3.3.1 两条直线的交点坐标名师教学设计2

两条直线的交点坐标及两点间的距离

一、教学目标

1、知识与技能：（1）直线和直线的交；（2）二元一次方程组的解。

2、过程和方法：（1）学习两直线交点坐标的求法，以及判断两直线位置的方法。（2）掌握数形结合的学习法。（3）组成学习小组，分别对直线和直线的位置进行判断，归纳过定点的直线系方程。

3、情态和价值：（1）通过两直线交点和二元一次方程组的联系，从而认识事物之间的内的联系。

（2）能够用辩证的观点看问题。

二、教学重点，难点

重点：判断两直线是否相交，求交点坐标。难点：两直线相交与二元一次方程的关系。

三、教学方法：启发引导式：在学生认识直线方程的基础上，启发学生理解两直线交点与二元一次方程组的的相互关系。引导学生将两直线交点的求解问题转化为相应的直线方程构成的二元一次方程组解的问题。由此体会“形”的问题由“数”的运算来解决。

教具：用POWERPOINT课件的辅助式教学

学习目标

1.会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.2.会根据方程解的个数判定两条直线的位置关系.3.掌握两点间距离公式并会应用．

四、教学过程

知识点一

直线的交点与直线的方程组解的关系

思考1

直线上的点与其方程Ax＋By＋C＝0的解有什么样的关系？

答案

直线上每一个点的坐标都满足直线方程，也就是说直线上的点的坐标是其方程的解．反之直线的方程的每一个解都表示直线上的点的坐标．

思考2

已知两条直线l1与l2相交，如何用代数方法求它们的交点的坐标？

答案

只需写出这两条直线的方程，然后联立求解．

思考3

由两直线方程组成的方程组解的情况与两条直线的位置关系有何对应关系？

答案

(1)若方程组无解，则l1∥l2；

(2)若方程组有且只有一个解，则l1与l2相交；

(3)若方程组有无数解，则l1与l2重合．

梳理

(1)两直线的交点

几何元素及关系

点A 直线l1

点A在直线l1上

直线l1与l2的交点是A

(2)两直线的位置关系

方程组A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0代数表示

A(a，b) l1：A1x＋B1y＋C1＝0 A1a＋B1b＋C1＝0 A1a＋B1b＋C1＝0，

Aa＋Bb＋C＝0222

的解

一组

一个

相交

无数组

无数个

重合

无解

零个

平行

直线l1与l2的公共点的个数

直线l1与l2的位置关系

知识点二

两点间的距离

已知平面上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)．

思考1

当x1≠x2，y1＝y2时，|P1P2|＝？

答案

|P1P2|＝|x2－x1|. 思考2

当x1＝x2，y1≠y2时，|P1P2|＝？

答案

|P1P2|＝|y2－y1|. 思考3

当x1≠x2，y1≠y2时，|P1P2|＝？请简单说明理由．

答案

如图，在Rt △P1QP2中，|P1P2|2＝|P1Q|2＋|QP2|2，所以|P1P2|＝x2－x12＋y2－y12.

即两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离|P1P2|＝x2－x12＋y2－y12.

类型一

两直线的交点问题

命题角度1

代数法判断两直线的位置关系

例1

分别判断下列直线是否相交，若相交，求出它们的交点．

(1)l1：2x－y＝7和l2：3x＋2y－7＝0；

(2)l1：2x－6y＋4＝0和l2：4x－12y＋8＝0；

(3)l1：4x＋2y＋4＝0和l2：y＝－2x＋3.

2x－y－7＝0，x＝3，解

(1)方程组的解为

3x＋2y－7＝0y＝－1.

因此直线l1和l2相交，交点坐标为(3，－1)．

2x－6y＋4＝0，(2)方程组有无数个解，

4x－12y＋8＝0

这表明直线l1和l2重合．

4x＋2y＋4＝0，(3)方程组无解，

2x＋y－3＝0这表明直线l1和l2没有公共点，故l1∥l2. 反思与感悟

两条直线相交的判定方法

方法一

方法二

方法三

跟踪训练1

直线y＝2x与直线x＋y＝3的交点坐标是________．

答案

(1,2) y＝2x，x＝1，解析

联立两方程得解得

x＋y＝3，y＝2，联立直线方程解方程组，若有一解，则两直线相交

两直线斜率都存在且斜率不相等

两直线的斜率一个存在，另一个不存在

所以两直线的交点坐标为(1,2)．

命题角度2

根据交点求参数的值或其范围

例2

已知直线5x＋4y＝2a＋1与直线2x＋3y＝a的交点位于第四象限，则a的取值范围是________．

3答案

(－，2) 25x＋4y＝2a＋1，解析

由得2x＋3y＝a，

a－2y＝7，2a＋3x＝，7

3>0，2a＋7由a－27<0，引申探究

3a>－2，3得∴－

若本例中直线的方程不变，其交点改为位于第三象限，则a的取值范围又如何？

2a＋3a－2解

由例2得交点坐标为(，)，

77＋3<0，2a7则由a－27<0，

3得a<－. 2反思与感悟

解决此类问题的关键是先利用方程组的思想，联立两方程，求出交点坐标；再由点在某个象限时坐标的符号特征，列出不等式组而求得参数的取值范围．

跟踪训练2

若直线l1：y＝kx＋k＋2与l2：y＝－2x＋4的交点在第一象限，则实数k的取值范围是(

) 2A．k>－

32C．－

3答案

C B．k<2 2D．k<－或k>2 3y＝kx＋k＋2，解析

由y＝－2x＋4，

2－kx＝k＋2，得6k＋4y＝k＋2，

2－kk＋2>0，由6k＋4k＋2>0，2∴－

－2

2k<－2或k>－，3

类型二

求过两条直线交点的直线方程

例3

求过两直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点且与直线3x＋y－1＝0平行的直线方程．

2x－3y－3＝0，解

方法一

解方程组

x＋y＋2＝0，

得7y＝－5，3x＝－，5

37所以两直线的交点坐标为(－，－)．

55又所求直线与直线3x＋y－1＝0平行，所以所求直线的斜率为－3. 73故所求直线方程为y＋＝－3(x＋)，

55

即15x＋5y＋16＝0. 方法二

设所求直线方程为

(2x－3y－3)＋λ(x＋y＋2)＝0，

即(2＋λ)x＋(λ－3)y＋(2λ－3)＝0.(*) 由于所求直线与直线3x＋y－1＝0平行，

2＋λ×1－λ－3×3＝0，所以有

2＋λ×－1－2λ－3×3≠0，

11得λ＝. 2111111代入(*)式，得(2＋)x＋(－3)y＋(2×－3)＝0，

222即15x＋5y＋16＝0. 引申探究

本例中若将“平行”改为“垂直”，又如何求解．

解

设所求直线方程为(2x－3y－3)＋λ(x＋y＋2)＝0，

即(2＋λ)x＋(λ－3)y＋(2λ－3)＝0，

由于所求直线与直线3x＋y－1＝0垂直，

33(2＋λ)＋(λ－3)×1＝0，得λ＝－，

4所以所求直线方程为5x－15y－18＝0. 反思与感悟

求过两条直线交点的直线方程，一般是先解方程组求出交点坐标，再结合其他条件写出直线方程．也可用过两条直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(不包括l2的方程)，再根据其他条件求出待定系数，写出直线方程．

跟踪训练3

直线l经过原点，且经过另两条直线2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0的交点，则直线l的方程为(

) A．2x＋y＝0

C．x＋2y＝0

答案

B 解析

设所求直线方程为2x＋3y＋8＋λ(x－y－1)＝0，

即(2＋λ)x＋(3－λ)y＋8－λ＝0，

因为l过原点，所以λ＝8. 则所求直线方程为2x－y＝0. 类型三

两点间的距离公式及其应用

例4

如图，已知△ABC的三顶点A(－3,1)，B(3，－3)，C(1,7)，

B．2x－y＝0 D．x－2y＝0

(1)判断△ABC的形状；

(2)求△ABC的面积．

解

(1)方法一

∵|AB|＝

3＋32＋－3－12＝52，

|AC|＝1＋32＋7－12＝52，

又|BC|＝1－32＋7＋32＝104，

∴|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，且|AB|＝|AC|，

∴△ABC是等腰直角三角形．

7－13方法二

∵kAC＝＝，

1－－32kAB＝－3－12＝－，

33－－3则kAC·kAB＝－1，∴AC⊥AB. 又|AC|＝1＋32＋7－12＝52，

|AB|＝3＋32＋－3－12＝52，

∴|AC|＝|AB|，∴△ABC是等腰直角三角形．

11(2)S△ABC＝|AC|·|AB|＝(52)2＝26，

22∴△ABC的面积为26. 反思与感悟

(1)判断三角形的形状，要采用数形结合的方法，大致明确三角形的形状，以确定证明的方向．

(2)在分析三角形的形状时，要从两方面考虑：一是要考虑角的特征，主要考察是否为直角或等角；二是要考虑三角形的长度特征，主要考察边是否相等或是否满足勾股定理．

跟踪训练4

已知点A(－1,2)，B(2，7)，在x轴上求一点P，使|PA|＝|PB|，并求|PA|的值．

解

设P(x,0)，|PA|＝x＋12＋－22，

|PB|＝x－22＋－72，

∵|PA|＝|PB|，

∴x＋12＋4＝x－22＋7，

得x＝1，∴P(1,0)，

∴|PA|＝1＋12＋4＝22.

1．已知直线l1：3x＋4y－5＝0与l2：3x＋5y－6＝0相交，则它们的交点是(

) 1A．(－1，)

31C．(1，)

3答案

B 1B．(，1) 31D．(－1，－) 3x＝，3x＋4y－5＝0，解析

由得33x＋5y－6＝0，

1y＝1.

2．已知点A(－2，－1)，B(a,3)，且|AB|＝5，则a的值为(

) A．1

B．－5

C．1或－5

D．－1或5 答案

C 解析

|AB|＝a＋22＋42＝5，

解得a＝1或－5. 3．已知△ABC的顶点坐标为A(－1,5)，B(－2，－1)，C(2,3)，则BC边上的中线长为________．

答案

17 解析

BC的中点坐标为(0,1)，

则BC的中线长为－1－02＋5－12＝17. 4．斜率为－2，且过两条直线3x－y＋4＝0和x＋y－4＝0交点的直线方程为________．

答案

2x＋y－4＝0 解析

设所求直线方程为3x－y＋4＋λ(x＋y－4)＝0，

即(3＋λ)x＋(λ－1)y＋4－4λ＝0，

3＋λ∴k＝＝－2，解得λ＝5. 1－λ∴所求直线方程为2x＋y－4＝0. 5．点A在第四象限，A点到x轴的距离为3，到原点的距离为5，求点A的坐标．

解

由题意得A点的纵坐标为－3，设A(x，－3)，

则x－02＋－3－02＝5，x＝±4. 又点A在第四象限，∴x＝－4(舍)，

∴A(4，－3)．

A1x＋B1y＋C1＝0，1．方程组有唯一解的等价条件是A1B2－A2B1≠0，亦即两条直线相交的A2x＋B2y＋C2＝0

等价条件是A1B2－A2B1≠0，直线A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)是过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线(不含l2)．

2．两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝x1－x22＋y1－y22与两点的先后顺序无关，其反映了把几何问题代数化的思想．