探究与发现 为什么截口曲线是椭圆优质课一等奖

2.1.1

椭圆及其标准方程

教学目标：

（1）

了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻划现实世界和解决实际问题中的作用。

（2）

经历从具体情境中抽象出椭圆模型的过程，掌握椭圆的定义、标准方程及简单几何性质。

（3）

通过椭圆与方程的学习，进一步体会数形结合的思想。

教学重点：椭圆的标准方程；坐标法的基本思想。

教学难点：椭圆的标准方程的推导与化简；坐标法的运用。

教学任务分析：

（1）

学生已有的主要知识结构

学生已经学习过圆，了解圆的定义，经历了根据圆的特征，建立适当的坐标系，求圆的标准方程的过程。

（2）

建立新的知识结构

与圆类比，弄清椭圆上的点所满足的条件，建立适当的坐标系，求椭圆的标准方程。

教学基本流程：

教学过程：

问题

1、回顾圆的定义，让学生用准备好的工具画圆。

设计意图

学生动手画圆，结合图形，重现思维轨迹，为椭圆的学习作好铺垫。

师生活动

备注

根据条件，确定椭圆的标准方程

通过作图，提出问题，引入椭圆的定义回忆圆的定义，与已有的知识联系

小结与布置作业

1.由学生动手实验，并说出圆的画圆时，绳子一端固定义；

定在纸板上，一端栓在笔上学生再次体会笔尖到定点的距离不变的情景。

2.将圆心分开变为两提出新的问题，激1.师生一起画图，得到一个压扁让学生领略到数学的的“圆”—椭圆；

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个，绳子两端固定在这发学生的好奇心，

美，认识到数学与生

两个定点上，用笔勾住引发学习兴趣。

绳子，将会画出什么样的曲线呢？

3.在运动中，椭圆上的点所满足的几何条件是什么？

1.弄清曲线上的点所满足的几何条件是建立曲线方程的2.教师演示课件：拱桥、橄榄球、活息息相关。

天体的运动轨迹等。

1.引导学生分析实验，发现两个这里应给予学生充分确定的量—定点及绳长，变动思考和讨论的机会，的量—笔尖（即椭圆上的点）。

引导他们说出自己的2.再次演示画椭圆的过程，引导发现，并逐步修正得学生发现规律：椭圆上的点到两个定点的距离之和总是等于绳长。

到椭圆的定义。

4.应该如何描述动点M关键之一。

所满足的几何条件？

2.让学生体会类比思想，整理实验，归纳抽象成数学问题。

5.将两位学生所画的椭使学生认识到椭圆1．教师：改变原有的两定点的

距离画椭圆并观察图形，大家有什么发现? 学生：F1,F2的距离愈近椭圆愈圆，F1,F2的距离愈远椭圆愈扁。

圆投影到大屏幕，并提的形状受到两定点出问题：在绳长相同的情况下，为什么画出的椭圆有圆有扁呢？

F1,F2的距离的影响。

6.如果只改变绳长，而不改变F1,F2的距离，又会出现什么结果呢

使学生进一步认识到椭圆的形状也受到绳长的影响。

教师：如果定点的位置相同，只改变绳长，椭圆又有什么变化？

学生：绳愈短椭圆愈扁，绳愈长椭圆愈圆。

教师：设|F1F2|=2C，|MF1|+|MF2|=2a,如何通过a,c刻划椭圆的扁圆程度。

c学生：当a越小时，椭圆愈圆，

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c当a越大时，椭圆越扁。

7.椭圆与两定点位置及定线段长有关，是否给定了线段长和两定点位置就一定能作出椭圆呢？

加深对概念的理解

师生共同探讨，并演示课件，展示2a>2c,2a=2c,2a<2c三种不同情形的轨迹。

学生：当2a>2c时，轨迹是椭圆;当2a=2c时，轨迹是一条线段，是以F1,F2为端点的线段;当2a<2c时，无轨迹;当c=0时，轨迹为圆.

写出动点M所满足的几何条件的点的集合：P=M||MF1|+|MF2|=2a。

明确椭圆的定义：平面内与两个定点F1,F2的距离之和等于常数2a（2a大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。

8.事实上椭圆在建筑、电子乃至航空航天等温旧知新，让学生认识到适当的坐标学生回答求曲线方程的步骤，教师引导学生讨论如何建立坐标系。通过分析曲线的特征—对称性，得出以线段F1F2的中点为原点，以F1F2的垂直平分线为y轴建立直角坐标系。

事实上，椭圆的美主要体现在均匀对称上，应充分引导学生讨论、发现这一点。

领域有着广泛的应用，系有利于化简，也因此，有必要进一步探会使所得的方程比求它的性质，研究它的较简单。

方程。求曲线方程的步骤是什么？怎样建立适当的坐标系，求椭圆的方程呢？

完成了“建系”，设M（x,y）是椭圆上任意一点，椭圆的焦距为2c(c>0)，那么，焦点F1,F2的坐标分别是(-c,0),(c,0).又设点M与F1,F2的距离的和等于常数2a（2a>|F1F2|）。

由定义可知，椭圆就是集合P=M||MF1|+|MF2|=2a。

22222222(xc)y(xc)y(xc)y(xc)yMFMF2|=|1|=,|,+=2a.

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能否将上面所得等式两边同时平方？应该如何处理两个根号的位置更有利于化简？

在学生已懂得一个根式化简的情况下，针对具体的问题，寻求解决问题的想法。

请3—4名学生板演方程化简，

教师在教室中走动，观察学生的化简情况。

组织学生评价板演情况，使学生明确若将上面等式直接平方，则化简过程繁杂且各项的次数很高；若将两个根式放在等式的两边，平方后可消去x2,y2,c2项简化计算，强调方法的选择。通过投影，将化简的过程呈现给学生。

教师：设|F1F2|=2c, 结合图形，赋予（展示图形）学生：可以看出通过类比，让学生写a2c2以具a,c是以F1F2为底边的等腰三角出焦点在y轴上椭圆a,c，MFMF2|=2a，观察|1|+|的标准方程，并根据体的几何意义。

形的腰及底边的一半。

图形能否找出a,c，方程分辨椭圆的焦点教师：不妨令a2-c2=b2则方程a2c2所表示的线在x轴或y轴上。

可简化为b2x2+a2y2=a2b2,两段及其关系呢？

边同时除以a2b2得

x2y21a2b2，这就是焦点在x轴上椭圆的标准方程。这里a与b的关系如何？

学生：a>b>0. 教师用总结性的语言引导学生对椭圆方程再认识：

椭圆标准方程的形式：左边是两个分式的平方和，分母是一个正数，右边是1。

222椭圆的三个参数a.b.c满足abc。

22x,y椭圆标准方程中的系数哪个小，焦点就在哪个轴上。

1教材中例1. 2补充练习：已知椭圆x2y21的方程为1625椭圆标准方程的应用。

2位学生板演例1，补充练习由

学生口答。

教师：如果将椭圆方程改为x2y22516=1，上述问题（1）（2）

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则

（1）a=

b=

c

（2）焦点在

轴上，其焦点坐标为

，焦距为

。

（3）若CD为过左焦点F1的弦，则∆CF1F2的周长为

，∆F2CD的周长为

。

小结：

（3）有何变化？

学生：（回答略）

（1）知识方面：总结了椭圆的定义；探讨了椭圆的扁圆；研究了在a、c的四种不同关系下的曲线轨迹；求出了椭圆的标准方程；了解焦点与方程形式的关系。（以上各知识点可借助课件展示出来）

（2）能力方面：巩固了求曲线方程的步骤与方法，学会用运动变化的观点研究问题，通过椭圆知识学习进一步体会到数学知识的和谐美，几何图形的对称美。

布置作业：

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