3.1.1 变化率问题教学设计及教案分析

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[教学目的] 1.了解导数形成的背景、思想和方法；正确理解导数的定义、几何意义；

2.使学生在了解瞬时速度的基础上抽象出变化率，建立导数的概念；掌握用导数的定义求导数的一般方法

3.在教师指导下，让学生积极主动地探索导数概念的形成过程，锻炼运用分析、抽象、归纳、总结形成数学概念的能力,体会数学知识在现实生活中的广泛应用。

[教学重点和难点]导数的概念是本节的重点和难点

[教学方法]讲授启发，自学演练。

[授课类型]：新授课

[课时安排]：1课时

[教 具]：多媒体、实物投影仪

[教学过程]

一、复习提问(导数定义的引入)

1．什么叫瞬时速度？(非匀速直线运动的物体在某一时刻t0的速度)

2．怎样求非匀速直线运动在某一时刻t0的速度？

在高台跳水运动中，如果我们知道运动员相对于水面的高度h（单位：m）与起跳后[来源:Z§xx§k.Com]的时间t（单位：s）存在关系ht4.9t26.5t10，那么我们就会计算任意一段的平均速度v，通过平均速度v来描述其运动状态，但用平均速度不一定能反映运动员在某一时刻的瞬时速度，那么如何求运动员的瞬时速度呢？问题：2秒时的瞬时速度是多少？

[来源学科网]

表格1 http://www.xiexingcun.com/ http://www.eywedu.net/

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表格2 t0时，在2t,2这段时间内

t0时，在2,2t这段时间内

h2h2t4.9t213.1tv

22tt4.9t13.1当t0.01时，v13.051；

当t0.001时，v13.095 1；

当t0.000 1时，v13.099 51；

当t0.000 01时，v13.099 951；

h2th24.9t213.1tv

2t2t4.9t13.1当t0.01时，v13.149；

当t0.001时，v13.104 9；

当t0.000 1时，v13.100 49；

当t0.000 01时，v13.100 049；

当t0.000 001时，v13.099 995 1；

当t0.000 001时，v13.100 004 9；

。。。。。。

。。。。。。

问题：1你能描述一下你算得的这些数据的变化规律吗？（表格2）

关于这些数据，下面的判断对吗？

2．当t趋近于0时，即无论t从小于2的一边，还是t从大于2的一边趋近于2时，平均速度都趋近于一个确定的值-13.1m/s。

3．

靠近-13.1且比-13.1大的任何一个数都可以是某一段2t,2上的平均速度；

4．

靠近-13.1且比-13.1小的任何一个数都可以是某一段2,2t上的平均速度；

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www.eywedu.net 5．

-13.1表示在2秒附近，运动员的速度大约是-13.1m/s。

分析:t2秒时有一个确定的速度，2秒附近的任何一段上的平均速度都不等于瞬时速度，所以比-13.1大的数作为2秒的瞬时速度不合理，比-13.1小的数作为2秒的瞬时速度也不合理，因此，运动员在2秒时的瞬时速度是-13.1m/s。

这样，我们就得到了2秒时的瞬时速度是-13.1m/s，现在我们一起回忆一下是如何得到的：

[来源:Zxxk.Com]首先，算出2,2t上的平均速度h2th2=4.9t13.1，接着观察当t趋t近于0时，上式趋近于一个确定的值-13.1，这个值就是运动员在2秒时的瞬时速度。为了表述方便，我们用

limt0h2th213.1

t表示“当t2，t趋近于0时，平均速度v趋近于确定值-13.1”。

思考：当t趋近于0时，平均速度v有什么样的变化趋势？

结论：当t趋近于0时，即无论t从小于2的一边，还是从大于2的一边趋近于2时，平均速度v都趋近于一个确定的值13.1．

从物理的角度看，时间t间隔无限变小时，平均速度v就无限趋近于史的瞬时速度，因此，运动员在t2时的瞬时速度是13.1m/s

为了表述方便，我们用limh(2t)h(2)13.1

t0t表示“当t2，t趋近于0时，平均速度v趋近于定值13.1”

小结：局部以匀速代替变速，以平均速度代替瞬时速度，然后通过取极限，从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。

3．函数yfx在xx0处的瞬时变化率如何表示？

导数的定义（板书）

函数yfx在xx0处的瞬时变化率是limf(x0x)f(x0)flim，

x0xx0x我们称它为函数yfx在xx0处的导数，记作f'x0或y'|xx0，

http://www.xiexingcun.com/ http://www.eywedu.net/

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www.eywedu.net 即f'x0=limf(x0x)f(x0)flim。例如：2秒时的瞬时速度可以表示为x0xx0x[来源学科网]h'213.1或y'|t213.1。

附注：①导数即为函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率；

②定义的变化形式：f'x=limx0f(x0)f(x0x)y；

limx0(x)x

f'x=xlimxf(x0x)f(x0)f(x)f(x0)ylim；f'x=lim；

x0xx00(x)xxx0f(x)f(x0)

xx0xxx0，当x0时，xx0，所以f(x0)limx0

③求函数yfx在xx0处的导数步骤：“一差；二比；三极限”。

三．典例分析

2例1．（1）求函数y=3x在x=1处的导数. ff26x再求lim6

分析：先求Δf=Δy=f(１＋Δx)-f(１)=6Δx+(Δx), 再求xx0x3x23123(x212)limlim3(x1)6

解：法一（略）；

法二：y|x1limx1x1x1x1x1（2）求函数f(x)=xx在x1附近的平均变化率，并求出在该点处的导数．

2y(1x)2(1x)23x

解：xxy(1x)2(1x)2lim(3x)3

f(1)limx0xx0x例2．（课本例1）将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷2却和加热，如果第xh时，原油的温度（单位：C）为f(x)x7x15(0x8)，计算第2h时和第6h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义．

http://www.xiexingcun.com/ http://www.eywedu.net/

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www.eywedu.net 解：在第2h时和第6h时，原油温度的瞬时变化率就是f'(2)和f'(6)

根据导数定义，f(2x)f(x0)f

xx(2x)27(2x)15(227215)x3

xflim(x3)3；同理可得:f(6)5

x0xx0在第2h时和第6h时，原油温度的瞬时变化率分别为3和5，说明在2h附近，原油温度所以f(2)lim大约以3C/h的速率下降，在第6h附近，原油温度大约以5C/h的速率上升．

注：一般地，f'(x0)反映了原油温度在时刻x0附近的变化情况．

17世纪，力学、航海、天文等方面取得了突飞猛进的发展，这些发展对数学提出了新的要求，它们突出地表现为四类问题，其中的两类问题直接导致了导数的产生：一是根据物体的路程关于时间的函数求速度和加速度；二是求已知曲线的切线。

由导数的定义，我们知道，高度h关于时间t的导数是运动员的瞬时速度；气球半径r关于体积V的导数就是气球的瞬时膨胀率。

实际上，导数可以描述任何事物的瞬时变化率，如效率、点密度、国内生产总值GDP 的增长率等等。下面我们来看一个导数的应用。

四．课堂练习

21．质点运动规律为st3，求质点在t3的瞬时速度为．

2．求曲线y=f(x)=x3在x1时的导数．

3．例2中，计算第3h时和第5h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义．

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