习题2.3教学实录及点评

课题：

点、直线、平面之间的位置关系

教学目标：1、掌握点、线、平面之间的位置关系；

2、理解平行与垂直关系的判定与性质；

3、会进行距离、面积、体积的相关计算；

教学重点：平行、垂直关系的判定与性质；

教学难点：空间几何体的识图；会正确运用判定与性质解决问题；会进行相关计算。

教学内容：

一、[全国卷3年考情分析]

年份

卷别

考查内容及考题位置

空间直线与平面位置关系的判断·T6

卷Ⅰ

面面垂直的证明、四棱锥体积及侧面积的计算·T18

2017 卷Ⅱ

线面平行的证明、四棱锥体积的计算·T18

空间中线线垂直的判断·T10

卷Ⅲ

线线垂直的判定、四面体体积的计算·T19

求异面直线所成的角·T11

卷Ⅰ

线线垂直、线面垂直的判定与性质、几何体2016 体积的计算·T18

卷Ⅱ

线线垂直、空间几何体体积的计算·T19

卷Ⅲ

线面平行、空间几何体体积的计算·T19

卷Ⅰ

2015 面面垂直的判定、三棱锥的体积与侧面积的计算·T18

1.高考对此部分命题较为稳定，选择题、填空题多考查线面位置关系的判断，此类试题难度中等偏下．

2．解答题的第(1)问考查空间平行关系和垂直关系的证明，而第(2)问多考查面积、体积的计算，难度中等偏上．解答题的基本模式是“一证明二计算”．

命题分析

卷Ⅱ

线面平行、空间几何体的体积的计算·T18

二、考点击破

1、考点一

空间线面位置关系的判断

[典例]

(2016·全国卷Ⅱ节选)α，β是两个平面，m，n是两条直线，有下列三个命题：

①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β. ②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n. ③如果α∥β，m⊂α，那么m∥β. 其中正确的命题有________．(填写所有正确命题的编号) [解析]

对于命题①，可运用长方体举反例证明其错误：

如图，不妨设AA′为直线m，CD为直线n，ABCD所在的平面为α，ABC′D′所在

的平面为β，显然这些直线和平面满足题目条件，但α⊥β不成立．

命题②正确，证明如下：设过直线n的某平面与平面α相交于直线l，则l∥n，由m⊥α知m⊥l，从而m⊥n，结论正确．

由平面与平面平行的定义知命题③正确．

[答案]

②③

[类题通法]

判断与空间位置关系有关命题真假的3种方法

(1)借助空间线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理进行判断．

(2)借助空间几何模型，如从长方体模型、四面体模型等模型中观察线面位置关系，结合有关定理，进行肯定或否定．

(3)借助于反证法，当从正面入手较难时，可利用反证法，推出与题设或公认的结论相矛盾的命题，进而作出判断．

练习：1．(2017·全国卷Ⅲ)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱CD的中点，则(

) A．A1E⊥DC1

C．A1E⊥BC1

B．A1E⊥BD

D．A1E⊥AC

2．(2017·全国卷Ⅰ)如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是(

)

答案：1.C

2.A 2、考点二

空间中平行、垂直关系的证明

1．直线、平面平行的判定及其性质

(1)线面平行的判定定理：a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α. (2)线面平行的性质定理：a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b. (3)面面平行的判定定理：a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥α⇒α∥β. (4)面面平行的性质定理：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b. 2．直线、平面垂直的判定及其性质

(1)线面垂直的判定定理：m⊂α，n⊂α，m∩n＝P，l⊥m，l⊥n⇒l⊥α. (2)线面垂直的性质定理：a⊥α，b⊥α⇒a∥b. (3)面面垂直的判定定理：a⊂β，a⊥α⇒α⊥β. (4)面面垂直的性质定理：α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β. [典例]

(2017·北京高考)如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA＝AB＝BC＝2，D为

线段AC的中❶❷点，E为线段PC上一点．

(1)求证：PA⊥BD；

❸(2)求证：平面BDE⊥平面PAC；

❹(3)当PA∥平面BDE时，求三棱锥E-BCD的体积．

❺[解答示范]

(一)搭桥——找突破口

第(1)问：欲证线线垂直，应转化到证线面垂直，再得线线垂直；

第(2)问：欲证面面垂直，应转化到证线面垂直，进而转化到先证线线垂直，借助(1)的结论和已知条件可证；

第(3)问：欲求锥体的体积，应先找出底面和确定其对应的高，关键是证明线面垂直，借助(1)的结论可证．

(二)建桥——寻关键点

有什么

想到什么

线面垂直的判定定理，可证PA⊥平面ABC

等腰三角形中线与高线合一，可得BD⊥AC

证明线线垂直，可转化到证信息③：PA⊥BD 明一直线垂直于另一直线所在平面，再由线面垂直的定义可得

信息④：平面BDE⊥平面PAC 面面垂直的判定定理，线线垂直⇒线面垂直⇒面面垂直

(1)证明线面平行的条件：一直线在平面外，一直线在平面内

(2)证明线面垂直时的条件：直线垂直于平面内两条相交直线

(3)求点到面的距离时要想到借助锥体的“等体积性”

注意什么

信息①：PA⊥AB，PA⊥BC 信息②：AB＝BC，D为AC的中点

线面平行的性质定理，线面信息⑤：PA∥平面BDE 平行，则线线平行，可得PA∥DE

[解]

(1)证明：因为PA⊥AB，PA⊥BC，AB∩BC＝B，

所以PA⊥平面ABC.又因为BD⊂平面ABC，所以PA⊥BD. (2)证明：因为AB＝BC，D为AC的中点，所以BD⊥AC. 由(1)知，PA⊥BD，又AC∩PA＝A，所以BD⊥平面PAC. 因为BD⊂平面BDE，所以平面BDE⊥平面PAC. (3)因为PA∥平面BDE，平面PAC∩平面BDE＝DE，所以PA∥DE. 1因为D为AC的中点，所以DE＝PA＝1，BD＝DC＝2. 2由(1)知，PA⊥平面ABC，所以DE⊥平面ABC. 11所以三棱锥E-BCD的体积V＝BD·DC·DE＝. 63[类题通法]

(1)正确并熟练掌握空间中平行与垂直的判定定理与性质定理，是进行判断和证明的基础；在证明线面关系时，应注意几何体的结构特征的应用，尤其是一些线面平行与垂直关系，这些都可以作为条件直接应用．

(2)证明面面平行依据判定定理，只要找到一个面内两条相交直线与另一个平面平行即可，从而将证明面面平行转化为证明线面平行，再转化为证明线线平行．

(3)证明面面垂直常用面面垂直的判定定理，即证明一个面过另一个面的一条垂线，将证明面面垂直转化为证明线面垂直，一般先从现有直线中寻找，若图中不存在这样的直线，则借助中线、高线或添加辅助线解决．

(4)证明的核心是转化，空间向平面的转化，面面⇔线面⇔线线．

练习：

已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD为菱形，且PA⊥底面ABCD，∠ABC＝60°，点E，F分别为BC，PD的中点，PA＝AB＝2. (1)证明：AE⊥平面PAD；

(2)求多面体PAECF的体积．

[总结升华] 立体几何的内容在高考中的考查情况总体上比较稳定，因此，复习备考时往往有“纲”可循，有“题”可依．在平时的学习中，要重视识图训练，能正确确定关键点或线的位置，将局部空间问题转化为平面模型，其中，平行、垂直关

系的判定与性质是立体几何的核心内容；距离、面积与体积的计算是重点内容．

三、作业

1．(2017·全国卷Ⅰ)如图，在四棱锥P-ABCD中，AB∥CD，且∠BAP＝∠CDP＝90°. (1)证明：平面PAB⊥平面PAD；

(2)若PA＝PD＝AB＝DC，∠APD＝90°，且四棱锥P-ABCD的体积为83，求该四棱锥的侧面积．

2．(2017·安徽名校阶段性测试)如图所示，正方形ABCD所在平面与圆O所在平面相交于CD，线段CD为圆O的弦，AE垂直于圆O所在平面，垂足E是圆O上异于C，D的点，AE＝3，圆O的直径CE＝9. (1)求证：平面ABE⊥平面ADE；

(2)求五面体ABCDE的体积．