3.3.4 两条平行直线间的距离课时教学实录

3．3.4 两条平行直线间的距离

1．掌握两条平行直线间距离的定义．

2．会求两条平行直线间的距离．

两条平行直线间的距离

(1)定义：夹在两条平行直线间__________的长叫做这两条平行直线间的距离．

(2)求法：转化为求__________的距离，即在其中任意一条直线上任取一点，这点到另一条直线的距离就是这两条平行直线间的距离．

【做一做】

两条平行直线x＋y＋2＝0与x＋y－3＝0的距离等于(

) 5A.2

2

B.2

2

C．52

D.2

答案：(1)公垂线段

(2)点到直线

【做一做】

A

两条平行直线间的距离公式

剖析：对于直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0.当直线l1∥l2时，它们的方程可以化为以下形式：直线l1：Ax＋By＋D1＝0，直线l2：Ax＋By＋D2＝0. 在直线l1上任取一点P(x0，y0)，则有l1：Ax0＋By0＋D1＝0，即Ax0＋By0＝－D1. |Ax0＋By0＋D2||－D1＋D2||D1－D2|所以点P到直线l2的距离d＝＝＝2

，

A2＋B2A2＋B2A＋B2|D1－D2|即直线l1，l2的距离d＝. A2＋B2

(1)使用两条平行直线间的距离公式的前提条件：

①把直线方程化为直线的一般式方程；

②两条直线方程中x，y系数必须分别相等．

(2)求两条平行直线间的距离通常转化为其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离，且两条平行线间距离与其中一条直线上点的选取无关．

(3)当两条直线都与x轴(或y轴)垂直时，可利用数形结合方法来解决．

①两条直线都与x轴垂直时，l1：x＝x1，l2：x＝x2，则两条平行直线间的距离d＝|x2－x1|；

②两条直线都与y轴垂直时，l1：y＝y1，l2：y＝y2，则两条平行直线间的距离d＝|y2－y1|.

题型一：求两条平行线间的距离

【例1】

求两条平行线l1：3x＋4y－5＝0和l2：6x＋8y－9＝0间的距离．

反思：求两条平行直线间距离有两种思路：

①利用“化归”思想将两条平行直线间的距离转化为求其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离．由于这种求法与点的选择无关，因此，选点时，常选取一个特殊点，如直线与坐标轴的交点等，以便于运算，如本题解法一．

|C1－C2|②利用两条平行直线间的距离公式d＝，如本题解法二．

A2＋B2题型二：两条平行直线间距离公式的应用

【例2】

平行于直线x－3y＝0，且与其距离为3的直线l的方程是__________．

反思：求平行于直线Ax＋By＋C＝0的直线方程时，常设为Ax＋By＋m＝0(m≠C)，利用待定系数法来解决．有关平行直线间距离问题，常利用两条平行直线间的距离公式列出方程来解决．

题型三：易错辨析

易错点

利用两条平行直线间的距离公式求距离时，常忽略方程的系数

【例3】

求两条平行直线l1：3x＋4y＋2＝0，l2：12x＋16y－8＝0之间的距离．

|2－－8|10错解：d＝22＝5＝2. 3＋4错因分析：错解中，没有把l2的方程化为3x＋4y＋m＝0的形式，导致出错．

反思：使用两条平行线间的距离公式求距离时，应把直线方程化为一般式，同时要使两个直线方程中x，y的系数对应相等．

答案：【例1】

解：解法一：在直线l1：3x＋4y－5＝0上任取一点，

5不妨取点P(0，)，

4则点P到直线l2：6x＋8y－9＝0的距离即为两条平行直线间的距离．

5|0×6＋8×－9|41因此d＝＝. 1062＋829解法二：把l2：6x＋8y－9＝0化为3x＋4y－＝0，

2由两条平行直线间的距离公式，

9|－5－－|21得d＝22＝10. 3＋4【例2】

x－3y＋6＝0或x－3y－6＝0 【例3】

正解：l2：12x＋16y－8＝0可化为3x＋4y－2＝0，根据两条平行线间的距离|2－－2|4公式，可得d＝＝. 32＋425

1．直线xy3＝1与y＝x＋1之间的距离为(

) 462

B. A.413

131413

13

C. 13

2

D．24

2．平行直线x－y＝0与x－y＋m＝0的距离等于2，则实数m＝__________. 3．直线l与两条平行直线l1：x－3y＋1＝0，直线l2：x－3y＋5＝0的距离相等，则直线l的方程是__________．

4．两条平行线3x＋4y＋5＝0与6x＋ay＋30＝0间的距离为d，则a＋d＝__________. 5．求与直线l：5x－12y＋6＝0平行且到l的距离为2的直线方程．

答案：1．B

2.±2

3.x－3y＋3＝0

4.10 5．解：设所求直线的方程为5x－12y＋m＝0(m≠6)，

由两条直线的距离为2，知6m51222＝2. 则m＝32或m＝－20，

故所求直线方程为5x－12y＋32＝0或5x－12y－20＝0.