3.1.1 变化率问题教学教案设计

§3.1.1变化率问题

教学目标

1．理解平均变化率的概念；

2．了解平均变化率的几何意义；

3．会求函数在某点处附近的平均变化率

教学重点：平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率； 教学难点：平均变化率的概念．

教学过程：

一．创设情景

为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象，在数学中引入了函数，随着对函数的研究，产生了微积分，微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关：

一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等; 二、求曲线的切线; 三、求已知函数的最大值与最小值; 四、求长度、面积、体积和重心等。

导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具。

导数研究的问题即变化率问题：研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度．

二．新课讲授

（一）问题提出

问题1 气球膨胀率

我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢? 

气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的函数关系是V(r)43r

3

如果将半径r表示为体积V的函数,那么r(V)33V

4分析: r(V)33V，

4⑴

当V从0增加到1时,气球半径增加了r(1)r(0)0.62(dm)

气球的平均膨胀率为r(1)r(0)0.62(dm/L)

10h ⑵

当V从1增加到2时,气球半径增加了r(2)r(1)0.16(dm)

气球的平均膨胀率为r(2)r(1)0.16(dm/L)

21可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了．

思考：当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少? o

- 1 - t

r(V2)r(V1)

V2V1问题2 高台跳水

在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系h(t)= -4.9t2+6.5t+10.如何用运动员在某些时间段内的平均速v度粗略地描述其运动状态? 思考计算：0t0.5和1t2的平均速度v

h(0.5)h(0)4.05(m/s)；

0.50h(2)h(1)8.2(m/s)

在1t2这段时间里，v2165探究：计算运动员在0t这段时间里的平均速度，并思考以下问题：

49在0t0.5这段时间里，v⑴运动员在这段时间内使静止的吗？

⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？

探究过程：如图是函数h(t)= -4.9t+6.5t+10的图像，结合图形可知，h(265)h(0)，

4965)h(0)所以v490(s/m)，

6504965虽然运动员在0t这段时间里的平均速度为0(s/m)，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可49h(以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态．

（二）平均变化率概念: 1．上述问题中的变化率可用式子 f(x2)f(x1)表示, 称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率

x2x12．若设xx2x1, ff(x2)f(x1) (这里x看作是对于x1的一个“增量”可用x1+x代替x2,同样fyf(x2)f(x1)) 3．

则平均变化率为f(x2)f(x1)f(x1x)f(x1)yf

xxx2x1x思考：观察函数f(x)的图象

平均变化率ff(x2)f(x1)表示什么? xx2x1

- 2 -

y y=f(x)

直线AB的斜率

三．典例分析

2f(x2) △y =f(x2)-f(x1)

f(x1) O △x= x2-x1

x1 x2 x 例1．已知函数f(x)=xx的图象上的一点A(1,2)及临近一点B(1x,2y),则y ．

x解：2y(1x)2(1x)，

y(1x)2(1x)23x

∴xx例2．

求yx2在xx0附近的平均变化率。

y(x0x)2x0解：y(x0x)x0，所以

xx222x02x0xx2x02x0x

x 所以yx2在xx0附近的平均变化率为2x0x

四．课堂练习

1．质点运动规律为st3，则在时间(3,3t)中相应的平均速度为 ．

2.物体按照s(t)=3t+t+4的规律作直线运动,求在4s附近的平均变化率. 33.过曲线y=f(x)=x上两点P（1，1）和Q (1+Δx,1+Δy)作曲线的割线，求出当Δx=0.1时割线的斜率. 五．回顾总结

1．平均变化率的概念

2．函数在某点处附近的平均变化率

六．布置作业

2222

- 3 -