1.4.2 存在量词第二课时教案

1.4.2存在量词教学设计

教学目标：

1.知识与技能．

通过生活和数学中的丰富实例理解存在量词的含义，熟悉常见的存在量词；了解特称命题的含义，能用数学符号表示特称命题并判断其真假性．

2.过程与方法．

通过实例初步了解概念，通过探究深入理解概念的实质，关键是要培养学生分析问题、解决问题和转化问题的能力. 3.情感态度价值观．

通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣；用有现实意义的实例，激发学生的学习兴趣，培养学生勇于探索、善于发现的创新精神. 教学重点：通过实例理解存在量词的概念含义. 教学难点：对含有量词的命题（特称命题）真假的判定. 教学方法：三步六环节有效教学模式

在“导学探讨•质疑领悟•训练提升”三步的引领中，组织进行教师主导、学生探究的“问题导学，合作探究；自学质疑，点拨领悟；跟踪训练，拓展提升”六个环节的有机组合教学. 教学过程：

【问题导学】回顾所学，引入新知学习．

1.什么是全称量词？什么是全称命题？ 2.找出下列命题的共同特征，并判断其真假．

(1)存在x0∈R，x20≤0； (2)有些三棱锥是正四面体．

【自学质疑1】学习存在量词和特称命题．

(1)存在量词及特称命题：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示．含有存在量词的命题，叫做特称命题．

(2)表示：特称命题“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”可用符号简记为∃x0∈M，p(x0)，读作“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”．

(3)特称命题的真假判定：要判定一个特称命题是真命题，只需在集合M中找到一个元素x0，使p(x0)成立即可，否则这一特称命题就是假命题．

【自学质疑2】根据学习的概念判断下列语句的对错．

(1)“有些”“某个”“有的”等短语不是存在量词．(×) (2)全称量词的含义是“任意性”，存在量词的含义是“存在性”．(√) (3)全称命题中一定含有全称量词，特称命题中一定含有存在量词．(×) 【合作探究1】判断命题的类型（是否为特称命题） 例1

将下列命题用“∀”或“∃”表示，并判断其类型．

(1)实数的平方是非负数；

(2)方程ax2＋2x＋1＝0(a＜1)至少存在一个负根．

解

(1)∀x∈R，x2≥0；

(2)∃x0＜0，ax20＋2x0＋1＝0(a＜1)．

【点拨领悟1】

判断一个命题类型的关键是看量词.由于某些全称命题的量词可能省略，所以要根据命题表达的意义判断，同时要会用相应的量词符号正确表达命题．

【跟踪训练1】判断下列命题是全称命题还是特称命题．

(1)梯形的对角线相等；

(2)存在一个四边形有外接圆；

(3)二次函数都存在零点；

(4)过两条平行线有且只有一个平面．

解

(1)完整的表述应为“所有梯形的对角线相等”，很显然为全称命题；

(2)为特称命题；

(3)完整的表述为“所有的二次函数都存在零点”，故为全称命题；

(4)是命题“过任意两条平行线有且只有一个平面”的简写，故为全称命题．

【合作探究2】判断特称命题的真假

例2

判断下列命题的真假．

(1)∃α、β，cos(α－β)＝cosα－cosβ；

(2)存在一个函数既是偶函数又是奇函数；

(3)存在一个实数x0，使等式x20＋x0＋3＝0成立．

ππ解

(1)真命题，例如α＝4，β＝2，符合题意．

(2)真命题，函数f(x)＝0既是偶函数又是奇函数．

(3)假命题，因为该方程的判别式Δ＝－8＜0，故无实数解．

【点拨领悟2】

要判定特称命题“∃x0∈M，p(x0)”是真命题，只需在集合M中找到一个元素x0，使p(x0)成立即可；如果在集合M中，使p(x)成立的元素x不存在，那么这个特称命题就是假命题．

【跟踪训练2】判断下列命题的真假．

(1)有一些奇函数的图象过原点；

2(2)∃x0∈R，2x0＋x0＋1<0．

解

(1)该命题中含有“有一些”，是特称命题．如y＝x是奇函数，其图象过原点，故该命题是真命题．

1277x＋＋≥>0，

(2)该命题是特称命题．∵2x2＋x＋1＝20004882∴不存在x0∈R，使2x0＋x0＋1<0．故该命题是假命题．

【合作探究3】根据命题求参数的值或取值范围

例3

若存在x0∈R，使a x20 +2x0+a=0，求实数a的取值范围．

解

当a =0时，x0=0满足题意；当a≠0时，由题意知方程ax2+2x+ a =0有实数根，Δ＝22－4 a2



0．∴－1≤a <0或0< a≤1．综上可知：－1≤a≤1．

【点拨领悟3】

1．含量词的命题求参数的取值范围，一定要辨清参数，恰当选取主元，合理确定解题思路；

2．解此类问题的关键是根据含量词命题的真假转化为相关数学知识，利用函数、方程、不等式等知识求解参数的取值范围．同时，要注意变量取值范围的限制．

【跟踪训练3】已知命题p：“∃x0∈R，sin x0＜m”，命题q：“∀x∈R，x2＋mx＋1＞0恒成立”，若p∧q是真命题，求实数m的取值范围．

解

由于p∧q是真命题，则p，q都是真命题．因为“∃x0∈R，sinx0＜m”是真命题，所以m＞－1．又因为“∀x∈R，x2＋mx＋1＞0恒成立”是真命题，所以Δ＝m2－4＜0，解得－2＜m＜2．综上所述，实数m的取值范围是(－1，2)．

【拓展提升】

1．下列命题中，既是真命题又是特称命题的是(

) .答案：A

πA．存在一个α，使tan(90°－α)＝tanα；B．存在实数x0，使sin x0＝2；

C．对一切α，sin(180°－α)＝sinα；

D．任意α，β，sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ．

22．若命题“∃x0∈R，使得

x

0

0



2

m



5

”为假命题，求实数m的取值范围．



mx

0解 原命题为真命题时，则x2+mx+2m+5<0有解．所以，Δ＝m2－4 (2m+5)>0，解2m10．

得m<－2或m>10 ．所以，原命题为假命题时， 【点拨领悟】利用含量词的命题的真假求参数取值范围的技巧．

(1)转化为恒成立问题：含参数的全称命题为真时，常转化为不等式的恒成立问题来处理，最终通过构造函数转化为求函数的最值问题；

(2)转化为方程或不等式有解问题：含参数的特称命题为真时，常转化为方程或不等式有解问题来处理，最终借助根的判别式或函数等相关知识获得解决．

【课后作业】

1.熟读课文内容；2.习题1.4

A组

第2题

【课后反思】