3.1.1 空间向量及其加减运算优秀教案

《空间向量及其加减运算》教学设计

一、教学目标

知识与技能：理解空间向量的概念，掌握空间向量的加减运算及其运算律，并能借助图形理解空间向量加减运算及其运算律的意义。

过程与方法：经历向量由平面向空间推广的过程，让学生感受一个数学概念的推广可能带来的很多更好的性质，体会数形结合的数学思想方法，进一步培养学生归纳、类比、迁移能力，增强学生的数学应用意识和创新意识。

情感态度与价值观：经历向量由平面向空间推广的过程，体验数学在结构上的和谐性，激发学生的学习热情，培养学生勇于探索、创新的个性品质。

二、重点难点

重点：空间向量的概念、加减运算的意义及其运算律。

难点：空间向量加法的运算律。

三、教学方法

采用“启发探究”式教学方法，结合多媒体辅助教学。

四、教学过程

(一)创设情境，引入课题

师：在必修4中我们学习了一个新的量一向量，今天就让我们继续来研究它，

首先，请看屏幕。

出示幻灯片，引导学生观察几个向量不共面的情况。

幻灯片1：著名的台球神童——丁俊晖!大家请看他好像遇到了难题?你能帮助他解决吗?

幻灯片2：这是荆州长江大桥，斜拉索与A型塔柱的受力情况。

幻灯片3：一正三角形钢板，三顶点用等长的绳子绑起，在力F的作用下静止，三根绳子的受力情况如何?

(二)类比猜想，自主探究

1、空间向量的有关概念

师：请同学们回忆一下在平面向量中学习的有关概念。

活动设计：学生回答，互相补充

向量、模(长度)、表示方法、共线(平行)向量、相等向量、相反向量、零向量、单位向量。

师：在空间中，这些概念与平面向量完全相同。不同的是，平面向量仅限于研究同一平面的平移，而空间向量研究的是空间的平移。

问题1：空间任意两个向量是否可能异面?为什么?

活动设计：课件展示，学生讨论、作答

师：空间任意两个向量都可以平移到同一个平面内。因此凡是涉及空间任意两个向量的问题，平面向量中有关结论仍适用于它们。

2、空间向量的加减运算及其运算律

问题2：把平面向量的运算推广到空间向量，怎么定义空间向量的加法、减法运算?

问题3：平面内多个向量的加法公式能推广到空间吗?

推广1：首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，即：A1A2+A2A3+A3A4+LL+An-1An=A1An

推广2：首尾相接的若干向量构成一个封闭图形，则它们的和为零向量，即：A1A2+A2A3+A3A4+LL+An-1An=0

活动设计：学生思考，用右边的图验证

问题4：平面向量的加法运算律有哪些?能推广到空间吗?你能验证向量加法结合律吗?

a+b=b+a

(a+b)+c=a+(b+c)

活动设计：引导学生用下面几何体验证，请学生上台作图并讲解

师：(1)由向量加法的交换律和结合律可知：有限个向量求和，交换相加向量的顺序，其和不变，向量的加法可以按任意的组合与任意的次序进行。

(2)三个不共面向量的和，等于以这三个向量为邻边的平行六面体的对角线所表示的向量，这是平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广。请同学们为这个法则起个名。

活动设计：学生阅读教材，思考并回答“探究”提出的问题

(三)数学运用，深化认识

练一练：已知平行六面体

(1)以图中一对顶点构造向量，使它们分别等于

AD1-BD1+AD1

AB1+A1D1+C1C

AD-BA+CC1

(2)用含AB，AD，AA1的式子表示DB1，BD1，A1C

活动设计：学生独立完成，口答

(四)回顾反思，拓展延伸

课堂小结：

师：本节课哪个内容给你留下的印象最深?请一个同学小结一下!

活动设计：请学生小结

师：本节课我们从现实生活中抽象出空间向量，把平面向量的有关概念和加减运算推广到空间向量，这过程中蕴含着一种重要的数学思想——类比，同时我们也可以看到数学是有用的——它来源于生活，又服务于生活。

作业布置：

如图：M，N分别是四面体ABCD的棱AB，CD的中点。

求证：AD+BD=2MN。

五、板书设计