3.4 生活中的优化问题举例教学设计实例

第三章导数及其应用3.4生活中的优化问题举例

一、教学目标：

知识与技能：

使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用

过程与方法：

通过对实际问题的解决，提高学生分析和解决问题的能力，发展数学建模意识；

情感、态度与价值：

让学生探索、发现数学知识和掌握数学知识的内在规律的过程中不，不断获得成功积累愉快的体验，不断增进学习数学的兴趣，同时还通过探索这一活动培养学生善于和他人合作的精神. 二、教学重点、难点

重点：利用导数解决生活中的一些优化问题．

难点：利用导数解决生活中的一些优化问题．

三、教学模式与教法、学法

教学模式：本课采用“探究——发现”教学模式．

教师的教法：利用多媒体辅助教学，突出活动的组织设计与方法的引导．

“抓三线”，即(一)知识技能线（二）过程与方法线（三）能力线. “抓两点”,即一抓学生情感和思维的兴奋点，二抓知识的切入点. 学法：突出探究、发现与交流．

四、教学过程

（一）温故知新

生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题？这些问题通常称为优化问题．通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大(小)值的有力工具，本节我们运用导数，解决一些生活中的优化问题．

解析：请同学思考并回顾以前所学知识并积极回答之. （二）探究新知

探究点一

面积、体积的最值问题

思考

如何利用导数解决生活中的优化问题？

例1

学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传．现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报，

1

要求版心面积为128 dm2，上、下两边各空2 dm，左、右两边各空1 dm.如何设计海报的尺寸，才能使四周空白面积最小？

128解

设版心的高为x dm，则版心的宽为

dm，此时四周空白面积为

x128512512＋2－128＝2x＋＋8，x>0.求导数，得S′(x)＝2－2. S(x)＝(x＋4)xxx512128128令S′(x)＝2－2＝0，解得x＝16(x＝－16舍去)．于是宽为＝＝8. xx16当x∈(0,16)时，S′(x)<0；当x∈(16，＋∞)时，S′(x)>0. 因此，x＝16是函数S(x)的极小值点，也是最小值点．

所以，当版心高为16 dm，宽为8 dm时，能使海报四周空白面积最小．

反思与感悟

(1)在求最值时，往往建立函数关系式，若问题中给出的量较多时，一定要通过建立各个量之间的关系，通过消元法达到建立函数关系式的目的．

(2)在列函数关系式时，要注意实际问题中变量的取值范围，即函数的定义域．

跟踪训练1

如图所示，某厂需要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，当砌壁所用的材料最省时，堆料场的长和宽分别为________米．

答案

32,16

探究点二

利润最大问题

例2

某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料．瓶子的制造成本是0.8πr2分，其中r(单位：cm)是瓶子的半径．已知每出售1 mL的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为6 cm.则瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小？

r32432解

由于瓶子的半径为r，所以每瓶饮料的利润是y＝f(r)＝0.2×πr－0.8πr＝0.8π3－r，0

3令f′(r)＝0.8π(r2－2r)＝0.当r＝2时，f′(r)＝0.

2

当r∈(0,2)时，f′(r)<0；当r∈(2,6)时，f′(r)>0. 因此，当半径r>2时，f′(r)>0，它表示f(r)单调递增，即半径越大，利润越高；半径r<2时，f′(r)<0，它表示f(r)单调递减，即半径越大，利润越低．

∴半径为2 cm时，利润最小，这时f(2)<0，表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本，此时利润是负值．

半径为6 cm时，利润最大．

反思与感悟

解决此类有关利润的实际应用题，应灵活运用题设条件，建立利润的函数关系，常见的基本等量关系有：

(1)利润＝收入－成本；

(2)利润＝每件产品的利润×销售件数．

跟踪训练2

某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/a千克)满足关系式y＝＋10(x－6)2，其中3

(1)求a的值；

(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．

所以商场每日销售该商品所获得的利润

2f(x)＝(x－3)[＋10(x－6)2]＝2＋10(x－3)(x－6)2,3

于是，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：

x f′(x)

f(x)

(3,4)

＋

单调递增

4

0

极大值42

(4,6) －

单调递减

由上表可得，x＝4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点．

所以，当x＝4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42. 答

当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．

探究点三

费用(用材)最省问题

例3

已知A、B两地相距200 km，一只船从A地逆水行驶到B地，水速为8 km/h，船在静水中的速度为v

km/h(8

3

2 000vv－－1 000v21 000v2－16 000v∴y′＝＝. v－82v－2令y′＝0，得v＝16，∴当v0≥16，

即v＝16 km/h时全程燃料费最省，ymin＝32 000(元)；

当v0<16，即v∈(8，v0]时，y′<0，即y在(8，v0]上为减函数，

1 000v20∴当v＝v0时，ymin＝(元)．

v0－8综上，当v0≥16时，v＝16 km/h全程燃料费最省，为32 000元；

1 000v20当v0<16，即v＝v0时全程燃料费最省，为元．

v0－8反思与感悟

本题在解题过程中容易忽视定义域，误以为v＝16时取得最小值．本题的关键是弄清极值点是否在定义域范围内．

跟踪训练3

现有一批货物由海上从A地运往B地，已知轮船的最大航行速度为35海里/时，A地至B地之间的航行距离约为500海里，每小时的运输成本由燃料费和其余费用组成，轮船每小时的燃料费与轮船速度的平方成正比(比例系数为0.6)，其余费用为每小时960元．

(1)把全程运输成本y(元)表示为速度x(海里/时)的函数；

(2)为了使全程运输成本最小，轮船应以多大速度行驶？

500480 000解

(1)依题意得y＝(960＋0.6x2)＝＋300x，且由题意知，函数的定义域为(0,35]，

xx480 000即y＝＋300x(0

x(2)由(1)知，y′＝－480 000＋300，令y′＝0，解得x＝40或x＝－40(舍去)．

x2因为函数的定义域为(0,35]，所以函数在定义域内没有极值点．

480 000又当0

x480 000故当x＝35时，函数y＝＋300x取得最小值．

x故为了使全程运输成本最小，轮船应以35海里/时的速度行驶．

（三）当堂达标

1．内接于半径为R的球且体积最大的圆锥的高为(

) A．R

B．2R

4

4C.R

3【答案】

C

3D.R

4

2．某银行准备新设一种定期存款业务，经预算，存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为k(k>0)．已知贷款的利率为0.048 6，且假设银行吸收的存款能全部放贷出去．设存款利率为x，x∈(0,0.048 6)，若使银行获得最大收益，则x的取值为(

) A．0.016 2

C．0.024 3

【答案】

B 【解析】

依题意，得存款量是kx2，银行支付的利息是kx3，获得的贷款利息是0.048 6kx2，

其中x∈(0,0.048 6)．

所以银行的收益是y＝0.048 6kx2－kx3(0

令y′＝0，得x＝0.032 4或x＝0(舍去)．

当00；当0.032 4

所以当x＝0.032 4时，y取得最大值，即当存款利率为0.032 4时，银行获得最大收益．

3．用长为18m的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为体积为(

) A．2m3

C．4m3

【答案】

B

B．3m3

D．5m3

，则该长方体的最大B．0.032 4 D．0.048 6

3当00；当1

5

故在x＝1处V(x)取得极大值，并且这个极值就是V(x)的最大值

从而最大体积V＝V(1)＝9×12－6×13＝3(m2)．

24．某厂生产某种产品x件的总成本：C(x)＝1200＋x3，又产品单价的平方与产品件数x成反比，生产10075件这样的产品的单价为50元，总利润最大时，产量应定为(

) A．25件

C．15件

【答案】

A 【解析】

设产品单价为a元，又产品单价的平方与产品件数x成反比，即a2x＝k，由题知k＝250000，则5002a2x＝250000，所以a＝.总利润y＝500x－x3－1200(x>0)，

75xy′＝25022－x，由y′＝0，得x＝25，当x∈(0,25)时，y′>0，

x25

B．20件

D．30件

x∈(25，＋∞)时，y′<0，所以x＝25时，y取最大值．

5．统计表明：某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/时)的函数解析式可13以表示为y＝x3－x＋8(0

100【解析】

当速度为x千米/时时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，设耗油量为h(x)升，

x131001280015x3－x＋8×＝依题意得h(x)＝80128 000x1 280x＋x－4(0

33x800x－80h′(x)＝－2＝(0

x∈(80,120]时，h′(x)>0，h(x)是增函数，

所以当x＝80时，h(x)取得极小值h(80)＝11.25(升)．

因为h(x)在(0,120]上只有一个极小值，所以它是最小值．

答

汽车以80千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升．

6．某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩．经测算，一个桥墩的工程费用为256万元；距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2＋x)x万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其它因素．记余下工程的费用为y万元．

(1)试写出y关于x的函数关系式；

(2)当m＝640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？

6

256m1－1m3(2)由(1)知，f′(x)＝－2＋mx2＝2(x2－512)．

x22x3令f′(x)＝0，得x2＝512，所以x＝64. 当0

当640，f(x)在区间(64,640)内为增函数．

m640所以f(x)在x＝64处取得最小值，此时n＝－1＝－1＝9，

x64故需新建9个桥墩才能使y最小

五、小结

1．利用导数解决优化问题的基本思路：

建立数学模型

优化问题

用函数表示的数学问题

解决数学模型

优化问题的答案

作答

用导数解决数学问题

2．解决优化问题的方法：通过搜集大量的统计数据，建立与其相应的数学模型，再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得到解决．在这个过程中，导数往往是一个有利的工具。

六、作业

1.课时检测

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