小结主要内容及教案内容

空间向量求空间角

石年年

一、复习引入

用空间向量解决问题“三步曲”

1、建立图形与空间向量的关系，用空间向量表示问题中涉及到的点，直线、平面，将立体几何问题转化为向量问题

（化为向量问题）

2、通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及点、直线、平面之间的距离、夹角问题。

（进行向量运算）

3、把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。

（回归图形本身）

二、知识回顾

1．平面的法向量

(1)直线的方向向量

直线的方向向量是指和这条直线平行或共线的向量．

(2)平面的法向量

直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则a叫做平面α的法向量．

求平面的法向量

[典例]

已知平面α经过三点A(1,2,3)，B(2,0，－1)，C(3，－2,0)，求平面α的一个法向量．

[解]

因为A(1,2,3)，B(2,0，－1)，C(3，－2,0)，所以AB＝(1，－2，－4)，AC＝(2，－4，－3)．设平面α的法向量AB＝0，x－2y－4z＝0，n·为n＝(x，y，z)，则有即得2x－4y－3z＝0.n·AC＝0，z＝0，x＝2y，令y＝1，则x＝2，所以平面α的一个法向量为n＝(2,1,0)．

利用待定系数法求法向量的解题步骤

1．空间角及向量求法

角的分类

向量求法

设两异面直线所成的角为θ，它们的方异面直线所成的角

向向量为a，b，则cos θ＝|cos〈a，b〉|＝|a·b|

|a||b|π0，

2范围

设直线l与平面α所成的角为θ，l的方直线与平面所成的角

sin θ＝|cos〈a，n〉|＝向向量为a，平面α的法向量为n，则|a·n|

|a||n|π0，

2设二面角α-l-β的平面角为θ，平面α，二面角

β的法向量为n1，n2，则|cos θ|＝|cos〈n1，n2〉|＝|n1·n2|

|n1||n2|

求两异面直线所成的角

[典例]

如图，在三棱锥V-ABC中，顶点C在空间直角坐标系的原点处，顶点A，B，V分别π在x，y，z轴上，D是线段AB的中点，且AC＝BC＝2，∠VDC＝，求异面直线AC与VD所成角3的余弦值．

利用空间向量求两条异面直线所成的角，可以避免复杂的几何作图和论证过程，只需通过相应的向量运算即可，但应注意：用向量法求两条异面直线所成的角是通过两条直线的方向向量的夹角π来求解的，而两条异面直线所成角θ的取值范围是0，，两向量的夹角α的取值范围是[0，π]，所2以cos θ＝|cos α|.

[0，π]

[活学活用]

π如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，面ABCD与面D1C1CD垂直，且∠D1DC＝，3πDC＝DD1＝2，DA＝3，∠ADC＝，求异面直线A1C与AD1所成角的余弦值．

2

求直线与平面所成的角

[典例]

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面为直角梯形，AD∥BC，∠BAD＝90°，PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝AB＝2BC，M，N分别为PC，PB的中点．

(1)求证：PB⊥DM；

(2)求BD与平面

ADMN所成的角．

求直线与平面的夹角的方法与步骤

思路一：找直线在平面内的射影，充分利用面与面垂直的性质及解三角形知识可求得夹角(或夹角的某一三角函数值)．

思路二：用向量法求直线与平面的夹角可利用向量夹角公式或法向量．利用法向量求直线与平面的夹角的基本步骤：

(1)建立空间直角坐标系；

(2)求直线的方向向量AB；

(3)求平面的法向量n；

(4)计算：设线面角为θ，则sin θ＝

AB||n·.

|n|·|AB|

[活学活用]

如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1

中，E是棱DD1求直线BE和平面ABB1A1所成的角的正弦值．

求二面角

[典例]

如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱长都相等，AC∩BD＝O，A1C1∩B1D1＝O1，四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形．

(1)证明：O1O⊥底面ABCD. (2)若∠CBA＝60°，求二面角C1-OB1-D的余弦值．

向量法求二面角(或其某个三角函数值)的四个步骤

(1)建立适当的坐标系，写出相应点的坐标；

(2)求出两个半平面的法向量n1，n2；

(3)设二面角的平面角为θ，则|cos θ|＝|cosn1，n2|；

的中点．

(4)根据图形判断θ为钝角还是锐角，从而求出θ(或其三角函数值)．

[活学活用]

1．[变设问]本例条件不变，求二面角B-A1C-D的余弦值．