习题4.1名师教学实录

四校联考试卷

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．设A. 若C. 若

2．已知直线l1:x1my2m与l2:2mx4y16平行，则实数m的值是（ ）

A. 1

B. 2

C. 1或2

D. 1或2

3.给定下列四个命题:

①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行,那么这两个平面相互平行;

②若一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直;

③垂直于同一直线的两条直线相互平行;

④若两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直.

其中,为真命题的是(

) A.① 和② B.② 和③ C.③ 和④ D.② 和④

3. 顶点在原点，且过点(4,4)的抛物线的标准方程是（

）

22y4xxA.

B.4y

2222y4xx4yy4xxC.或

D. 或4y

是两条不同的直线，，则，则是两个不同的平面，则下列结论正确的是（ ）

，则

，则

B. 若

D. 若

4．已知命题p:x0R,sinx02；命题q:xR,xx10，则下列结论正确的是（

）

A. 命题pq是假命题

B. 命题pq是真命题

C. 命题pq是真命题

D. 命题pq是真命题

5．几何体三视图如图所示，则几何体的体积为( )

2

A. 32

B. 16

C. 8

D.

6．“方程表示焦点在轴的椭圆”是“”的（）

A. 充分不必要条件

B. 必要不充分条件

C. 充要条件

D. 既不充分也不必要条件

7．已知直线l:4x3ym0(m0)被圆C:x2y22x2y60所截的弦长是圆心C到直线l的距离的2倍，则m等于（ ）

A. -2

B. -3

C. -4

D. -5

x2y28．若椭圆221ab0的右焦点为F，

P是椭圆上一点，若P到F的距离的ab最大值为5，最小值为3，则该椭圆的方程为（ ）

x2y2x2y2x2y2x2y21

B. 1

C. 1

D. 1

A. 16159716994

9．三棱锥PABC中，

PC平面ABC，且ABBCCAPC2，则该三棱锥的外接球的表面积是（

）

A.

10．四棱锥PABCD的底面是一个正方形，

PA平面ABCD,PAAB2,E是棱PA的中点，则异面直线BE与AC所成角的余弦值是

（ ）

1628

B. 4

C.

D.

333

A.

15

B. 51066

C.

D.

532x2y21的左焦点为11．椭圆54，直线与椭圆相交于点M、N，当的周长最大时，

FMN的面积是（

）

A.

B.

C.

D.

12．若直线ykx24与曲线y14x2有两个交点，则实数k的取值范围是

A. 0,5

B. 1213,

C. 3453,

D. 1245,

12二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上) 13．从动点Pa,2向圆C:x1y11作切线，则切线长的最小值为____________. 2214．已知，是椭圆面积为__________．

的两个焦点，为椭圆上一点，且，则的15.若x，y满足约束条件，则的最大值为____________. 216．已知抛物线y2px(p0)的焦点为F，

F关于原点的对称点为P，过F作x轴的垂线交抛物线于M,N两点，给出下列五个结论：

①PMN必为直角三角形；

②PMN必为等边三角形；

③直线PM必与抛物线相切；

④直线PM必与抛物线相交；

⑤PMN的面积为p2.

其中正确的结论是__________．

三．解答题（本大题共6小题，共70分）

17.（本小题满分12分）已知P＝{x|－8x－20≤0}，S＝{x|1－m≤x≤1+m}. （1）是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件，若存在，求出m的取值范围；

（2）是否存在实数m，使x∈P是x∈S的必要不充分条件，若存在，求出m的取值范围.

17.解：（1）由－8x－20≤0可解得－2≤x≤10，

∴

P={x|－2≤x≤10}. ∵

x∈P是x∈S的充要条件，∴

P＝S，

∴∴

∴

这样的m不存在.[来源:Z_xx_k.Com]

（2）由题意知，x∈P是x∈S的必要不充分条件，则S于是有∴

或

P. ∴

m≤3. ∴

当m≤3时，x∈P是x∈S的必要不充分条件.

18．在直角坐标系xOy中，点P到两点(0，－3)、(0，3)的距离之和等于4，设点P的轨迹为C，直线y＝kx＋1与C交于A，B两点．

→→(Ⅰ)写出C的方程；(Ⅱ)若OA⊥OB，求k的值．

18.解析

(Ⅰ)设P(x，y)，由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以(0，－3)，(0，3)为焦点，长半轴为2的椭圆．它的短半轴b＝22－22y故曲线C的方程为x＋＝1. 4(Ⅱ)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，其坐标满足

22yx＋4＝1，

32＝1. y＝kx＋1.消去y并整理得(k2＋4)x2＋2kx－3＝0. 2k3故x1＋x2＝－2，x1x2＝－2. k＋4k＋4→→若OA⊥OB，即x1x2＋y1y2＝0. 而y1y2＝k2x1x2＋k(x1＋x2)＋1. 33k22k2于是x1x2＋y1y2＝－2－2－2＋1＝0. k＋4k＋4k＋41化简得－4k2＋1＝0.所以k＝±

2

19、（杨浦区2016届高三二模）如图，底面是直角三角形的直三棱柱ABCA1B1C1中，

ACBC1AA11，D是棱AA1上的动点. 2(1)证明：DC1BC；

(2)求三棱锥CBDC1的体积.

19、（1）证明：因为直三棱柱ABCA1B1C1中，CC1⊥平面ABC，所以，CC1⊥BC，

又底面ABC是直角三角形，且AC＝BC＝1，所以AC⊥BC，

又ACCC1＝C，所以，BC⊥平面ACC1A1，所以，BC⊥DC1

11321

3（2）VCBDC1VBCDC1＝211

20．(本小题12分)已知P是直线l：3x＋4y＋8＝0上的动点，PA，PB是圆C：x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线，A、B是切点．

(1)求四边形PACB面积的最小值；

(2)直线l上是否存在点P，使∠BPA＝60°？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

【解】

(1)如图所示，△PAC≌△PBC，则有SPACB＝2S△PAC.圆心C(1,1)，半径r＝1.由切线性质得AC⊥PA，则|PA|＝|PC|2－|AC|2，又|AC|＝1，

11∴S△PAC＝2|AC|·|PA|＝2

|PC|2－1. |3＋4＋8|＝3. 9＋16又P在直线l上，则|PC|的最小值是C到直线l的距离d＝1∴S△PAC的最小值为232－1＝2. ∴四边形PACB面积的最小值是22. (2)假设直线l上存在点P满足题意．

∵∠APB＝60°，∴|AP|＝3|AC|＝3，|PC|＝2. 22x－1＋y－1＝4，设P(x，y)，则有

3x＋4y＋8＝0，

整理可得25x2＋40x＋96＝0. ∵Δ＝402－4×25×96<0，

∴这样的点P是不存在的．

220．已知圆C:x2y5，直线l:mxy12m0，

mR.

2（1）求证：对mR，直线l与圆C总有两个不同的交点A,B；

（2）求弦AB的中点M的轨迹方程，并说明其轨迹是什么曲线；

（3）是否存在实数m，使得原C上有四点到直线l的距离为围；若不存在，说明理由.

45？若存在，求出m的范5

（1）圆C:x2y25的圆心为C2,0，半径为5，所以圆心C到直线2l:mxy12m0的距离2m12m1m211m25．

所以直线l与圆C相交，即直线l与圆C总有两个不同的交点；

或：直线l:mxy12m0的方程可化为mx21y0，无论m怎么变化，直线l过定点2,1，由于221215，所以点2,1是圆C内一点，故直线l与圆C总有两个不同的交点．

（2）设中点为Mx,y，因为直线l:mxy12m0恒过定点2,1，

当直线l的斜率存在时，

kAB2y1y，又kMC，

kABkMC1，

x2x22y1y1121，化简得x2yx2．

所以x2x224当直线l的斜率不存在时，中点M2,0也满足上述方程．

1111所以M的轨迹方程是x2y，它是一个以2,为圆心，以为半222422径的圆．

(3) 假设存在直线l，使得圆上有四点到直线l的距离为45，由于圆心C2,0，半径511m2545

5为5，则圆心C2,0到直线l的距离为化简得m24，解得m2或m2．

2m12m1m221．如图中的(1)，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图(2)．

(1)求证：DE∥平面A1CB. (2)求证：A1F⊥BE. (3)线段A1B上是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ？说明理由．

【解】

(1)证明：∵D，E分别为AC，AB的中点，

∴DE∥BC. 又∵DE⊄平面A1CB，

∴DE∥平面A1CB. (2)由已知得AC⊥BC且DE∥BC，

∴DE⊥AC.

∴DE⊥A1D，DE⊥CD. ∴DE⊥平面A1DC. 而A1F⊂平面A1DC，

∴DE⊥A1F. 又∵A1F⊥CD，DE∩CD＝D，

∴A1F⊥平面BCDE，

∴A1F⊥BE. (3)线段A1B上存在点Q，使A1C⊥平面DEQ.理由如下：

如图，分别取A1C，A1B的中点P，Q，则PQ∥BC.

又∵DE∥BC，

∴DE∥PQ. ∴平面DEQ即为平面DEP. 由(2)知，DE⊥平面A1DC，

∴DE⊥A1C. 又∵P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点，

∴A1C⊥DP. ∴A1C⊥平面DEP. 从而A1C⊥平面DEQ. 故线段A1B上存在点Q(中点)，使得A1C⊥平面DEQ.

1x2y222．设椭圆C:221(ab0)的左、右焦点分别为F1、F2,上顶点为A,离心率为,在2abx轴负半轴上有一点B,且BF22BF1.

(1)若过A、B、F2三点的圆恰好与直线x3y30相切,求椭圆C的方程; (2)在(1)的条件下,过右焦点F2作斜率为k的直线l与椭圆C交于M、N两点,在x轴上是否存在点P(m,0),使得以PM,PN为邻边的平行四边形是菱形,如果存在,求出m的取值范围;如果不存在,说明理由.

【答案】解:(1)由题意

c11,得ca,所以F1F2a a22又AF1AF2a 由于BF22BF1为BF2的中点, 1,所以F所以AF1AF2F1F2a 所以ABF2的外接圆圆心为F1(a,0),半径rF1Aa 2又过A、B、F2三点的圆与直线g:x3y30相切, 1a32a解得a2,c1,b2a2c23. 所以2x2y21 所求椭圆方程为43

1x2y21(a>b>0)的离心率为,以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点

22．已知椭圆2＋2＝2ab为顶点的三角形的周长为6.过定点M(0,2)的直线l与椭圆C交于G,H两点(点G在点M,H之间). (Ⅰ)求椭圆C的方程; (Ⅱ)设直线l的斜率是k>0,在x轴上是否存在点P(m,0),使得以PG,PH为邻边的平行四边形是菱形?如果存在,求出m的取值范围,如果不存在,请说明理由.

22题【答案】