给予适当的思维点拨，必要的可进行大面积提问，让学生做课堂的主人，充分发表自己的意见。这样既有利于化解难点、突出重点，也有利于充分发挥学生的主体作用，使课堂气氛更加活跃，让学生在生生互动、师生互动中掌握知识，提高解决问题的能力。

说 明

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