1.2.1 充要条件教学设计第一课时

第一章：常用逻辑用语——1.2：充分条件与必要条件

一：知识点讲解

（一）：充分条件和必要条件

命题真假

推出关系

“若p，则q”是真命题

“若p，则q”是假命题

p

q

p是q的

条件，

p

q

p不是q的充分条件，

q不是p的

条件

条件关系

q是p的必要条件

例1：判断下列各题中，p是q的什么条件。

1)

U是全集，p：ABA，q：CUBCUA；

2)

在等比数列an中，p：a1a3，q：anan1。

（二）：充要条件



如果既有pq，又有qp，则可以记作pq，这时称p是q的

，简称充要条件。



证明时要分两个环节：一是证充性，二是证必要性。



证明充要条件问题，若直接证明困难，则可先根据命题之间的关系进行等价转换，再加以证明。

a2xa2xR是奇函数的充要条件是a1。

例2：证明：函数fxx21

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（三）：充分、必要条件的判断与应用



充分条件、必要条件的应用，一般体现在参数问题上，解题时首先把充分条件、必要条件转化为集合间的关系，然后利用集合知识列出关于参数的不等式（组）求解，其次要注意区间端点值的检验，防止考虑不全导致错误。



设命题p、q对应的集合为A：x|px，B：x|qx，则从集合的角度分析充分、必要条件如下：









p是q的

条件：p

q且q

p。

p是q的

条件：p

q且q

p。

p是q的

条件：p

q。

p是q的

条件：p

q且q

p。

例3：判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”。

1)

(

)若p是q的必要条件，则q是p的充分条件。

2)

(

)“b1”是“ab0”的充要条件。

a3)

(

)2x1x0的一个充分不必要条件是x0。

4)

(

)在△ABC中，“A＝60°”是“cosA＝1”的充分不必要条件。

25)

(

)“bac”是“a、b、c成等比数列”的必要不充分条件。

22例4：已知条件p：Ax|xa1xa0，条件q：Bx|x3x20，当a2为何值时：

1)

2)

3)

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p是q的充分不必要条件？

p是q的必要不充分条件？

p是q的充要条件？

二：方法探究

方法：充分条件、必要条件的判断



判断充分条件、必要条件的三种方法：



定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假。



集合法：即利用集合的包含关系判断。



传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由p1p2pn，可得p1pn；充要条件也有传递性。

例：已知如下四个命题：

①

若aR，则“a2”是“a1a20”的充分不必要条件；

②

“x0”是“lnx10”的充分不必要条件；

③

直线l1：axy3，l2：xbyc0，则“ab1”是“l1∥l2”的必要不充分条件；

④

“m2或m6”是“yx2mxm3有两个不同零点”的充要条件。

其中正确的是

。



习题

1.

设R，则“1212”是“sin1”的(

) 2思路分析：根据不等式的解法及充分、必要条件的判断进行求解。

A. 充分而不必要条件

B. 必要而不充分条件

C. 充要条件

D. 既不充分也不必要条件

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q：2.

设p：实数x、y满足x1且1，实数x、y满足xy2，则p是q的(

) 思路分析：充分性利用不等式的性质直接证明，必要性可以举反例说明。

A. 充分不必要条件

C. 充要条件

B. 必要不充分条件

D. 既不充分也不必要条件

3.

设、是两个不同的平面，“m∥”是“∥”的(

) m是直线且m。思路分析：明确条件、结论。

A. 充分而不必要条件

B. 必要而不充分条件

C. 充分必要条件

D. 既不充分也不必要条件

4.

在等比数列an中，“a4、是“a81”的(

) a12是方程x3x10的两根”2思路分析：先根据“a4、a12是方程x3x10的两根”求出a8，则根据充分、必要条件的定义判断。

A. 充分不必要条件

C. 充要条件

ab2B. 必要不充分条件

D. 既不充分也不必要条件

5.

设a、b都是不等于1的正数，则“333”是“loga3logb3”的(

) 思路分析：分别找出“333”和“loga3logb3”的等价条件。

A. 充要条件

B. 充分不必要条件

C. 必要不充分条件

D. 既不充分也不必要条件

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ab

三：题型分析

题型一：充分条件与必要条件的含义

1.

在△ABC中，“sin2A3”是“A30”的(

) 2B. 必要不充分条件

D. 既不充分也不必要条件

A. 充分不必要条件

C. 充要条件

2.

“k1”是“直线xyk0与圆x2y21相交”的(

) A. 充分而不必要条件

C. 充分必要条件

B. 必要而不充分条件

D. 既不充分也不必要条件

3.

已知a、b是实数，则“a0且b0”是“ab0且ab0”的(

) A. 充分不必要条件

C. 充要条件

B. 必要不充分条件

D. 既不充分也不必要条件

4.

已知a1、a2、b1、b2均为非零实数，不等式a1xb10与不等式a2xb20的解集分别为集合M和集合N，那么“a1b1”是“MN”的(

) a2b2B. 既不充分也不必要条件

D. 必要不充分条件

A. 充分不必要条件

C. 充要条件

题型二：充分条件、必要条件的探究与证明

5.

2x25x30的一个必要条件是(

) 1x2

21

21x0

2A. B. C. 3xD. 1x6

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6.

已知三条直线l1：xy0，l2：xy20，l3：5xky150，则l1、l2、l3不能构成三角形的充要条件是k

。

7.

已知数列an的前n项和Snpnq（p0且p1），求证：数列an为等比数列的充要条件为q1。

题型三：

8.

已知集合AxR|1若xB成立的一个2x8，BxR|1xm1，2充分条件是xA，则实数m的取值范围是(

) A. m2

B. m2

C. m2

D. 2m2

9.

已知p：4xa4，q：x2x30，且q是p的充分不必要条件，则a的取值范围是

。

22210.

已知p：x8x200，q：x2x1a0，若p是q的充分不必要条件，求正实数a的取值范围。

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易错点一：混淆充分条件、必要条件致误

11.

使xx成立的一个必要不充分条件是(

) A. x0

B. x2x

C. log2x10

D. 2x1

易错点二：对充分条件、必要条件的概念理解不清致误

212.

已知p：x2x30，若ax1a（a0）是p的一个必要条件，求使ab恒成立的实数b的取值范围。

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