小结第二课时教学实录

立体几何的垂直问题

【教学内容分析】

1．内容分析

立体几何是研究三维空间中物体的形状、大小和位置关系的一门数学学科，而三维空间是人们生存发展的现实空间。高考主要考查的是根据棱柱（锥）中的线面位置关系和数量关系，证明和求解其它线面位置关系和数量关系；要求学生掌握空间平行与垂直关系的判定定理，并能用之证明相关问题；掌握异面直线所成角、线面角与二面角的定义和求法；能用空间向量求解上述两大问题问题。在近三年的高考试题中，对垂直关系的考查占了较大的比例。

2．教学重点：立体几何中垂直关系的证明

3．教学难点：垂直关系证明的突破点

【教学目标】

1. 知识与技能：学生掌握证明垂直关系、建立空间直角坐标系和空间角的求解方法；

2. 过程与方法：在解决问题的过程中，学生体会到数学思维的严密性，提升空间想象能力；

3. 情感态度与价值观：解题过程锻炼了学生分析和解决问题的毅力。

【教学过程设计】

一、引入课题

学生在考试中立体几何的得分总是差强人意，以及立体几何在高考中考查的重要性，我们有必要在第二轮复习中系统全面的对高中立体几何知识进行回顾与复习。

本节课主要针对立体几何解答题中的垂直问题进行复习。

二、垂直关系的证明

例1（2016全国卷Ⅱ）：如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，AB5,AC6，点E,F分别在AD,CD上，AECFEF交BD于点H．将DEF沿EF折到DEF位置，5，4OD10．

（Ⅰ）证明：DH平面ABCD；

（Ⅱ）求二面角BDAC的正弦值。

师生活动

设计意图

1

教师引导学生回顾垂直关系证明的方法和解题思路；

教师引导学生分析和寻找本题的解题思路和方法，并投影学生的作业进行点评；

教师对本题所用到的解题策略进行小结板书，并引导学生发现探明垂直关系对后续建系策略的重要作用。

对方法和解题思路的回顾有助于学生更快速地找到解决问题的突破点；

对学生作业进行点评有助于学生更规范地完成解答；

对解题方法的小结有助于学生及时积累解题策略；对建系策略的引导为后续问题的教学做好铺垫。

变式1：（2017全国卷Ⅲ）如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD=∠CBD，AB=BD．

（1）证明：平面ACD⊥平面ABC；

（2）过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角D﹣AE﹣C的余弦值．

师生活动

教师引导学生分析和寻找本题的突破点，并投影学生的作业进行点评；

教师对本题所用到的解题策略进行小结板书，并再次引导学生发现探明垂直关系对后续建系策略的重要作用。

二、空间直角坐标系的建立

例2：如图，ABC和BCD所在平面互相垂直，且设计意图

对学生作业进行点评有助于学生更规范地完成解答；

对解题方法的小结有助于学生及时积累解题策略；对建系策略的引导为后续问题的教学做好铺垫。

ABBCBD2，ABCDBC1200，E、F分别为AC、DC的中点. （1）求证：EFBC；

（2）求二面角EBFC的正弦值.

原题的建系如下：由题意，以B为坐标原点，在平面DBC内过B作垂直BC的直线为x轴，BC所在直线为y轴，在平面ABC内过B作垂直BC的直线为z轴，建立如图所示的空间

2

直角坐标系。请同学们判断这一过程是否存在问题？

师生活动

教师引导学生建立空间直角坐标系的关键点，并进行板书；

学生回答建系过程存在的问题；

设计意图

对关键点的回顾有助于学生理清建系的思路，有能力判断建系步骤的严密性；

对错解进行修正有助于学生更有效的建立坐标系

三、垂直关系在求解空间角中的应用

例3（2016全国卷Ⅰ）：如图,在以A,B,C,D,E,F为顶点的五面DC体中,面ABEF为正方形,AF=2FD, AFD90,且二面角FD-AF-E与二面角C-BE-F都是60．

（I）证明：平面ABEF平面EFDC；

（II）求二面角E-BC-A的余弦值．

师生活动

教师引导学生回顾求空间角的几何法并板书；

教师引导学生分析本题的突破点，投影学生的作业进行点评。

设计意图

对方法的复习有助于学生更快地找到解题策略；

对学生作业进行点评有助于学生更规范地完成解答。

变式2：如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD//BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC上的点，PA=PD=2，BC=1AD=1，CD=3．

2（1）求证：平面PQB⊥平面PAD；

（2）若二面角M-BQ-C为30°，设PM=tMC，

试确定t的值

师生活动

设计意图

3

教师引导学生分析本题二面角的解决方法，投影学生的作业进行点评。

四、小结

师生活动

教师引导学生对本节课的知识与方法进行小结。

与例3的对比，可以帮助学生更快的找到解题策略，提高解题效率。

设计意图

小结有助于学生理清思路，更高效的解决问题。

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