1.1.1 命题优秀教案范文

第2讲

命题及其关系、充分条件与必要条件

【考试说明】

1.理解命题的概念．

2．了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系．

3．理解必要条件、充分条件与充要条件的含义．

【考情分析】

对充分必要条件的考查，主要考查充分必要条件的推理判断．主要考点及考查方向如下表：

考点

考查方向

考例

考查热度

命题的四种形式

命题四种形式的关系

★☆☆

充要条件的判断

充要条件的判断

2015·全国卷Ⅱ24 ★☆☆

充要条件的应用

利用充要条件求参数

★☆☆

【知识聚焦】

1．四种命题

(1)命题：数学中把用语言、符号或式子表达的，能够判断________的陈述句叫作命题．其中________的语句叫真命

题，________的语句叫假命题．命题由______和______两部分构成．

(2)命题的四种形式：

一般地，用p和q分别表示命题的条件和结论，用綈p和綈q分别表示p和q的否定，于是四种命题的形式就是：

命题

表达形式

原命题

若p，则q ________ 逆命题

__________ 否命题

________ 逆否命题

原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假．

(3)四种命题的关系：

2．充分条件、必要条件与充要条件

(1)如果p⇒q，则p是q的________条件；

(2)如果q⇒p，则p是q的________条件；

(3)如果既有p⇒q又有q⇒p，记作p⇔q，则p是q的________条件．

[解析]

1．(1)真假

判断为真

判断为假

条件

结论

(2)若q，则p

若p，则q

若q，则p

2．(1)充分

(2)必要

(3)充要

【正本清源】

★链接教材

1．[教材改编]命题“若m<0，则方程x2＋x－2m＝0有实根”的否命题是_________．

1．若m≥0，则方程x2＋x－2m＝0无实根

[解析] 根据原命题与否命题的关系写出否命题．

2．[教材改编]若{y|y＝x2}∩{y|y＝ax－1}＝∅是真命题，则a的取值范围是________.

2．－2

[解析] 由两集合的交集为空集，可知x2－ax＋1＝0无解，得Δ＝(－a)2－4<0，即－2b”是“a－c>b－c”的________条件．

3．充要

[解析] 由不等式的性质可知“a>b”是“a－c>b－c”的充要条件．

4．[教材改编]已知集合A＝{1，2，a}，B＝{－1，0，1，2，3}，则“a＝－1”是“A⊆B”的________条件．

4．充分不必要

[解析] 当a＝－1时，A＝{1，2，－1}，显然A⊆B；但A⊆B时，a＝－1或a＝0或a＝3.所以“a＝－1”是“A⊆B”的充分不必要条件．

★易错问题

5．命题中的易错点：对条件、结论的否定不当．

“单调函数不是周期函数”的逆否命题是_______________．

5．周期函数不是单调函数

[解析]原命题可改写为“若函数是单调函数，则函数不是周期函数”，故其逆否命题是“若函数是周期函数，则函数不是单调函数”，简化为“周期函数不是单调函数”．

6．充要条件的易混点：混淆条件的充分性和必要性．

“x(x－1)＝0”是“x＝1”的________条件．

6．必要不充分

[解析]x(x－1)＝0⇒x＝0或x＝1；反之，由x＝1可得x(x－1)＝0.故“x(x－1)＝0”是“x＝1”的必要不充分条件．

7．充要条件的易错点：否定形式下充分条件、必要条件判断错误．

“a≠b”是“a2≠b2”的________条件．

7．必要不充分

[解析]由a≠b不能得到a2≠b2，但由a2≠b2一定得出a≠b，故为必要不充分条件．

★通性通法

8．充分、必要条件的判断方法：定义判断法；集合判断法．

(1)[2014·浙江卷改编]设四边形ABCD的两条对角线分别为AC，BD，则“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的________条件．

(2)[2015·安徽卷改编]设p：x<3，q：－1

8．(1)充分不必要

(2)必要不充分

[解析] (1)若四边形ABCD为菱形，则AC⊥BD；反之，若AC⊥BD，则四边形ABCD不一定为菱形．故“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的充分不必要条件．

(2)因为p：x<3，q：－1

9．充要条件的两个结论：传递性；等价性．

(1)若p是q的充分不必要条件，q是r的充分不必要条件，则p是r的________条件．

(2)若p是q的充分不必要条件，则q是p的________条件. 9．(1)充分不必要

(2)充分不必要

[解析] (1)根据充分条件的概念可知，p⇒q，q⇒r，则p⇒r.又因为q⇒/p，r⇒/q，则r⇒/p，所以p是r的充分不必要条件．

(2)因为原命题和它的逆否命题是等价命题，所以q是p的充分不必要条件．

探究点一 命题及其相互关系

例1(1)已知命题p：正数a的平方不等于0，命题q：若a不是正数，则它的平方等于0，则p是q的(

) A．逆命题

B．否命题

C．逆否命题

D．否定

an＋an＋1(2)已知命题“若

) A．真，真，真

B．假，假，真

C．真，真，假

D．假，假，假

[思路点拨] (1)把命题“正数a的平方不等于0”写成“若p，则q”的形式，再找这个命题与命题“若a不是正数，则它的平方等于0”的关系；(2)只需判断原命题和逆命题的真假，根据等价性可得逆否命题和否命题的真假．

(1)B

(2)A

[解析] (1)命题p可写为“若a是正数，则它的平方不等于0”，它是“若a不是正数，则它的平方等于0”的否命题．

an＋an＋1(2)由

2否命题与逆命题同真假，所以否命题是真命题；逆否命题与原命题同真假，所以逆否命题也是真命题．

[总结反思](1)原命题与逆否命题同真假，逆命题与否命题同真假；(2)否命题既否定命题的条件，又否定命题的结论；(3)要说明一个命题是假命题，只需举出一个反例．

变式题已知下列命题：

①“全等三角形的面积相等”的逆命题；

②“若ab＝0，则a＝0”的否命题；

③“正三角形的三个角均为60°”的逆否命题；

2④“若x≤－3，则x＋x－6>0”的否命题．

其中真命题的序号是________．

②③

[解析] ①“全等三角形的面积相等”的逆命题为“面积相等的三角形全等”，显然该命题为假命题；②“若ab＝0，则a＝0”的否命题为“若ab≠0，则a≠0”，而由ab≠0可得a，b都不为零，故a≠0，所以该命题是真命题；③由于原命题“正三角形的三个角均为60°”是一个真命题，故其逆否命题也是真命题；④易判断原命题的逆命题为假，则原命题的否命题为假．

探究点二 充分必要条件的判定

例2(1)[2015·湖南卷]设A，B是两个集合，则“A∩B＝A”是“A⊆B”的(

) A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

(2)[2015·南昌二中月考]已知函数f(x)＝2x＋1，则对于任意正数a，“|x1－x2|

) A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

[思路点拨] (1)由A∩B＝A可得A⊆B，由A⊆B可得A∩B＝A；(2)化简|f(x1)－f(x2)|

(1)C

(2)B

[解析] (1)由集合的运算知，A∩B＝A⇔A⊆B，故选C. a(2)由|f(x1)－f(x2)|＝|(2x1＋1)－(2x2＋1)|＝2|x1－x2|

[总结反思]充分条件和必要条件的判断，可按照以下三个步骤进行：①确定p是什么，q是什么；②尝试从p推q，从q推p；③确定p和q是什么关系．

变式题(1)“m＝－1”是“直线mx＋(2m－1)y＋2＝0与直线3x＋my＋3＝0垂直”的(

) A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

(2)[2015·洛阳三模]“等式sin(α＋γ)＝sin2β成立”是“α，β，γ成等差数列”的(

) A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

(1)A

(2)B

[解析] (1)若直线mx＋(2m－1)y＋2＝0与直线3x＋my＋3＝0垂直，则3m＋(2m－1)m＝0，解得m＝0或m＝－1，故“m＝－1”是“直线mx＋(2m－1)y＋2＝0与直线3x＋my＋3＝0垂直”的充分不必要条件．

(2)若α，β，γ成等差数列，则2β＝α＋γ，所以sin(α＋γ)＝sin2β；反之，若sin(α＋γ)＝sin2β，则2β＝α＋γ＋2kπ，k∈Z，或2β＋α＋γ＝π＋2kπ，k∈Z，所以2β＝α＋γ不一定成立．所以“等式sin(α＋γ)＝sin2β成立”是“α，β，γ成等差数列”的必要不充分条件．

探究点三 充分必要条件的应用

例3[2015·宜昌一模]已知条件p：x2＋2x－3>0；条件q：x>a，且p是q的一个充分不必要条件，则a的取值范围是(

) A．(－∞，1]

B．(－∞，－3]

C．[－1，＋∞)

D．[1，＋∞) [思路点拨]依据题意写出p和q，再根据二者的关系得出a的取值范围．

D

[解析] 由条件p得x<－3或x>1，则p：－3≤x≤1；q：x≤a.因为p是q的一个充分不必要条件，所以a≥1. [总结反思]充分必要条件的应用多表现在求解参数的问题中，解决此类问题应立足充分必要条件的定义，根据充分必要条件的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)是求解的关键．

变式题[2015·嘉兴一模]已知p：m－1

3≤m≤5

[解析] p：m－1

分不必要条件．