习题4.1教案3

4.1圆的方程

1．圆的定义及方程

定义

标准方程

2平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)

(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)

x＋y＋Dx＋Ey＋F＝0，(D＋E2－4F＞0) 22

圆心：(a，b)，半径：r

DE－，－，

圆心：221半径：D2＋E2－4F

2一般方程

2．点与圆的位置关系

点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系：

(1)若M(x0，y0)在圆外，则(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2．

(2)若M(x0，y0)在圆上，则(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2．

(3)若M(x0，y0)在圆内，则(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2．

[小题体验]

1．(2016·全国甲卷)圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圆心到直线ax＋y－1＝0的距离为1，则a＝(

) 4A．－

3C．3

3B．－

4D．2 解析：选A

因为圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圆心坐标为(1,4)，所以圆心到直线ax＋y－1＝0的距离d＝|a＋4－1|4＝1，解得a＝－．

3a2＋12．(教材习题改编)圆C的直径的两个端点分别是A(－1,2)，B(1,4)，则圆C的标准方程为________．

解析：设圆心C的坐标为(a，b)，

－1＋12＋4则a＝＝0，b＝＝3，故圆心C(0,3)．

2211半径r＝|AB|＝[1－－1]2＋4－22＝2．

22∴圆C的标准方程为x2＋(y－3)2＝2．

答案：x2＋(y－3)2＝2 3．若点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则实数a的取值范围是________．

解析：因为点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，所以(1－a)2＋(1＋a)2＜4．

即a2＜1，故－1＜a＜1．

答案：(－1,1)

对于方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆时易忽视D2＋E2－4F＞0这一成立条件．

[小题纠偏]

(2016·浙江高考)已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________．

解析：由二元二次方程表示圆的条件可得a2＝a＋2，解得a＝2或－1．当a＝2时，方155x＋2＋(y＋1)2＝－＜0，程为4x2＋4y2＋4x＋8y＋10＝0，即x2＋y2＋x＋2y＋＝0，配方得224不表示圆；

当a＝－1时，方程为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，配方得(x＋2)2＋(y＋4)2＝25，则圆心坐标为(－2，－4)，半径是5．

答案：(－2，－4)

5

考点一

圆的方程基础送分型考点——自主练透

[题组练透]

1．(2017·石家庄质检)若圆C的半径为1，点C与点(2,0)关于点(1,0)对称，则圆C的标准方程为(

) A．x2＋y2＝1

C．(x－1)2＋y2＝1

B．(x－3)2＋y2＝1 D．x2＋(y－3)2＝1 解析：选A

因为点C与点(2,0)关于点(1,0)对称，故由中点坐标公式可得C(0,0)，所以所求圆的标准方程为x2＋y2＝1．

2．圆心在y轴上且经过点(3,1)的圆与x轴相切，则该圆的方程是(

) A．x2＋y2＋10y＝0

C．x2＋y2＋10x＝0

B．x2＋y2－10y＝0 D．x2＋y2－10x＝0 解析：选B

设圆心为(0，b)，半径为r，则r＝|b|，所以圆的方程为x2＋(y－b)2＝b2．

因为点(3,1)在圆上，所以9＋(1－b)2＝b2，解得b＝5．所以圆的方程为x2＋y2－10y＝0．

3．(2015·全国卷Ⅱ)过三点A(1,3)，B(4,2)，C(1，－7)的圆交y轴于M，N两点，则|MN|＝(

) A．26

C．46

B．8 D．10 解析：选C

设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，

D＋3E＋F＋10＝0，则4D＋2E＋F＋20＝0，D－7E＋F＋50＝0.

D＝－2，解得E＝4，F＝－20.

∴圆的方程为x2＋y2－2x＋4y－20＝0．

令x＝0，得y＝－2＋26或y＝－2－26，

∴M(0，－2＋26)，N(0，－2－26)或M(0，－2－26)，N(0，－2＋26)，

∴|MN|＝46，故选C．

4．(2016·天津高考)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，5)在圆C上，且圆心到直线2x－y＝0的距离为45，则圆C的方程为________________．

5解析：因为圆C的圆心在x轴的正半轴上，设C(a,0)，且a＞0，所以圆心到直线2x－y＝0的距离d＝2a45＝，解得a＝2，

55所以圆C的半径r＝|CM|＝4＋5＝3，

所以圆C的方程为(x－2)2＋y2＝9．

答案：(x－2)2＋y2＝9

[谨记通法]

1．求圆的方程的2种方法

(1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．

(2)待定系数法：

①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值；

②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值．

2．确定圆心位置的3种方法

(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上．

(2)圆心在圆的任意弦的垂直平分线上．

(3)两圆相切时，切点与两圆圆心共线．

[提醒]

解答圆的有关问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质．

考点二

与圆有关的最值问题题点多变型考点——多角探明

[锁定考向]

与圆有关的最值问题是命题的热点内容，它着重考查数形结合与转化思想．

常见的命题角度有：

(1)斜率型最值问题；

(2)截距型最值问题；

(3)距离型最值问题．

[题点全练]

角度一：斜率型最值问题

y1．(2016·抚顺模拟)已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0，求的最大值和最小值．

x解：原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，

表示以(2,0)为圆心，3为半径的圆．

y的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，

xy所以设x＝k，即y＝kx．

当直线y＝kx与圆相切时(如图)，斜率k取最大值或最小值，

此时|2k－0|＝3，

k2＋1解得k＝±3．

y所以x的最大值为3，最小值为－3．

角度二：截距型最值问题

2．已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0，求y－x的最大值和最小值．

解：y－x可看作是直线y＝x＋b在y轴上的截距，如图所示，当直线y＝x＋b与圆相|2－0＋b|切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时＝3，解得b＝－2±6．所以y－x的2最大值为－2＋6，最小值为－2－6．

角度三：距离型最值问题

3．已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0，求x2＋y2的最大值和最小值．

解：如图所示，x2＋y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值．

又圆心到原点的距离为

2－02＋0－02＝2，

所以x2＋y2的最大值是(2＋3)2＝7＋43，x2＋y2的最小值是(2－3)2＝7－43．

[通法在握]

与圆有关的最值问题的3种常见转化法

y－b(1)形如μ＝形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题．

x－a(2)形如t＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题．

(3)形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．[演练冲关]

1．设点P是函数y＝－4－x－12图象上的任意一点，点Q坐标为(2a，a－3)(a∈R)，则|PQ|的最小值为________．

解析：函数y＝－4－x－12的图象表示圆(x－1)2＋y2＝4的下x＝2a，x半圆．令点Q的坐标为(x，y)，则得y＝－3，即x－2y2y＝a－3，

－6＝0，作出图象如图所示．

由于圆心(1,0)到直线x－2y－6＝0的距离d＝|1－2×0－6|＝5＞2，所以直线x－2y－12＋－226＝0与圆(x－1)2＋y2＝4相离，因此|PQ|的最小值是5－2．

答案：5－2 2．已知m＞0，n＞0，若直线(m＋1)x＋(n＋1)y－2＝0与圆(x－1)2＋(y－1)2＝1相切，则m＋n的取值范围是________．

解析：因为m＞0，n＞0，直线(m＋1)x＋(n＋1)y－2＝0与圆(x－1)2＋(y－1)2＝1相切，所以圆心C(1,1)到直线的距离为半径1，所以|m＋1＋n＋1－2|m＋12＋n＋12＝1，即|m＋n|＝m＋12＋n＋12．两边平方并整理得mn＝m＋n＋1．

m＋n2m＋n2由基本不等式mn≤可得m＋n＋1≤，即(m＋n)2－4(m＋n)－4≥0，

22解得m＋n≥2＋22．

当且仅当m＝n时等号成立．

答案：[2＋22，＋∞)

考点三

与圆有关的轨迹问题重点保分型考点——师生共研

[典例引领]

已知A(2,0)为圆x2＋y2＝4上一定点，B(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点．

(1)求线段AP中点的轨迹方程；

(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程．

解：(1)设AP的中点为M(x，y)，

由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x－2,2y)．

因为P点在圆x2＋y2＝4上，

所以(2x－2)2＋(2y)2＝4．

故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1．

(2)设PQ的中点为N(x，y)，

在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|，

设O为坐标原点，连接ON，则ON⊥PQ，

所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，

所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4．

故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0．

[由题悟法]

与圆有关的轨迹问题的4种求法

(1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程．

(2)定义法：根据圆、直线等定义列方程．

(3)几何法：利用圆与圆的几何性质列方程．

(4)代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等．

[即时应用]

设定点M(－3,4)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，点O是坐标原点，以OM，ON为两边作平行四边形MONP，求动点P的轨迹．

解：∵四边形MONP为平行四边形，

―→―→―→∴OP＝OM＋ON．

设点P(x，y)，点N(x0，y0)，

―→―→―→则ON＝OP－OM＝(x，y)－(－3,4)＝(x＋3，y－4)＝(x0，y0)，

∴x0＝x＋3，y0＝y－4．

又点N在圆x2＋y2＝4上运动，

2∴x0＋y20＝4，

即(x＋3)2＋(y－4)2＝4．

又当OM与ON共线时，O，M，N，P构不成平行四边形，

9122128－，和－，．故动点P的轨迹是以(－3,4)为圆心，2为半径的圆且除去两点5555

一抓基础，多练小题做到眼疾手快

1．经过点(1,0)，且圆心是两直线x＝1与x＋y＝2的交点的圆的方程为(

) A．(x－1)2＋y2＝1 B．(x－1)2＋(y－1)2＝1 C．x2＋(y－1)2＝1 D．(x－1)2＋(y－1)2＝2 x＝1，x＝1，解析：选B

由得

x＋y＝2，y＝1，

即所求圆的圆心坐标为(1,1)，

又由该圆过点(1,0)，得其半径为1，

故圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1．

2．若圆x2＋y2＋2ax－b2＝0的半径为2，则点(a，b)到原点的距离为(

) A．1

C．2

B．2 D．4

解析：选B

由半径r＝11D2＋E2－4F＝4a2＋4b2＝2得，a2＋b2＝2．

22∴点(a，b)到原点的距离d＝a2＋b2＝2，故选B．

3．点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是(

) A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1

C．(x＋4)2＋(y－2)2＝4

B．(x＋2)2＋(y＋1)2＝4 D．(x＋2)2＋(y－1)2＝1 解析：选A

设圆上任一点为Q(x0，y0)，

x，x＝4＋2PQ的中点为M(x，y)，则－2＋yy＝，200

x0＝2x－4，解得因为点Q在圆x2＋y2＝4上，

y0＝2y＋2，222所以x20＋y0＝4，即(2x－4)＋(2y＋2)＝4，

化简得(x－2)2＋(y＋1)2＝1．

4．若圆C的半径为1，其圆心与点(1,0)关于直线y＝x对称，则圆C的标准方程为________．

解析：根据题意得点(1,0)关于直线y＝x对称的点(0,1)为圆心，又半径r＝1，所以圆C的标准方程为x2＋(y－1)2＝1．

答案：x2＋(y－1)2＝1 5．已知圆C的圆心在x轴上，并且经过点A(－1,1)，B(1,3)，若M(m，6)在圆C内，则m的取值范围为________．

解析：设圆心为C(a,0)，由|CA|＝|CB|，

得(a＋1)2＋12＝(a－1)2＋32，解得a＝2．

半径r＝|CA|＝2＋12＋12＝10．

故圆C的方程为(x－2)2＋y2＝10．

由题意知(m－2)2＋(6)2＜10，

解得0＜m＜4．

答案：(0,4) 二保高考，全练题型做到高考达标

1．方程y＝1－x2表示的曲线是(

) A．上半圆

C．圆

B．下半圆

D．抛物线

解析：选A

由方程可得x2＋y2＝1(y≥0)，即此曲线为圆x2＋y2＝1的上半圆．

2．以M(1,0)为圆心，且与直线x－y＋3＝0相切的圆的方程是(

) A．(x－1)2＋y2＝8

C．(x－1)2＋y2＝16

B．(x＋1)2＋y2＝8 D．(x＋1)2＋y2＝16 解析：选A

因为所求圆与直线x－y＋3＝0相切，

所以圆心M(1,0)到直线x－y＋3＝0的距离即为该圆的半径r，即r＝所以所求圆的方程为：(x－1)2＋y2＝8．故选A．

3．已知圆C的圆心是直线x－y＋1＝0与x轴的交点，且圆C与直线x＋y＋3＝0相切，则圆C的方程是(

) A．(x＋1)2＋y2＝2

C．(x－1)2＋y2＝2

B．(x＋1)2＋y2＝8 D．(x－1)2＋y2＝8 |1－0＋3|＝22．

2解析：选A

直线x－y＋1＝0与x轴的交点(－1,0)．

根据题意，圆C的圆心坐标为(－1,0)．

|－1＋0＋3|因为圆与直线x＋y＋3＝0相切，所以半径为圆心到切线的距离，即r＝d＝12＋12＝2，

则圆的方程为(x＋1)2＋y2＝2．故选A．

4．已知圆C与直线y＝x及x－y－4＝0都相切，圆心在直线y＝－x上，则圆C的方程为(

) A．(x＋1)2＋(y－1)2＝2

C．(x－1)2＋(y－1)2＝2

B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2 D．(x－1)2＋(y＋1)2＝2 |4|＝22，所以r＝2．又2解析：选D

由题意知x－y＝0 和x－y－4＝0之间的距离为因为x＋y＝0与x－y＝0，x－y－4＝0均垂直，所以由x＋y＝0和x－y＝0联立得交点坐标为(0,0)，由x＋y＝0和x－y－4＝0联立得交点坐标为(2，－2)，所以圆心坐标为(1，－1)，圆C的标准方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2．

5．已知直线l：x＋my＋4＝0，若曲线x2＋y2＋2x－6y＋1＝0上存在两点P，Q关于直线l对称，则m的值为(

) A．2

C．1

B．－2 D．－1 解析：选D

因为曲线x2＋y2＋2x－6y＋1＝0是圆(x＋1)2＋(y－3)2＝9，若圆(x＋1)2＋(y－3)2＝9上存在两点P，Q关于直线l对称，则直线l：x＋my＋4＝0过圆心(－1,3)，所以－1＋3m＋4＝0，解得m＝－1．

6．设A(－3,0)，B(3,0)为两定点，动点P到A点的距离与到B点的距离之比为1∶2，则点P的轨迹图形所围成的面积是________．

x＋32＋y21解析：设P(x，y)，则由题意有＝，

x－32＋y24整理得x2＋y2＋10x＋9＝0，即(x＋5)2＋y2＝16，

所以点P在半径为4的圆上，故其面积为16π．

答案：16π

7．(2016·东城区调研)当方程x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0所表示的圆的面积取最大值时，直线y＝(k－1)x＋2的倾斜角α＝________．

1解析：由题意知，圆的半径r＝

21k2＋4－4k2＝

24－3k2≤1，当半径r取最大值时，圆的面积最大，此时k＝0，r＝1，所以直线方程为y＝－x＋2，则有tan α＝－1，又α∈[0，3ππ)，故α＝．

4答案：3π

4x≥0，8．已知平面区域y≥0，x＋2y－4≤0

恰好被面积最小的圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2及其内部所覆盖，则圆C的方程为____________________．

解析：由题意知，此平面区域表示的是以O(0,0)，P(4,0)，Q(0,2)所构成的三角形及其内部，所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆．

∵△OPQ为直角三角形，

∴圆心为斜边PQ的中点(2,1)，半径r＝|PQ|＝5，

2因此圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5．

答案：(x－2)2＋(y－1)2＝5 9．已知以点P为圆心的圆经过点A(－1,0)和B(3,4)，线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D，且|CD|＝410．

(1)求直线CD的方程；

(2)求圆P的方程．

解：(1)由题意知，直线AB的斜率k＝1，中点坐标为(1,2)．则直线CD的方程为y－2＝－(x－1)，即x＋y－3＝0．

(2)设圆心P(a，b)，则由点P在CD上得a＋b－3＝0．①

又∵直径|CD|＝410，

∴|PA|＝210，

∴(a＋1)2＋b2＝40．②

a＝－3，a＝5，由①②解得或

b＝6b＝－2.

∴圆心P(－3,6)或P(5，－2)．

∴圆P的方程为(x＋3)2＋(y－6)2＝40或(x－5)2＋(y＋2)2＝40．

10．已知过原点的动直线l与圆C1：x2＋y2－6x＋5＝0相交于不同的两点A，B．

(1)求圆C1的圆心坐标．

(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程．

解：(1)把圆C1的方程化为标准方程得(x－3)2＋y2＝4，∴圆C1的圆心坐标为C1(3,0)．

(2)设M(x，y)，∵A，B为过原点的直线l与圆C1的交点，且M为AB的中点，

―→―→∴由圆的性质知：MC1⊥MO，∴MC1·MO＝0．

―→―→又∵MC1＝(3－x，－y)，MO＝(－x，－y)，

∴由向量的数量积公式得x2－3x＋y2＝0．

易知直线l的斜率存在，∴设直线l的方程为y＝mx，

当直线l与圆C1相切时，d＝25解得m＝±．

55把相切时直线l的方程代入圆C1的方程化简得9x2－30x＋25＝0，解得x＝．

3当直线l经过圆C1的圆心时，M的坐标为(3,0)．

又∵直线l与圆C1交于A，B两点，M为AB的中点，

5∴

35∴点M的轨迹C的方程为x2－3x＋y2＝0，其中

3三上台阶，自主选做志在冲刺名校

1．已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1 和两点A(－m,0), B(m,0)(m＞0)．若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则m的最大值为(

) A．7

C．5

22|3m－0|＝2，

m2＋1B．6 D．4 x0＝3＋cos θ，解析：选B

由(x－3)＋(y－4)＝1知圆上点P(x0，y0)可化为

y0＝4＋sin θ.

―→―→∵∠APB＝90°，即AP·BP＝0，

∴(x0＋m)(x0－m)＋y20＝0，

22∴m2＝x0＋y0＝26＋6cos θ＋8sin θ

3其中tan φ＝，

＝26＋10sin(θ＋φ)4∴16≤m2≤36,且m＞0，∴4≤m≤6，即m的最大值为6．

2．已知M(m，n)为圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一点．

(1)求m＋2n的最大值；

(2)求n－3的最大值和最小值．

m＋2解：(1)因为x2＋y2－4x－14y＋45＝0的圆心C(2,7)，半径r＝22，设m＋2n＝t，将m2n＝t看成直线方程，

因为该直线与圆有公共点，

所以圆心到直线的距离d＝|2＋2×7－t|12＋22≤22，

解上式得，16－210≤t≤16＋210，

所以所求的最大值为16＋210．

(2)记点Q(－2,3)，

因为n－3m＋2表示直线MQ的斜率k，

所以直线MQ的方程为y－3＝k(x＋2)，

即kx－y＋2k＋3＝0．

由直线MQ与圆C有公共点，

得|2k－7＋2k＋3|1＋k2≤22．

可得2－3≤k≤2＋3，所以n－3m＋2的最大值为2＋3，最小值为2－3．

＋