1.4.2 存在量词优秀教案设计

人教A版《选修2-1》第一章第4节

1.4.2

存在量词

教学目标：

知识目标：1、通过实例理解存在量词，特称命题的意义。

2、会判断特称命题的真假。

能力与方法：通过观察命题、科学猜想以及通过参与过程的归纳和问题的演绎，

培养学生的观察能力和概括能力。

情感、态度与价值观：

通过引导学生观察、发现、合作与交流，让学生经历知识的形成过

程，增加直接经验基础，增强学生学习的成功感，激发学生学习数学

的兴趣。

教学重点：

理解存在量词的意义。

教学难点：

正确地判断特称命题的真假。

教学方法：

将全称量词和存在量词放在一起，在相互比较重理解存在量词的意义；用数学中的符号语言表达特称命题，形式更简洁。

教学过程：

一、问题引入：

思考：下列语句是命题吗?(1)与(3),(2)与(4)之间有什么关系? (1)2x+1=3；

(2)x能被2和3整除；

(3)存在一个x∈R,使2x+1=3；

(4)至少有一个x∈Z,x能被2和3整除。

学生回答：（1）（2）不是命题，（3）（4）是命题。

关系：（3）在(1)的基础上,用短语“存在一个”对变量x的取值进行限定,使(3)变成了可以判断真假的语句；(4)在(2)的基础上,用“至少有一个”对变量x的取值进行限定,从而使(4)变成了可以判断真假的语句。

二、新课讲解：

发现归纳：

“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示。含有存在量词的命题叫做特称命题（或存在命题）命题（3）（4）都是特称命题。

特称命题：“存在M中一个x，使p（x）成立”可以用符号简记为：xM,p(x)。读做“存在一个x属于M,使p（x）成立”。

特称命题：其公式为“有的S是P”。例句：“大多数学生星期天休息”。特称命题使用存在量词，如“有些”、“很少”等，也可以用“基本上”、“一般”、“只

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是有些”等。含有存在性量词的命题也称存在性命题。

例1下列语句是不是全称或特称命题。

(1)

有一个实数a,a不能取对数。

(2)

所有不等式的解集A,都是A⊆R。

(3) 三角函数都是周期函数吗? (4) 有的向量方向不定。

略解：（1）特称命题；（2）全称命题；（3）不是命题；（4）特称命题。

教师引导思考：如何判断特称命题的真假？

方法：

要判断特称命题“∃x∈M,p(x)”是真命题，只需在集合M中找到一个元素x0，使p(x0)成立即可。

如果在集合M中，使p(x)成立的元素x不存在，那么这个特称命题是假命题。

例2

判断下列特称命题的真假。

（1）有一个实数x,使x22x30；

（2）存在两个相交平面垂直于同一条直线；

（3）有些整数只有两个正因数。

略解：（1）假；（2）假；（3）真。

变式训练2：判断以下命题的真假：

（1）xR,x2x （2）xR,x2x （3）xQ,x280 （4）xR,x220

分析：（1）真；（2）假；（3）假；（4）真。

例3：指出下述推理过程的逻辑上的错误：

第一步：设a=b，则有a2=ab

第二步：等式两边都减去b2，得a2-b2=ab-b2

第三步：因式分解得

(a+b)(a-b)=b(a-b)

第四步：等式两边都除以a-b得，a+b=b

第五步：由a=b代人得，2b=b

第六步：两边都除以b得，2=1 分析：第四步错：因a-b＝0，等式两边不能除以a-b

第六步错：因b可能为0，两边不能立即除以b，需讨论。

得：(a+b)(a-b)=b(a-b)

a+b=b是存在性命题，不是全称命题，由此得到的结论不可靠。

同理，由2b=b2=1是存在性命题，不是全称命题。

变式训练3：指出下列命题中哪些是全称命题，哪些是特称命题，并判断真假．

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（1）若a>0，且a≠1，则对任意实数x，ax>0。

（2）对任意实数x1，x2，若x1

（3）∃T0∈R，使|sin(x＋T0)|＝|sin x|。

2（4）∃x0∈R，使x0＋1<0。

解：

（1）（2）是全称命题，（3）（4）是特称命题。

（1）∵ax>0 (a>0，a≠1)恒成立，∴命题（1）是真命题。

（2）存在x1＝0，x2＝π，x1

但tan 0＝tan π，∴命题(2)是假命题。

（3）y＝|sin x|是周期函数，π就是它的一个周期，

∴命题(3)是真命题。

2（4）对任意x0∈R，x0＋1>0，∴命题(4)是假命题。

三、课堂练习：

课本P23练习NO：1，2

四、课堂小结、巩固反思：

要判断一个存在性命题为真，只要在给定的集合中找到一个元素x，使命题p(x)为真；要判断一个存在性命题为假，必须对在给定集合的每一个元素x，使命题p(x)为假。

要判断一个全称命题为真，必须对在给定集合的每一个元素x，使命题p(x)为真；但要判断一个全称命题为假时，只要在给定的集合中找到一个元素x，使命题p(x)为假。

即全称命题与存在性命题之间有可能转化，它们之间并不是对立的关系。

五、布置作业：

A组：

1、课本P26习题1.4A组

NO：1，2（做在书本上）

2．判断下列全称命题的真假，其中真命题为（

）

A．所有奇数都是质数

B．xR,x211

C．对每个无理数x，则x2也是无理数

D．每个函数都有反函数

3．将“x2+y2≥2xy”改写成全称命题，下列说法正确的是（

）

A．x,yR，都有x2y22xy

B．x,yR，都有x2y22xy

C．x0,y0，都有x2y22xy

D．x0,y0，都有x2y22xy

4．判断下列命题的真假，其中为真命题的是（ ）

A．xR,x210 B．xR,x210 C．xR,sinxtanx D．xR,sinxtanx

5．下列命题中的假命题是（

）

A．存在实数α和β，使cos(α+β)=cosαcosβ+sinαsinβ

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B．不存在无穷多个α和β，使cos(α+β)=cosαcosβ+sinαsinβ

C．对任意α和β，使cos(α+β)=cosαcosβ－sinαsinβ

D．不存在这样的α和β，使cos(α+β) ≠cosαcosβ－sinαsinβ

答案：2-5

BADB

教学反思：

对于存在量词这知识点的学习，会覆盖到解析几何、立体几何、集合、函数等高中阶段大部分的知识，这就加大了学生对命题真假性判断的难度，不过刚好可以利用这个机会把学过的知识点再巩固一次，起到温故知新的效果。对于本堂课的教学反思如下：

1、合理置疑。由简短的问题引入，学生们的求知欲一下就被激发起来了，为这一节课开了一个好头。

2、我整节都面带笑容，一但发现学生做得好的地方，哪怕一点点闪光点，我都马上给予肯定和表扬，学生学习积极性很高，课堂答题的正确率很高，就是做题的速度有点慢，或许是因为基础差的原因。

3、对教材拓展得不够广，情境引入来源于课本，没有去查找课外资料。

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