3.1.3 空间向量的数量积运算第二课时教学实录

课题 §3.1.3．空间向量的数量积

学习目标

1. 掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法；

2. 掌握两个向量的数量积的计算方法，并能利用两个向量的数量积解决立体几何中的一些简单问题．

重点难点

空间向量的数量积运算．(重点) 利用空间向量的数量积求夹角及距离．(难点) 空间向量数量积的运算律．(易错点) 学

习

过

程

一、课前准备

（预习教材P90~ P92，找出疑惑之处）

复习1：什么是平面向量a与b的数量积？

复习2：在边长为1的正三角形⊿ABC中，求ABBC.

二、新课导学

※

学习探究

探究任务一：空间向量的数量积定义和性质

问题：在几何中，夹角与长度是两个最基本的几何量，能否用向量的知识解决空间两条直线的夹角和空间线段的长度问题？

新知：

1) 两个向量的夹角的定义：已知两非零向量a,b，在空间

一点O，作OAa,OBb，则AOB叫做向量a与b的夹角，记作

. 试试：

⑴

范围:

a,b

a,b=0时,a与b

;a,b=π时,a与b

⑵

a,bb,a成立吗？

⑶a,b

，则称a与b互相垂直，记作

. 2) 向量的数量积：

a

向量的模：设OAa,则_______________ 叫做向量a

的长度或模,记作：已知向量a,b，则

叫做a,b的数量积，记作ab，即ab

.

规定:零向量与任意向量的数量积等于零. 反思：

(1) 两个向量的数量积是数量还是向量？(2) 0a

（选0还是0）

3)

空间向量数量积的性质：

（1）设单位向量e，则ae|a|cosa,e．

（2）abab

．

（3）aa

＝

. 4) 空间向量数量积运算律：

1

（1）(a)b(ab)a(b)．

（2）abba（交换律）．

（3）a(bc)abac（分配律

※

典型例题

例1

用向量方法证明：在平面内一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直.

例2

如图，在空间四边形OABC中，OA8，AB6，AC4，BC5，OAC45，OAB60，求OA与BC的夹角的余弦值。

说明：由图形知向量的夹角时易出错，如OA,AC135易错写成OA,AC45，切记！

规律方法

在异面直线上取两个向量，则两异面直线所成角的问题可转化为两向量的夹角问题．需注意的是：转化前后的两个角的关系可能相等也可能互补．

例3

如图所示，平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝1，AD＝2，AA1＝3，∠BAD＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，求AC1的长．

规律方法

利用向量的数量积求两点间的距离，可以转化为求向量的模的问题，其基本思路是先选择以两点为端点的向量，将此向量表示为几个已知向量的和的形式，求出这几个已知向量的两两之间的夹角以及它们的模，利用公式|a|＝a·a求解即可．

2

三、总结提升

※

学习小结

1..向量的数量积的定义和几何意义. 2. 向量的数量积的性质和运算律的运用. ※

知识拓展

向量给出了一种解决立体几何中证明垂直问题，求两条直线的夹角和线段长度的新方法.

学习评价

※

自我评价

你完成本节导学案的情况为（

）.

A. 很好

B. 较好

C. 一般

D. 较差

※

课时检测：

1. 下列命题中：

①若ab0，则a，b中至少一个为0

②若a0且abac，则bc

③(ab)ca(bc)

④(3a2b)(3a2b)9a4b

正确有个数为（

）

A. 0个

B. 1个

C. 2个

D. 3个

2. 如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，若AB=2BB1,

则AB1与C1B所成的角为（B.

）

A.

60°

B.

90°

C.

105°

D.

75°

3. 已知ABC中，A,B,C所对的边为a,b,c，

且a3,b1,C30,则BCCA=

4. 已知向量a,b满足a4，b2，ab3，则ab____ 2,ab2, 则a与b的夹角大小为_____.

26. 已知空间四边形ABCD中，ABCD，ACBD，求证：ADBC. 225.

已知a22,b

D

7. 已知线段AB、BD在平面内,BD⊥AB, 线段AC, 如果AB＝a,BD＝b,AC＝c,求C、D间的距离.

A

B

C

3

8. 如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB4,AD3,AA'5,BAD90, BAA'=DAA'=60°,求AC'的长.

总结与反思

4