小结特级教师教学实录

第三章 章末复习课

题型一

空间向量及其运算

空间向量的运算主要包括空间向量的线性运算、数量积运算以及空间向量的坐标运算．空间向量的运算法则、运算律与平面向量基本一致．

例1

如图，在四棱锥S—ABCD中，底面ABCD 是边长为1的正方形，S到A、B、C、D的距离都等于2.给出以下结论：→→→→→→→→→→→→①SA＋SB＋SC＋SD＝0；②SA＋SB－SC－SD＝0；③SA－SB＋SC－SD＝0；→→→→→→④SA·SB＝SC·SD；⑤SA·SC＝0，其中正确结论的序号是________．

跟踪1

如图，四棱柱ABCD—A1B1C1D1的底面ABCD是矩形，AB＝4，AD＝3，AA1＝5，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，求AC1的长．

题型二

利用空间向量证明空间中的位置关系

向量作为工具来研究几何，真正把几何的形与代数中的数实现了有机结合；给立体几何的研究带来了极大的便利，利用空间向量可以方便地论证空间中的一些线面位置关系，如线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直等．用空间向量判断空间中的位置关系的常用方法如下．

1．线线平行

证明两条直线平行，只需证明两条直线的方向向量是共线向量．

2．线线垂直

证明两条直线垂直，只需证明两直线的方向向量垂直，则a⊥b⇔a·b＝0.

3．线面平行

用向量证明线面平行的方法主要有

①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；

②证明可在平面内找到一个向量与直线的方向向量是共线向量；

③利用共面向量定理，即证明可在平面内找到两不共线向量用直线的方向向量线性表示．

4．线面垂直

用向量证明线面垂直的方法主要有①证明直线的方向向量与平面的法向量平行；

②利用线面垂直的判定定理转化为线线垂直问题．

45

青海师大附属第二中学

高二（上）数学选修2-1

导学案

编制人：王生芸

审核人：巩红军

韩飞

5．面面平行

①证明两个平面的法向量平行(即是共线向量)；②转化为线面平行、线线平行问题．

6.面面垂直

①证明两个平面的法向量互相垂直；②转化为线面垂直、线线垂直问题．

例2

如图，已知在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AC⊥BC，D为AB的中点，AC＝BC＝BB1. 求证：(1)BC1⊥AB1；

(2)BC1∥平面CA1D.

跟踪2

如图，在三棱柱ABC—A1B1C1中，侧面AA1C1C⊥底面ABC，AA1＝A1C＝AC＝2，AB＝BC，且AB⊥BC，O为AC的中点．

(1)证明：A1O⊥平面ABC；

(2)求直线A1C与平面A1AB所成角的正弦值；

(3)在BC1上是否存在一点E，使得OE∥平面A1AB，若不存在，说明理由；若存在，确定点E的位置．

题型三

利用空间向量求空间角

1．求异面直线所成的角

设两异面直线的方向向量分别为n1、n2，那么这两条异面直线所成的角为θ＝〈n1，n2〉或θ＝π－〈n1，n2〉，∴cos θ＝|cos〈n1，n2〉|. 2．求二面角的大小

如图，设平面α、β的法向量分别为n1、n2.因为两平面的法向量所成的角(或其补角)就等于平面α、β

所成的锐二面角θ，所以cos θ＝|cos〈n1，n2〉|. 3．求斜线与平面所成的角

如图，设平面α的法向量为n1，斜线OA的方向向量为n2，斜线OA与平面所成的角为θ，则sin θ＝|cos〈n1，n2〉|. 例3

如图，正方形ACDE所在的平面与平面ABC垂直，M是CE与AD的交点，AC⊥BC，且AC＝BC. (1)求证：AM⊥平面EBC；

(2)求直线AB与平面EBC所成角的大小；

(3)求二面角A—EB—C的大小．

跟踪3

如图，直三棱柱ABC—A1B1C1中，AB⊥AC，D、E分别为AA1、B1C的中点，DE⊥平面BCC1B1.

(1)证明：AB＝AC；

(2)设二面角A—BD—C为60°，求B1C与平面BCD所成的角的大小．

【课堂小结】空间向量的引入拓展了解决立体几何问题的思路，我们可以通过建立合理的空间直角坐标系，直接利用空间向量的坐标运算进行求解，这也是空间几何体数字化的一个特征．

46

章末检测

一、选择题

1．对于向量a、b、c和实数λ，下列命题中真命题是

(

) A．若a·b＝0，则a＝0或b＝0

B．若λa＝0，则λ＝0或a＝0 C．若a2＝b2，则a＝b或a＝－b

D．若a·b＝a·c，则b＝c

2．已知平面α和平面β的法向量分别为m＝(3,1，－5)，n＝(－6，－2,10)，则(

) A．α⊥β

B．α∥β

C．α与β相交但不垂直

D．以上都不对

3．已知向量a＝(0,2,1)，b＝(－1,1，－2)，则a与b的夹角为

(

) A．0°

B．45°

C．90°

D．180°

→→→4.如图，在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，已知AB＝a，AD＝b，AA1＝c，则用向量a，b，c→可表示向量BD1等于

(

)A．a＋b＋c

B．a－b＋c

C．a＋b－c

D．－a＋b＋c

5．若平面α的法向量为n，直线l的方向向量为a，直线l与平面α的夹角为θ，则下列关系

|n·a||n·a|n·an·a式成立的是

(

)A．cos θ＝

B．cos θ＝

C．sin θ＝

D．sin θ＝

|n||a||n||a||n||a||n||a|→→→→→→6．设A、B、C、D是空间不共面的四点，且满足AB·AC＝0，AC·AD＝0，AB·AD＝0，则△BCD 是

(

)A．钝角三角形

B．锐角三角形

C．直角三角形

D．不确定

7．在以下命题中，不正确的个数为

．

(

) ①|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共线的充要条件；②对a∥b，则存在唯一的实数λ，使a＝λb；

→→→→③对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若OP＝2OA－2OB－OC，则P，A，B，C四点共面；④|(a·b)·c|＝|a|·|b|·|c|.

A．2

B．3

C．4

D．1 8.已知四边形ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，连接AC，BD，PB，PC，

PD，则下列各组向量中，数量积不一定为零的是

→→A.PC与BD

(

) →→→→B.DA与PB C.PD与AB

→→D.PA与CD

9．设E，F是正方体AC1的棱AB和D1C1的中点，在正方体的12条面对角线中，与截面A1ECF 成60°角的对角线的数目是

(

)A．0

B．2

C．4

D．6 10.如图，AB＝AC＝BD＝1，AB⊂面M，AC⊥面M，BD⊥AB，BD与

面M成30°角，则C、D间的距离为

(

)A．1

B．2

C.2

D.3 11．已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E，F分别是BC、AD的中

113→→点，则AE·AF的值为

(

)，A．a2

B.a2

C.a2

D.a2

24412.如图所示，在三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，点E、

47

青海师大附属第二中学

高二（上）数学选修2-1

导学案

编制人：王生芸

审核人：巩红军

韩飞

F分别是棱AB、BB1的中点，则直线EF和BC1的夹角是

(

) A．45°

B．60°

C．90°

二、填空题

→→→→13．已知P和不共线三点A，B，C四点共面且对于空间任一点O，都有OP＝2OA＋OB＋λOC，

则λ＝________. 14．已知A(2,1,0)，点B在平面xOz内，若直线AB的方向向量是(3，－1,2)则点B的坐标是________．

15．平面α的法向量为m＝(1,0，－1)，平面β的法向量为n＝(0，－1,1)，则平面α与平面β所成二面角的大小为______．

π0，)，AB⊥BC，BC⊥CD，AB在平面N16.如图所示，已知二面角α—l—β的平面角为θ

(θ∈2内，BC在l上，CD在平面M内，若AB＝BC＝CD＝1，则AD的长为________．

三、解答题

17.已知四棱锥P—ABCD的底面是平行四边形，如图，M是PC的中点，

→→→问向量PA、MB、MD是否可以组成一个基底，并说明理由．

18.如图所示，在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，M、N分别是C1D1，

1AB的中点，E在AA1上且AE＝2EA1，F在CC1上且CF＝FC1，

2试证明ME∥NF. 19.如图，在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，P是侧棱CC1上一

点，CP＝m.试确定m使得直线AP与平面BDD1B1所成角为60°. 20.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，

AP＝AB＝2，BC＝22，E，F分别是AD，PC的中点．

证明：PC⊥平面BEF. 21．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面是边长为23的菱形，∠BAD＝

120°，且PA⊥平面ABCD，PA＝26，M，N分别为PB，PD的中点．

(1)证明：MN∥平面ABCD；

(2)过点A作AQ⊥PC，垂足为点Q，求二面角A－MN－Q的平面角余弦值．

22.如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点．

(1)求直线BE和平面ABB1A1所成角的正弦值；

(2)在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F∥平面A1BE？证明你的结论．

D．120°

48