1.1.1 命题教学实录与评析

1.1.1

命题

[学习目标] 1．了解命题的概念．

2．会判断命题的真假，能够把命题化为“若p，则q”的形式．

[知识链接]

在初中，我们已学过许多数学命题，当时是如何定义命题的，你能举出一些例子吗？

答：判断一件事情的句子叫命题．

如：有两边相等的三角形是等腰三角形．

[预习导引] 1．命题的定义

(1)用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．

(2)判断为真的语句叫做真命题．

(3)判断为假的语句叫做假命题．

2．命题的结构

从构成来看，所有的命题都具由条件和结论两部分构成．在数学中，命题常写成“若p，则q”这种形式，通常，我们把这种形式的命题中的p叫做命题的条件，q叫做命题的结论．

新课导学：

要点一

命题的判断

例1

下列语句是命题的是(

) A．x－1＝0

B．2＋3＝8 C．你会说英语吗？

D．这是一棵大树

答案

B 解析

A中x不确定，x－1＝0的真假无法判断；B中2＋3＝8是命题，且是假命题；C不是陈述句，故不是命题；D中“大”的标准不确定，无法判断真假．

规律方法

并不是所有的语句都是命题，只有能判断真假的陈述句才是命题，

命题首先是“陈述句”，其他语句如疑问句、祈使句、感叹句等一般都不是命题；其次是“能判断真假”，不能判断真假的陈述句不是命题，如“x≥2”、“小高的个子很高”等都不能判断真假，故都不是命题．因此，判断一个语句是否为命题，关键有两点：①是否为陈述句；②能否判断真假．

跟踪演练1

判断下列语句是否是命题．

(1)求证3是无理数．

(2)x2＋2x＋1≥0. (3)你是高二学生吗？

(4)并非所有的人都喜欢苹果．

(5)一个正整数不是质数就是合数．

(6)若x∈R，则x2＋4x＋7＞0. (7)x＋3>0. 解

(1)(3)(7)不是命题，(2)(4)(5)(6)是命题．

要点二

命题真假的判断

例2

判断下列命题的真假：

(1)已知a，b，c，d∈R，若a≠c，b≠d，则a＋b≠c＋d；

(2)若x∈N，则x3>x2成立；

(3)若m>1，则方程x2－2x＋m＝0无实数根；

(4)存在一个三角形没有外接圆．

解

(1)假命题．反例：1≠4，5≠2，而1＋5＝4＋2.

(2)假命题．反例：当x＝0时，x3>x2不成立．

(3)真命题．∵m>1⇒Δ＝4－4m<0，∴方程x2－2x＋m＝0无实数根．

(4)假命题．因为不共线的三点确定一个圆，即任何三角形都有外接圆．

规律方法

要判断一个命题是真命题，一般需要经过严格的推理论证，在判断时，要有理有据，有时应综合各种情况作出正确的判断，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．

跟踪演练2

下列命题：

①若xy＝1，则x、y互为倒数；

②四条边相等的四边形是正方形；

③平行四边形是梯形；

④若ac2>bc2，则a>b. 其中真命题的序号是________．

答案

①④

解析

①④是真命题，②四条边相等的四边形是菱形，但不一定是正方形，③平行四边形不是梯形．

要点三

命题的结构

例3

把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断真假．

(1)实数的平方是非负数；

(2)等底等高的两个三角形是全等三角形；

(3)当ac>bc时，a>b；

(4)角的平分线上的点到角的两边的距离相等．

解

(1)若一个数是实数，则它的平方是非负数．真命题．

(2)若两个三角形等底等高，则这两个三角形是全等三角形．假命题．

(3)若ac>bc，则a>b.假命题．

(4)若一个点是一个角的平分线上的点，则该点到这个角的两边的距离相等．真命题．

规律方法

把一个命题改写成“若p，则q”的形式，首先要确定命题的条件和结论，若条件和结论比较隐含，要补充完整，有时一个条件有多个结论，有时一个结论需多个条件，还要注意有的命题改写形式也不唯一．

跟踪演练3

将下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断真假．

(1)垂直于同一条直线的两条直线平行；

(2)负数的立方是负数；

(3)对顶角相等．

解

(1)若两条直线垂直于同一条直线，则这两条直线平行．它是假命题．

(2)若一个数是负数，则这个数的立方是负数．它是真命题．

(3)若两个角是对顶角，则这两个角相等．它是真命题．

当堂测试：

1．下列语句不是命题的有(

) ①2<1；②x<1；③若x<2，则x<1；④函数f(x)＝x2是R上的偶函数．

A．0个

B．1个

C．2个

D．3个

答案

B 解析

①③④可以判断真假，是命题；②不能判断真假，所以不是命题．

2．下列命题中的真命题是(

) A．互余的两个角不相等

B．相等的两个角是同位角

C．若a2＝b2，则|a|＝|b| D．三角形的一个外角等于和它不相邻的一个内角

答案

C 解析

由平面几何知识可知A、B、D三项都是错误的．

3．命题“函数y＝2x＋1是增函数”的条件是______________，结论是________________．

答案

函数为y＝2x＋1

该函数是增函数

4．下列命题：

①面积相等的三角形是全等三角形；②若xy＝0，则|x|＋|y|＝0；③若a>b，则ac2>bc2；④矩形的对角线互相垂直．

其中假命题的个数是________．

答案

4 解析

①等底等高的三角形都是面积相等的三角形，但不一定全等；②当x，y中一个为零，另一个不为零时，|x|＋|y|≠0；③当c＝0时不成立；④菱形的对角线互相垂直．矩形的对角线不一定垂直．

课堂小结：

1．根据命题的意义，可以判断真假的陈述句是命题，命题的条件与结论之间属于因果关系，真命题需要给出证明，假命题只需举出一个反例即可．

2．任何命题都是由条件和结论构成的，可以写成“若p，则q”的形式．含有大前提的命题写成“若p，则q”的形式，大前提应保持不变，且不写在条件p中．