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选修2-1 第一章：常用逻辑用语

1.1.1 命题2一.新课内容1.特点问题关于命题的概念?你能判断它们的真假吗1:下列语句的表述形式有什么?1).12>5;5).3 能被2整除;2).3是12的约数;6).若x2=1,则x=13).0.5是整数;语句都是陈述句,4).对顶角相等;并且可以判断真假命题的概念

3断真假的陈述句叫做用语言,符号或式子表达的:命题。,可以判判断为真的语句叫做真命题判断为假的语句叫做假命题。理解:的结果可真可假切记：命题定义的核心是判断判断的标准必须确定.,但真假必居其一,判断问题

4如何判断一个语句是不是命题:?1).7是23的约数吗?疑问句2).x>5.3).-2

值之前含有变量的语句,在未给定变量的5这种语句叫,是不能判断真假的简单开语句开语句(或条件命题.)。例复合开语句如如:x>5:(x-y)(x+y)=01.下列语句是不是命题?1).今天天气如何？不是(疑问句)2).你是不是作业没交?不是(疑问句)3).这里景色多美啊！不是(感叹句)4).-2不是整数是(否定陈述句)

5).4>3是(肯定陈述句)66).x>4不是(是命题例2.判断下面的语句是否为命题开语句),指出它的真假?若1).空集是任何集合的子集.是,真2).若整数a是素数,则a是奇数是,假3).指数函数是增函数吗?不是命题条直线平行4).若平面上两条直线不相交是,真,则这两

5).27(2)2是,假6).x>15不是命题命题2.若若整数p则q形式的命题a是素数( ),p则a是奇数( )q具有若p则q的形式。说明:的1).通常,我们把这种形式的命题中论。p叫做命题的条件,q叫做命题的结

2).若p则q形式的命题是命题的一8种形式而不是唯一的形式.有也可写成q等形式。:如果p,那么q只要p,就命题3).其中.p和q可以是命题也可以不是件与结论容易辨别4).若p则q形式的命题的优点是条且不灵活,缺点是太格式化

5).若p则q形式的命题的书写9断有关的条件与结论(1).了解命题表示的判断,明确与判命题(2).对于一些条件与结论不明显的略的词句,一般采取先添补一些命题中省, 确定条件与结论平面平行如命题:垂直于同一条直线的两个写成若p则q的形式为:这两个平面平行若两个平面垂直于同一条直线,则

例3.指出下列命题中的条件p和结论q10:1).若整数a能被2整除,则a是偶数2).菱形的对角线互相垂直且平分解:1)条件结论pq::整数整数aa 能被是偶数2整除2)条件结论pq::四边形是菱形,直且平分四边形的对角线互相垂形式例4.,并判定真假把下列命题改写成若p则q的

111).负数的平方是正数真命题2).偶函数的图像关于y轴对称真平行3).垂直于同一条直线的两条直线假4).面积相等的两个三角形全等假5).对顶角相等真增加而增加6).a>0时,函数y=ax+b的值随x值的

值也随之增加a>0时,若x增加,则函数y=ax+b的12不能把大前提也放在命题的条件部分在本题中,a>0是大前提真命题,应单独给出,内1.1.2~1.1.3命题四种形式及其关系1.四种命题问题:题么关系2)3)4)下列四个命题中?的条件和结论之间分别有什,命题1)与命

1).若f(x)是正弦函数,则f(x)是周期函数132).若f(x)是周期函数p,则f(x)是正弦函数q函数3).若f(x)不是正弦函数q,则f(x)不是周期p函数4).若f(x)不是周期函数,则f(x)不是正弦什么关系命题1)与2)互逆命题?的条件和结论之间有别是另一个命题的结论和条件:一个命题的条件和结论分个命题叫做互逆命题,这两

即:原命题:若p,则q逆命题:若q,14什么关系命题1)与?3)的条件和结论之间有则p1).若f(x)是正弦函数p,则f(x)是周期函数q函数3).若f(x)不是正弦函数┐p,则f(x)不是周期┐q论为书写简便q的否定分别记作,常把条件┐pp的否定和结┐q原命题:若p,则q否命题:若┐p,则┐q15什么关系命题1)与?4)的条件和结论之间有1).若f(x)是正弦函数p,则f(x)是周期函数q函数4).若f(x)不是周期函数┐q,则f(x)不是正弦┐p互为逆否命题原命题:若p,则q逆否命题:若┐q,则┐p2.四种命的关系原:若p,则四种命题形式q逆:若:16q,则p否:若┐p,则┐q逆否:若┐q,则┐p判断正误,并说明理由:1).它的否命题是若原命题是对顶角相等对顶角不相等2)它的否命题是若原命题是对顶角相等:不成对顶关系的两个角不相等说明:否命题与命题的否定

17的方式构成新命题1).否命题是用否定条件也否定结论条件2).命题的否定是只否定结论不否定原命题否命题: 命题的否定:若若┐p:p, 若, 则p则q, ┐则q┐q巩固运用：(1).原命题: 若a>b,则a+c>b+c.

(1).原命题:若a>b,则a+c>b+c.18逆命题否命题::若若aa+≤cb>,则b+ac+,则c≤ab>+bc逆否命题:若a+c≤b+c,则a≤b.边形两对角线垂直(2).原命题:若四边形是正方形,则四则四边形是正方形逆命题:若四边形两对角线垂直,四边形两对角线不垂直否命题:若四边形不是正方形,则垂直逆否命题,则四边形不是正方形:若四边形两对角线不19形式(3).,并写出逆命题把下列命题改写成,否命题若,逆否命题p则q的方是正数原命题负数的平方是正数:若一个数是负数,则它的平它是负数逆命题:若一个数的平方是正数,则平方不是正数否命题:若一个数不是负数,则它的20正数逆否命题,则它不是负数:若一个数的平方不是3.命题间的真假关系问题原命题1).互逆逆命题:命题的真假关系:若若aa>+bc>,则b+ac+,c则>ab>+bc真真形两对角线垂直原命题:若四边形是正方形真,则四边四边形是正方形逆命题:若四边形两对角线垂直假,则

21真假没有关系结论1:原命题的真假和逆命题的2).互否命题的真假关系原命题否命题:若a>b,则a+c>b+c真原命题::若若aa≤>bb,,则a+c≤b+c真,则则ac2ac>bc2否命题:若a≤b假2≤bc2真假没有关系结论2:原命题的真假和否命题的真

3).互为逆否命题的真假关系22原命题:若a>b,则a+c>b+c真逆否命题:若a+c≤b+c,则a≤b真原命题:若a>b,则ac2>bc2假逆否命题:若ac2≤bc2,则a≤b假结论原命题和逆否命题总是同真同假3:命题由于否命题和逆命题是互为逆否,因此:结论4:逆命题和否命题总是同真同假23小结1:互逆命题真假无关若原命题p则q互为若逆命题q则p互逆否互否真假否命命题同同题真真假假无同无关互为逆否真同假关若﹁否命题p则﹁q互逆命题真假无关若﹁逆否命题q则﹁p小结2:24有困难时在直接证明某一个命题为真命题题为真命题,可以通过证明它的逆否命命题,来间接证明原命题为真正难则反这是一种很好的尝试,,它往往具有从命题结论的反面出发它其实是反证法的一种特殊表现出奇制胜的效果而证明命题成立的推理方法, 引出矛盾,从:则例逆否命题ac1.>设原命题是bc,并分别判断它们的真假,写出它的逆命题当c>0 时,否命题,若a>b,,

25解逆命题.否命题::当逆否命题当cc>0>0时时,,若若aac≤>bbc,则,则aca≤>bcb真真当:c>0时,若ac≤bc,则a≤b真

一些常见的结论的否定形式26原结论反设词原结论反设词是不是至少有一个一个也没有都是不都是至多有一个至少有两个大于不大于至少有n个至多有(n-1)个小于大于或等于至多有n个至少有(n+1)个对所有成立x存在某不成立x,对任何x,不成立存在某x,成立

4.27接证明要证明某一结论反证法是错误的,而是先去证明A是正确的,但不直,从而断定A是正确的A的反面(非A)而导出矛盾来达到肯定命题的结论即反证法就是通过否定命题的结论完成命题的论证的一种数学证明方法,反证法的步骤:结论的反面成立1).假设命题的结论不成立,即假设

得出矛盾2).从这个假设出发,通过推理论证,28推理过程中一定要用到才行定命题的结论正确3).由矛盾判定假设不正确,从而肯分析例2证明:若p2＋q2＝2,则p＋q≤2.命题将,若:直接证不好下手证明其逆否命题为真即可p＋q.22＝2,则p＋q≤2看成原即证若p＋q>2则p2＋q22为真例2.证明:若p

2＋q2＝2,则p＋q≤2.29证明:

假设pq2, 假设原命题结论则(pq)24, 的反面成立∴p2q22pq4, 看能否推出原命题∵p2q2≥2pq, 条件的反面成立∴2(p2q2)4,∴p2q22,∴p2q22. 尝试成功为真命题这表明原命题的逆否命题,从而原命题也为真得证

可能出现矛盾四种情况:301).与题设矛盾2).与反设矛盾3).与公理,定理矛盾4).证明过程中推出的自相矛盾1.2.1~1.2.2 充分、必要、充要条件1.概念问题:

则这个三角形是等腰三角形1).若一个三角形有两个角相等,312).若a2>b2,则a>b在原命题中研究条件对结论的制约程度在真命题1)中:p足以导致在假命题q2)也就是说条件中条件p不充分p充分了在逆命题中研究结论对条件的依赖程度在真命题p是1)q中成立所必须具备的前提:

在假命题2).若a2>b22),中则a>b32定义p不是q成立所必须具备的前提我们就说一般地1p若是p,q成立的充分条件则q为真即pq,1).为使q成立,具备p就足够了有时我们又说2).若p则q, pq成立的充分条件是是q成立的充分条件p,

定义233成立的充分条件若p,则q为真命题即pq,p要条件,而q则是p成立的必是q定义3若p成立则q成立,即pq成立,并且q成立p也成立,即q p成立,则称p是q条件成立的充要条件,q也是p成立的充要

哪些命题中的例1.下列“若p,p则是qq”的充分条件形式的命题中?,341).若x=1,则x2-4x+3=0;2).若f(x)=x,则f(x)为增函数;3).若x为无理数,则x2解命题:为无理数1)2)是真命题,命题3)是假命题.所以,命题1)2)中的p是q的充分条件哪些命题中的例2.下列“若p,q则是qp”的必要条件形式的命题中?,351).若x=y,则x2=y2;角形的面积相等2).若两个三角形全等;,则这两个三3).若a>b,则ac>bc假命题解:命题.(1)(2)是真命题,命题(3)是所以,命题(1)(2)中的q是p的必要条件.p、q分别表示某条件361）pq且qp则称条件p是条件q的充分不必要条件2）pq且qp则称条件p是条件q的必要不充分条件3）pq且qp则称条件p是条件q的充要条件4）pq且qp则称条件p是条件q的既充分也不必要条件例3.下列各题中, p是q的什么条件

371).p: b=0, q: 函数f(x)=ax2+bx+c是偶函数;2).p：整数a是６的倍数,充要条件q：整数a是２和３的倍数要例,既不充分又不必要4.用充分不必要,必要不充分充要条件填空。,充条件。1).sinA>sinB是A>B的既不充分又不必___________

38的2).___________在ΔABC中,sinA>sinB是A>B充要条件说明:它们能否互相推出1).在判断条件时,要特别注意的是以单向推出代替双向推出,切不可不加判断2).非必要条件之间的区别与联系①搞清.A是B的充分条件与A是B的充分②A是B的必要条件与A是B的必39要非充分条件之间的区别与联系1.3、简单的逻辑联结词1.概念学习问题:下列三个命题间有什么关系？1).12能被3整除P2).12能被4整除q3).12能被3整除且能被4整除P且q结论40和命题一般地1:,用逻辑联结词“且记作：q联结起来就得到一个新命题”把命题pp∧q.读作：“p且q”问题探究1.判断下列三个命题的真假性1).12能被3整除真2).12能被4整除真3).12能被3整除且能被4整除真

命题P真41q::y=x3是奇函数命题y=x3在R上是减函数假命题p∧qy=x3是奇函数且在R上是减函数假命题命题命题Pq::三角形三条中线交于一点三角形三条中线相等假三角形三条中线交于一点且相等p∧q真假

命题P命题pq∧::相似三角形的面积相等相似三角形的周长相等假42命题q假假结论相似三角形的面积相等且周长相等2:“p且q”真值表pqp且q真真真假真假假真假假假假

问题:43下列三个命题之间有什么关系？1).27是7的倍数P2).27是9的倍数q3).27是9的倍数或是7的倍数P或q结论和命题一般地3:q联结起来就得到一个新命题,用逻辑联结词“或”把命题p记作: p∨q读作:“p或q”

问题探究2.441).27是7的倍数假2).27是9的倍数真3).27是9的倍数或是7的倍数真命题P:三边对应成比例的两个三角命题q:形相似三角对应相等的两个三角形真命题应相等的的两个三角形相似p∨相似q:三边对应成比例或三角对真真命题命题命题Ppq∨::相似三角形的面积相等相似三角形的周长相等假

45q假假结论相似三角形的面积相等或周长相等4:“p或q”真值表pqP或q真真真真假真假真真假假假

问题探究3.46下列命题间有什么关系?1).35能被5整除p2).35不能被5整除.¬p结论到一个新命题一般地5:,对一个命题,p全盘否定,就得是假命题若p读作是真命题非p记作¬或“p的否定p”,则¬p,则¬必是真命题p必是假命题;若p非p形式47命题的真p非p值表真假真2.归纳假真值表1).含有“或”“且”“非”的命题的判断的pq非pP且qP或q真真假真真真假假假真假真真假真假假真假假2).数学上,“或”“且”“非”叫做逻辑48联结词做词构成的命题称为简单命题,不含有逻辑联结词的命题叫,由简单命题和逻辑联结复合命题.语中的3).逻辑联结词中的”或”与日常用如“吃饭”或或”的含义不同睡觉”(为“不可兼有”)“x>5或x<2”(为“同时兼有”)合中的4).逻辑联结词中的“交集”,即两个必须都选“且”相当于集.

5).关于“非”命题的几个要点49(1)“≥”的意义是“＞或＝”．的否定(2)“非”命题对常见的几个正面词语或=>是都是至多有一至少个有一任所个意的有的且≠≤不是不都是至少有两没有个一个某个某些

(3).P∨q的否定形式为:┒P且┒q50(4).P∧q的否定形式为:┒P或┒q3.例巩固运用1.写出下列命题的非命题:1).p:对任意实数x,均有x2－2x+1≥0┒P :存在实数x,使x2－2x+1<02).q:存在一个实数x,使得x2－9=0┒q :任意实数x,均有x2－903).“AB∥CD”且“AB=CD”；

“AB与CD不平行”或“ABCD”；51△ABC是直角三角形或等腰三角形腰三角形△ABC不是直角三角形且也不是等两个不等正根例4.已知命题,命题p:方程q:方程x2+mx+1=0x有2+4(m-2)x+4=0题,“p且q无实根”为假命题.若“,p求或mq的取值范围”为真命解.∵“p或q”为真,“p且q”为假

则: p、q为一真一假52当p真时有：m240m0m<-2则┒P:m -2当q真时有:16(m-2)2-16<01

p假q真时有:m2故所求m的范围1:mm<-23132).2x+1是整数3).对所有的x∈Rx>34).对任意一个x∈z2x+1是整数.

结论54逻辑中通常叫做短语1.“对所有的并用符号全称量词”,“对任意一个”在说明含有全称量词的命题“”表示..,叫做全称命题.1).常见的全称量词还有:的“”对一切等”,“对每一个”,“任给”,“所有2).通常,将含有变量x的语句用P(x),q(x),r(x)……表示,变量x成立全称命题M表示,那么的取值范围55用”可用符号简记为“对M中任意一个x∈x,M, p(x)有p(x)例读作1.判断下列全称命题的真假“对任意x属于M,有p(x)成立:”.1).所有的素数是奇数;假2).xR,23)对每一个无理数x11;真x,x2也是无理数假说明.56须对在给定集合的每一个元素要判断一个全称命题为真题x,使命,必为假时p(x)为真.但要判断一个全称命题个元素,问题2.x只要在给定的集合中找到一,使命题下列语句是命题吗p(x)为假?(1)与(3),(2)与(4)之间有什么关系?1).2x+1=32).x能被2和3整除3).存在一个x∈R,使2x+1=34).至少有一个x∈Z,x能被2和3整除结论2.短语“存在一个”“至少有一

57个并用符号”在逻辑上通常叫做含有存在量词的命题“”表示.存在量词.,叫做特称命题说明.一个1).常见的存在量词还有”“有的”“对某个”等“有些”“有2).特称命题存在M中的一个x0,使p(x)成立可用符号简记为x0∈M, p(x0)

4).

读做“存在一个x580,使p(x0)成立”.例1.判断下列特称命题的真假1).有一个实数x,使x2+2x+3=0假直线2).存在两个相交平面垂直于同一条假3).有些整数只有两个正因数说明在给定的集合中找到一个元素要判断一个存在性命题为真.真,只要题p(x)为真x,使命要判断一个存在性命题为假,必须59对在给定集合的每一个元素题x,使命问题p(x)3.为假写出下列命题的否定1).所有的距形都是平行四边形存在一个距形不是平行四边形xM,p(x)2).每一个素数都是奇数xM,p(x)xM,p(x)存在一个素数不是奇数xM,p(x)3).xR,x2-2x+10xM,p(x)60xR,x2-2x+1<0xM,p(x)有什么变化这些命题和它们的否定在形式上?题的否定一般地,对于含有一个量词的全称命,有下面的结论:全称命题p:它的否定┒P:xxM, M,P(x)┒P(x)全称命题的否定是特称命题再探究

写出下列命题的否定611).所有实数的绝对值都不是正数有些实数的绝对值是正数xM,p(x)xM,p(x)2).某些平行四边形不是菱形每一个平行四边形都不是菱形xM,p(x)3).xR,x2+1<0xM,p(x)xM,p(x)xR,x2+10xM,p(x)有什么变化这些命题和它们的否定在形式上?

命题的否定一般地,对于含有一个量词的特称62,有下面的结论:特称命题p:xM,P(x)特称命题的否它的否定┒P:xM,┒P(x)定是全巩固运用称命题真假例1.写出下列命题的否定,并判断其1).p:不论m取何实数,方程x2＋mx－1＝0必有实根解.┒p:存在一个实数m,使方程x2＋63mx－1∵＝故┒Δ0＝没有实数根．pm2为假命题＋4>0恒成立2).P:有些三角形的三条边相等解.┒p:所有三角形的三条边不全相等显然┒p为假命题3).p:存在实数a,b,使|a－1|＋|b＋2|＝0解.┒p:对于任意的实数a,b,当a＝有|a64故┒1,b－p＝－1|＋为假命题．2|b时＋,|a2|－≠1|0.＋|b＋2|＝04).p:∀解.┒xp∈:R,3x>0.∃x┒p0∈R,3 x0≤0.命题是点评:写一个命题的否定为假命题:首先判定该定相应的量词“全称命题”还是“特称命题”,题的否定的定义写出相应的命题.其次根据含一个量词的命并确

小结65全称量词1.全称、存在量词的含义及其表示:表“全体”的量词用“”表示存在量词:表“部分”的量词用“”表示一般表示形式2.全称命题与特称命题的含义及其全称命题含有全称量一般表示形式词的命题x∈M, p(x)特称命题含有存在量词的命题x0∈M, p(x0)

663.全称命题与特称命题的真假判断? 真命题x∈M,p(x)"对任意x∈M都有p(x)成立存在x0∈M使得p(x0)成立假命题存在x0∈M使得p(x0)不成立对任意x∈Mp(x)不成立x0∈M,p(x0)4.对含有一个量词的全称命题与特称命题的否定,既要考虑对量词的否定,又要考虑对结论的否定,即要同时否定原命题中的量词和结论

5.在命题形式上,全称命题的否定67是特称命题,特称命题的否定是全称命题,这可以理解为“全体”的否定是“部分”,“部分”的否定是“全体”二.巩固练习《红对勾》课后训练(一)