1.2.1 充要条件ppt课件课堂实录

§选修1.1.2.2 充要条件

教学目标

1．理解充要条件的意义．

2．会判断、证明充要条件．

学习内容

知识梳理

1．充要条件

命题“若p，则q”为真时，就记作p⇒q，称p是q的充分条件，同时称q是p的必要条件，因此判断充分条件或必要条件就归结为判断命题的真假．

若A⇒B且B⇒A，则称A是B的充要条件．也说A等价于B，即A⇔B．

例题讲解

题型一

充分条件、必要条件与充要条件的判断

例1

在下列各题中，哪些p是q的充要条件？

(1)在△ABC中，p：sin A>sin B，q：tan A>tan B. (2)p：两直线平行，q：内错角相等；

(3)p：直线l与平面α所成角大小为90°，q：l⊥α；

(4)函数f(x)＝logax(a>1)，p：f(x1)>f(x2)，q：x1>x2>0.

解析：在(1)中取∠A＝120°，∠B＝30°，p /q，又取∠A＝30°，∠B＝120°，q /p，所以p是q的既不充分也不必要条件．在(2)(2)(4)中，p⇔q，所以(2)(3)(4)中的p是q的充要条件．

点评：判断充要条件的三种方法．

(1)定义法：首先分清条件和结论，由条件可推出结论，条件是结论成立的充分条件；由结论可推出条件，则条件是结论成立的必要条件．

(2)从集合角度解释，利用集合间的包含关系判断：若A⊆B，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若B⊆A，则A是B的必要条件或B是A的充分条件；若A＝B，则A、B互为充要条件．

(3)等价法：即利用等价关系“A⇒B⇔﹁B⇒

﹁

A”判断，对于条件或结论是不等关系(或否定式)的命题，一般运用等价法．

1

巩

固

指出下列各题中，p是q的什么条件(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分又不必要条件”中选出一种作答)．

(1)在△ABC中，p：∠A>∠B，q：BC>AC. (2)对于实数x，y，p：x＋y≠8，q：x≠2或y≠6.

(3)已知x，y∈R，p：(x－1)2＋(y－2)2＝0，q：(x－1)·(y－2)＝0.

解析(1)在△ABC中，显然有∠A >∠B⇔BC > AC，所以p是q的充要条件．

(2)因为x＝2且y＝6⇒x＋y＝8，即﹁q⇒﹁

p，但﹁p﹁q，所以p是q的充分不必要条件．

B，所以p是q的充分不必要条件．

(3)因为p：A＝{(1,2)}，q：B＝{(x，y)|x＝1或y＝2}，所以A

题型二

充要条件的证明

例2

设x，y∈R，求证：|x＋y|＝|x|＋|y|成立的充要条件是xy≥0．

证明：充分性：如果

xy＝0，那么：①

x＝0，y≠0；②

x≠0，y＝0；③

x＝0，y＝0. 于是|x＋y|＝|x|＋|y|. 如果xy＞0，即x＞0，y＞0或

x＜0，y＜0，

当x＞0，y＞0时，|x＋y|＝x＋y＝|x|＋|y|；

当x＜0，y＜0时，|x＋y|＝－x－y＝－x＋(－y)＝|x|＋|y|. 所以，xy≥0时，有|x＋y|＝|x|＋|y|.即充分性成立．

必要性：由|x＋y|＝|x|＋|y|及x，y∈

R得

(|x＋y|)2＝(|x|＋|y|)2，即x2＋2xy＋y2＝x2＋2|xy|＋y2，

得xy＝|xy|，所以xy≥0，即必要性成立．

综上得原命题成立．

点评：数学概念的定义具有相称性，即数学概念的定义都可以看成是充要条件，既是概念的判断依据，又是概念所具有的性质．

证明命题条件的充要性时，既要证明原命题成立(即条件的充分性)，又要证明它的逆命题成立(即条件的必要性)．

巩

固

求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为2的充要条件是4a＋2b＋c＝0.

证明：先证必要性：

∵方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为2，

∴x＝2满足方程ax2＋bx＋c＝0，

∴a·22＋b·2＋c＝0，即4a＋2b＋c＝0，

2

∴必要性成立．

再证充分性：∵4a＋2b＋c＝0，

∴c＝－4a－2b，代入方程ax2＋bx＋c＝0中，可得ax2＋bx－4a－2b＝0，即(x－2)(ax＋2a＋b)＝0. 故方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为2，

∴充分性成立．

因此，关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为2的充要条件是4a＋2b＋c＝0.

综合题库

A组

1．若向量a＝(x,3)(x∈R)，则“x＝4”是“|a|＝5”的(

) A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

答案：A

2．下列命题为真命题的是(

) A．a＞b是a2＞b2的充分条件

B．|a|＞|b|是a2＞b2的充要条件

C．x2＝1是

x＝1的充分条件

D．α＝β是

tan α＝tan β的充要条件

解析：a＞b是a2＞b2的既不充分也不必要条件；x2＝1是x＝1的必要不充分条件；α＝β是tan α＝tan β的充分不必要条件；|a|＞|b|是a2＞b2的充要条件．故选B. 答案：B

3．用充分条件、必要条件、充要条件填空．

(1)x＞3是x＞5的____________________．

(2)x＝3是x2－2x－3＝0的____________________．

(3)两个三角形全等是两个三角形相似的__________________．

答案：必要条件，充分条件，充分条件

B组

一、选择题

3

1．(2013·湖南卷)“1

(

) A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

解析：因为“1＜x＜2”⇒“x＜2”，而“ x＜2”/

“1＜x＜2”，故“1＜x＜2”是“x＜2”的充分不必要条件，故选A.

答案：A

2．若a∈R，则“a＝2”是“(a－1)(a－2)＝0”的

(

) A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充要条件

D．既不充分又不必要条件[来源:学科网]

解析：若“a＝2”，则“(a－1)(a－2)＝0”，即a＝2⇒(a－1)·(a－2)＝0.若“(a－1)(a－2)＝0”，则“a＝2或a＝1”，故(a－1)(a－2)＝0不一定能推出a＝2. 答案：A

3．a＝1是两直线x＋ay＝2a＋2与ax＋y＝a＋1平行的(

) A．充要条件

B．充分不必要条件

C．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

答案：A

4．已知条件p：a≤1，条件q：|a|≤1，则﹁p是﹁q的(

) A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

答案：A

5．f(x)，g(x)是定义在R上的函数，h(x)＝f(x)＋g(x)，则“f(x)，g(x)均为偶函数”是“h(x)为偶函数”的(

) A．充要条件

B．充分而不必要条件

4

C．必要而不充分条件

D．既不充分也不必要条件

解析：若f(x)，g(x)均为偶函数，则f(－x)＝f(x)，g(－x)＝g(x)，所以h(－x)＝f(－x)＋g(－x)＝f(x)＋g(x)＝h(x)，所以h(x)为偶函数．若f(x)＝x2－x，g(x)＝x时，h(x)＝f(x)＋h(x)＝x2是偶函数，而f(x)，g(x)均不是偶函数，故选B. 答案：B

二、填空题

6．已知a，b是实数，则“a>0，且b>0”是“a＋b>0，且ab＞0”的________条件．

解析：因为a>0，b>0，所以a＋b>0，ab＞0，所以充分性成立；因为

ab＞0，所以a与b同号，又a＋b>0，所以a>0且b>0，所以必要性成立．故“a>0且b>0”是“a＋b>0且ab＞0”的充要条件．

答案：充要

7．直线x＋y＋m＝0与圆(x－1)2＋(y－1)2＝2相切的充要条件是________．

|1＋1＋m|解析：直线x＋y＋m＝0与圆(x－1)2＋(y－1)2＝2相切⇔圆心(1,1)到直线x＋y＋m＝0的距离等于2⇔＝22⇔|m＋2|＝2

⇔m＝－4或0. 答案：m＝－4或0

8. “k>4，b<5”是“一次函数y＝(k－4)x＋b－5的图象交y轴于负半轴，交x轴于正半轴”的______条件．

解析：如果一次函数y＝(k－4)x＋b－5的图象交y轴于负半轴，交x轴于正半轴，则有b－5<0且k－4>0，得b<5，k>4；反之，当b<5时，b－5<0，即图象交y轴于负半轴，k>4时，k－4>0，即图象交x轴于正半轴．

因此“k>4，b<5”是“一次函数y＝(k－4)x＋b－5的图象交y轴于负半轴，交x轴于正半轴”的充要条件．

答案：充分必要

三、解答题 9．已知条件p：A＝{x|x2－(a＋1)x＋a≤0}，条件q：B＝{x|x2－3x＋2≤0}，当a为何值时：

(1)p是q的充分不必要条件；

(2)p是q的必要不充分条件；

(3)p是q的充要条件．

解析：由p：A＝{x|(x－1)(x－a)≤0}，

由q：B＝[1,2]．

(1)∵p是q的充分不必要条件，∴A⊆B且A≠B，

故A＝[1，a]⇒1≤a<2.

5

(2)∵p是q的必要不充分条件，∴B⊆A且A≠B，

故A＝[1，a]且a>2⇒a>2. (3)∵p是q的充要条件，∴A＝B⇒a＝2.

110．求证：一元二次方程mx2－2x＋3＝0有两个同号且不相等的实根的充要条件是0＜m＜. 3

1证明：先证必要性：∵一元二次方程mx2－2x＋3＝0有两个不相等的实根，∴Δ＝4－12m＞0⇒m＜，且两根同号，3设x1，x2为两根，可得

3x1·x2＝＞0⇒m＞0，

m1∴0＜m＜. 31再证充分性：∵m＜，∴Δ＝4－12m＞0，

3∴方程mx2－2x＋3＝0有两个不相等的实根．

3又∵m＞0，设x1，x2为方程mx2－2x＋3＝0的两根，可得x1·x2＝＞0，

m即x1，x2同号．

1因此一元二次方程mx2－2x＋3＝0有两个同号且不相等的实根的充要条件是0＜m＜. 3

归纳总结

1．充要条件的判断有三种方法：定义法、等价命题法、集合法．

2．充要条件的证明与探求

(1)充要条件的证明分充分性和必要性的证明．在证明时要注意两种叙述方式的区别：

①p是q的充要条件，则由p⇒q证的是充分性，由q⇒p证的是必要性；

②p的充要条件是q，则p⇒q证的是必要性，由q⇒p证的是充分性．

(2)探求充要条件，可先求出必要条件，再证充分性；如果能保证每一步的变形转化过程都可逆，也可以直接求出充要条件.

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