习题4.2教学设计第一课时

教学分析

本节内容是在初中所学知识及前几节内容的基础上,进一步运用解析法研究圆的方程,它与其他图形的位置关系及其应用.同时,由于圆也是特殊的圆锥曲线,因此,学习了圆的方程,就为后面学习其他圆锥曲线的方程奠定了基础.也就是说,本节内容在教材体系中起到承上启下的作用,具有重要的地位,在许多实际问题中也有着广泛的应用.

三维目标

1.使学生掌握圆的标准方程,能根据圆心、半径写出圆的标准方程,能根据圆的标准方程写出圆的圆心、半径,进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力,渗透数形结合思想,注意培养学生观察问题、发现问题和解决问题的能力. 2.会用待定系数法求圆的标准方程,通过圆的标准方程解决实际问题的学习,形成代数方法处理几何问题的能力,从而激发学生学习数学的热情和兴趣,培养学生分析、概括的思维能力.

重点难点

教学重点：圆的标准方程的推导过程和圆的标准方程特点的明确. 教学难点:会根据不同的已知条件,利用待定系数法求圆的标准方程.

课时安排

1课时

教学过程

导入新课

同学们,直线是点的集合，它能用一个方程表示，那么圆是点的集合吗？它也能用一个方程表示吗?那么圆的方程怎样来求呢?这就是本堂课的主要内容。

思考1：圆具有什么性质？

回答：圆上每一点到圆心的距离都等于半径。。。动点到定点的距离等于定长(教师在黑板上画一个圆). 思考2：圆是点的集合，那么这个集合P可以用动点M，圆点A,半径r如何表示出来呢？

回答：P={M||MA|=r} 提出问题

1.

①已知两点A(2,3),B(4,7),如何求它们之间的距离? ②若已知点A(2,3),任意点M(x,y),又如何求AM之间的距离|AM|? 如果距离|AM|＝20，则任意点M满足的关系式变为？

③如果已知圆心坐标为C(a,b),圆的半径为r,我们如何写出圆的方程?

④当圆心在原点时,圆的方程是什么？

讨论结果：

22①根据两点之间的距离公式(x1x2)(y1y2),得

22|AB|=(42)(73)20,

2222②|AM|=(x2)(y3).，(x2)(y3)＝20

③确定圆的基本条件是圆心和半径,设圆的圆心坐标为C(a,b),半径为r(其中a、b、r都是常数,r＞0).设M(x,y)为这个圆上任意一点,那么点M满足的条件是(引导学生自己列出)P={M||MA|=r},由两点间的距离公式让学22生写出点M适合的条件(xa)(yb)=r.①

将上式两边平方得(x-a)2+(y-b)2=r2. 化简可得(x-a)2+(y-b)2=r2.②

若点M(x,y)在圆上,由上述讨论可知,点M的坐标满足方程②,反之若点M的坐标满足方程②,这就说明点M与圆心C的距离为r,即点M在圆心为C的圆上.方程②就是圆心为C(a,b),半径长为r的圆的方程,我们把它叫做圆的标准方程.

④方程为x2+y2=r2.

提出问题

①根据圆的标准方程说明确定圆的方程的条件是什么? ②确定圆的方程的方法和步骤是什么? ③坐标平面内的点与圆有什么位置关系?如何判断? 讨论结果：①圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2=r2中,有三个参数a、b、r,只要求出a、b、r且r＞0,这时圆的方程就被确定,因此确定圆的标准方程,需三个独立条件,其中圆心是圆的定位条件,半径是圆的定形条件. ②确定圆的方程主要方法是待定系数法,即列出关于a、b、r的方程组,求a、b、r或直接求出圆心(a,b)和半径r,一般步骤为：

1°根据题意,设所求的圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2=r2；

2°根据已知条件,建立关于a、b、r的方程组；

3°解方程组,求出a、b、r的值,并把它们代入所设的方程中去,就得到所求圆的方程. ③点M(x0,y0)与圆(x-a)2+(y-b)2=r2的关系的判断方法：

当点M(x0,y0)在圆(x-a)2+(y-b)2=r2上时,点M的坐标满足方程(x-a)2+(y-b)2=r2. 当点M(x0,y0)不在圆(x-a)2+(y-b)2=r2上时,点M的坐标不满足方程(x-a)2+(y-b)2=r2. 用点到圆心的距离和半径的大小来说明应为: 1°点到圆心的距离大于半径,点在圆外(x0-a)2+(y0-b)2＞r2,点在圆外; 2°点到圆心的距离等于半径,点在圆上(x0-a)2+(y0-b)2=r2,点在圆上; 3°点到圆心的距离小于半径,点在圆内(x0-a)2+(y0-b)2＜r2,点在圆内. 应用示例

思路1

例1

写出下列各圆的标准方程：

(1)圆心在原点,半径是3；

⑵圆心在点C(3,4),半径是5; (3)经过点P(5,1),圆心在点C(8,-3)；

(4)圆心在点C(1,3),并且和直线3x-4y-7=0相切. 解:(1)由于圆心在原点,半径是3,所以圆的标准方程为(x-0)2+(y-0)2=32,即x2+y2=9. (2)由于圆心在点C(3,4),半径是5,所以圆的标准方程是(x-3)2+(y-4)2=(5)2,即(x-3)2+(y-4)2=5. 22(3)方法一:圆的半径r=|CP|=(58)(13)25=5,因此所求圆的标准方程为(x-8)2+(y+3)2=25. 方法二:设圆的标准方程为(x-8)2+(y+3)2=r2,因为圆经过点P(5,1),所以(5-8)2+(1+3)2=r2,r2=25,因此所求圆的标

准方程为(x-8)2+(y+3)2=25.

这里方法一是直接法,方法二是间接法,它需要确定有关参数来确定圆的标准方程,两种方法都可,要视问题的方便而定. (4)设圆的标准方程为(x-1)2+(y-3)2=r2,由圆心到直线的距离等于圆的半径,所以r=|3127|25|16|25.因此所求圆的标准方程为(x-1)2+(y-3)2=256. 25点评：要求能够用圆心坐标、半径长熟练地写出圆的标准方程. 例2

写出圆心为A(2,-3),半径长等于5的圆的方程,并判断点M1(5,-7),M2(-5,-1)是否在这个圆上. 解:圆心为A(2,-3),半径长等于5的圆的标准方程是

(x-2)2+(y+3)2=25, 把点M1(5,-7),M2(-5,,-1)分别代入方程(x-2)2+(y+3)2=25, 则M1的坐标满足方程,M1在圆上.M2的坐标不满足方程,M2不在圆上. 点评:本题要求首先根据坐标与半径大小写出圆的标准方程,然后给一个点,判断该点与圆的关系,这里体现了坐标法的思想,根据圆的坐标及半径写方程——从几何到代数；根据坐标满足方程来看在不在圆上——从代数到几何. 例3

△ABC的三个顶点的坐标是A(5,1),B(7,-3),C(2,-8),求它的外接圆的方程.

活动：教师引导学生从圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2入手,要确定圆的标准方程,可用待定系数法确定a、b、r三个参数.另外可利用直线AB与AC的交点确定圆心,从而得半径,圆的方程可求,师生总结、归纳、提炼方法. 解法一:设所求的圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,因为A(5,1),B(7,-3),C(2,-8)都在圆上, 它们的坐标都满足方程(x-a)2+(y-b)2=r2,于是

(5a)2(1b)2r2,222(7a)(3b)r(2a)2(8b)2r2.(1)(2)

(3)a2,解此方程组得b3,所以△ABC的外接圆的方程为(x-2)2+(y+3)2=25. r5.解法二:线段AB的中点坐标为(6,-1),斜率为-2,所以线段AB的垂直平分线的方程为y+1=1(x-6).

2①

同理线段AC的中点坐标为(3.5,-3.5),斜率为3,所以线段AC的垂直平分线的方程为y+3.5=3(x-3.5).

②

22解由①②组成的方程组得x=2,y=-3,所以圆心坐标为(2,-3),半径r=(52)(13)=5,所以△ABC的外接圆的方程为(x-2)2+(y+3)2=25. 点评:△ABC外接圆的圆心是△ABC的外心,它是△ABC三边的垂直平分线的交点,它到三顶点的距离相等,就是圆的半径,利用这些几何知识,可丰富解题思路. 思路2

例1

图2是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图,该圆拱跨度AB=20 m,拱高OP=4 m,在建造时每隔4 m需用一个支柱支撑,求支柱A2P2的长度(精确到0.01 m).

图2 解:建立坐标系如图,圆心在y轴上,由题意得P(0,4),B(10,0). 设圆的方程为x2+(y-b)2=r2,因为点P(0,4)和B(10,0)在圆上, 222b10.5,0(4b)r,所以解得2

2222r14.5,10(0b)r.所以这个圆的方程是x2+(y+10.5)2=14.52. 设点P2(-2,y0),由题意y0＞0,代入圆方程得(-2)2+(y0+10.5)2=14.52, 解得y0=14.52-10.5≈14.36-10.5=3.86(m). 答：支柱A2P2的长度约为3.86 m. 例2

求与圆x2+y2-2x=0外切,且与直线x+3y=0相切于点(3,-3)的圆的方程. 活动:学生审题,注意题目的特点,教师引导学生利用本节知识和初中学过的几何知识解题.首先利用配方法,把已知圆的方程写成标准方程,再利用两圆外切及直线与圆相切建立方程组,求出参数,得到所求的圆的方程. 解:设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2.圆x2+y2-2x=0的圆心为(1,0),半径为1.因为两圆外切,所以圆心距等于两22圆半径之和,即(a1)(b0)=r+1,

①

22b31()1,a33由圆与直线x+3y=0相切于点(3,-3),得|a3b|r.1(3)2解得a=4,b=0,r=2或a=0,b=-43,r=6. 故所求圆的方程为(x-4)2+y2=4或x2+(y+43)2=36. (2)

(3)点评:一般情况下,如果已知圆心(或易于求出)或圆心到某一直线的距离(或易于求出),可用圆的标准方程来求解,用待定系数法,求出圆心坐标和半径. 变式训练

一圆过原点O和点P(1,3),圆心在直线y=x+2上,求此圆的方程. 解法一：因为圆心在直线y=x+2上,所以设圆心坐标为(a,a+2). 则圆的方程为(x-a)2+(y-a-2)2=r2. 因为点O(0,0)和P(1,3)在圆上,

1a,(0a)(0a2)r,4所以解得

222(1a)(3a2)r,r225.8222所以所求的圆的方程为(x+12725)+(y-)2=. 44813,), 22解法二：由题意：圆的弦OP的斜率为3,中点坐标为(所以弦OP的垂直平分线方程为y-311=-(x-),即x+3y-5=0. 232因为圆心在直线y=x+2上,且圆心在弦OP的垂直平分线上, 1x,yx2,174所以由解得,即圆心坐标为C(-,). 44x3y50,y7,4又因为圆的半径r=|OC|=()()所以所求的圆的方程为(x+14274225, 812725)+(y-)2=. 448点评:(1)圆的标准方程中有a、b、r三个量,要求圆的标准方程即要求a、b、r三个量,有时可用待定系数法. (2)要重视平面几何中的有关知识在解题中的运用. 例3

求下列圆的方程: (1)圆心在直线y=-2x上且与直线y=1-x相切于点(2,-1). (2)圆心在点(2,-1),且截直线y=x-1所得弦长为22. 解:(1)设圆心坐标为(a,-2a),由题意知圆与直线y=1-x相切于点(2,-1),所以|a2a1|1212(a2)2(2a1)2,解得a=1.所以所求圆心坐标为(1,-2),半径r=(12)2(21)2=2.所以所求圆的标准方程为(x-1)2+(y+2)2=2. (2)设圆的方程为(x-2)2+(y+1)2=r2(r＞0),由题意知圆心到直线y=x-1的距离为d=|211|1122=2.又直线y=x-1被圆截得弦长为22,所以由弦长公式得r2-d2=2,即r=2.所以所求圆的标准方程为(x-2)2+(y+1)2=4.