3.3.4 两条平行直线间的距离教案教学设计

两条平行直线间的距离

考

纲

定

位

1.掌握点到直线的距离公式，会用公式解决有关问题．

2.掌握两平行线之间的距离公式，并会求两平行线之间的距离. 重

难

突

破

重点：1.点到直线的距离公式．

2.两条平行直线间的距离．

难点：求点到直线的距离及点到直线距离公式的综合应用.

授课提示：对应学生用书第59页

[自主梳理] 一、点到直线的距离公式

|Ax0＋By0＋C|点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝. A2＋B2二、两条平行直线间的距离

定——两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间垂线段的长.义求——转化为一条直线上的点到另一条直线的距离.法公|C1－C2|式——两条直线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝22.A＋B法[双基自测]

1．原点到直线x＋2y－5＝0的距离为(

) A．1

C．2

答案：D 2．两平行直线x＋y＋2＝0与x＋y－3＝0的距离等于(

) 52A.

2C．52

答案：A 3．点A(2，t)到直线y＝0的距离为5，则t＝________. 答案：±5 B.2

2B.3 D.5 D.2

授课提示：对应学生用书第59页

探究一

点到直线的距离

[典例1]

过B(3,4)作直线l，使之与点A(1,1)的距离等于2，求直线l的方程．

[解析]

当所求直线与x轴垂直时，直线方程为x＝3，点A(1,1)到它的距离为2，满足题意．

当所求直线与x轴不垂直时，由题意可设直线的方程为y－4＝k(x－3)，即kx－y＋4－3k＝0. |k－1＋4－3k|由点A到它的距离为2，可得2＝，

k2＋155解得k＝，所以直线方程为y－4＝(x－3)，

1212即5x－12y＋33＝0. 综上，所求直线的方程为x＝3或5x－12y＋33＝0.

应用点到直线的距离公式应注意的三个问题：

(1)直线方程应为一般式，若给出其他形式应化为一般式．

(2)点P在直线l上时，点到直线的距离为0，公式仍然适用．

(3)直线方程Ax＋By＋C＝0中，A＝0或B＝0公式也成立，但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可用数形结合求解．

1．求过点M(－2,1)且与A(－1,2)，B(3,0)两点距离相等的直线方程．

解析：当斜率存在时，设直线方程为y－1＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＋1＝0. |－k－2＋2k＋1||3k＋2k＋1|由条件得＝，

k2＋1k2＋11解得k＝0，或k＝－. 2故所求的直线方程为y＝1，或x＋2y＝0. 当直线斜率不存在时，不存在符合题意的直线．

探究二

两平行线之间的距离

[典例2]

求与两条平行直线l1：2x－3y＋4＝0与l2：2x－3y－2＝0距离相等的直线l的方程．

[解析]

设所求直线l的方程为2x－3y＋C＝0. 由直线l与两条平行线的距离相等，

得|C－4||C＋2|＝，即|C－4|＝|C＋2|，解得C＝1. 22＋3222＋32故直线l的方程为2x－3y＋1＝0.

求两条平行直线间的距离的方法：

(1)两条平行直线间的距离实际上是夹在两条平行直线间的公垂线段的长度；

(2)两条平行直线间的距离在求解时一般转化为一条直线上一点到另一条直线的距离，即化线线距为点线距来求；

(3)求两条平行直线间的距离时也可用如下公式：

设直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0，则两平行直线间的距离为d＝

|C1－C2|. A2＋B22．直线l1过点A(0,1)，l2过点B(5,0)，如果l1∥l2，且l1与l2的距离为5，求l1、l2的方程．

解析：若l1、l2的斜率存在，设为k. 由点斜式得l1的方程为y＝kx＋1，

即kx－y＋1＝0. 由点斜式得l2的方程为y＝k(x－5)，

即kx－y－5k＝0. 在直线l1上取点A(0,1)，点A到直线l2的距离

－1－5kd＝＝5，

1＋k212∴25k2＋10k＋1＝25k2＋25.∴k＝. 5∴l1的方程为12x－5y＋5＝0，

l2的方程为12x－5y－60＝0. 若l1、l2的斜率不存在，则l1的方程为x＝0，l2的方程为x＝5，它们之间的距离为5，同样满足条件．

则满足条件的直线方程有以下两组：

l1：12x－5y＋5＝0l1：x＝0，和

l2：12x－5y－60＝0l2：x＝5.

探究三

距离公式的综合应用

75[典例3]

已知三条直线l1：2x－y＋a＝0(a>0)，l2：－4x＋2y＋1＝0和l3：x＋y－1＝0，且l1与l2的距离是. 10(1)求a的值；

(2)能否找到一点P，使P同时满足下列三个条件：①点P是第一象限的点；②点P到l1的距离是点P到l21的距离的；③点P到l1的距离与点P到l3的距离之比是2∶5.若能，求点P的坐标；若不能，请说明理由．

21[解析]

(1)因为l2可化为2x－y－＝0，

2所以l1与l2的距离为d＝因为a>0，所以a＝3. a－－127522＋12＝10. (2)设存在点P(x0，y0)满足②，则点P在与l1，l2平行的直线l′：2x－y＋c＝0上，

且c＋1|c－3|12＝·251311，即c＝或c＝. 2651311所以满足条件②的点P满足2x0－y0＋＝0或2x0－y0＋＝0. 26若点P满足条件③，由点到直线的距离公式，

有|2x0－y0＋3|2|x0＋y0－1|＝·，

552即|2x0－y0＋3|＝|x0＋y0－1|. 所以x0－2y0＋4＝0或3x0＋2＝0. 因为点P在第一象限，所以3x0＋2＝0不可能．

13联立方程2x0－y0＋＝0和x0－2y0＋4＝0，

2x＝－3，0解得(舍去)，

1y0＝211联立方程2x0－y0＋＝0和x0－2y0＋4＝0，

6

x＝9，解得37y＝18.001

137所以P9，18即为同时满足条件的点．

解决探索性问题时，可先假设需探究的问题存在，以此为出发点寻找满足的条件．若求出的结论符合要求，则问题有解．若求出的结论与要求不符，则说明原探究问题无解．另外，运用公式解决问题要注意适用的范围及使用特点．

3．两条互相平行的直线分别过点A(6,2)和B(－3，－1)，并且各自绕着A，B旋转，如果两条平行直线间的距离为d.求：

(1)d的变化范围；

(2)当d取最大值时，两条直线的方程．

解析：(1)当两条直线的斜率不存在时，

即两条直线分别为x＝6和x＝－3，则它们之间的距离为9. 当两条直线的斜率存在时，设这两条直线方程为：

l1：y－2＝k(x－6)，l2：y＋1＝k(x＋3)，

即l1：kx－y－6k＋2＝0，l2：kx－y＋3k－1＝0，

|3k－1＋6k－2|3|3k－1|∴d＝＝2. k2＋1k＋1即(81－d2)k2－54k＋9－d2＝0，

由题意知k∈R，且d≠9，d>0，

∴Δ＝542－4(81－d2)(9－d2)≥0，

即0

(2)由(1)知dmax＝310，则k＝－3，此时两条直线分别为3x＋y－20＝0和3x＋y＋10＝0.

转化与化归思想在求最值中的应用

[典例]

已知△ABC的顶点坐标为A(1,1)，B(m，m)，C(4,2)，1＜m＜4.当m为何值时，△ABC的面积S最大？

[解析]

|AC|＝4－12＋2－12＝10，

y－1x－1直线AC的方程为＝，即x－3y＋2＝0. 2－14－1因为点B(m，m)到直线AC的距离

|m－3m＋2|111321d＝2，所以△ABC的面积S＝|AC|·d＝|m－3m＋2|＝|(m－)－|. 222241＋－32因为1＜m＜4，所以1＜m＜2，

3111所以0＜|(m－)2－|≤，0＜S≤. 244839所以当m＝，即m＝时，

24△ABC的面积S最大．

[感悟提高]

(1)此题要求△ABC面积的最大值，可转化成点B到AC的距离的最大值．

(2)在解题过程中将所得到的式子进行转化，利用函数的思想把问题转化成二次函数求得最值．

[随堂训练] 对应学生用书第60页

1．若点(2，k)到直线5x－12y＋6＝0的距离是4，则k的值是(

) 517A．1

B．－3

C．1或

D．－3或

33|2×5－12k＋6||16－12k|解析：d＝＝＝4 1352＋122∴|16－12k|＝52，∴16－12k＝52或16－12k＝－52，

17∴k＝－3或k＝. 3答案：D 2．直线3x＋y－3＝0与6x＋my＋1＝0平行，则它们之间的距离为(

) 23513710A．4

B.

C.

D.

132620m11解析：方程6x＋my＋1＝0可等价转化为3x＋y＋＝0，∵两直线平行，∴m＝2，即3x＋y＋＝0，

222∴d＝1－－3272710＝＝. 201032＋12答案：D 3．已知两点A(3,2)和B(－1,4)到直线mx＋y＋3＝0的距离相等，则m的值等于(

)

1A．0或－

211C．－或

221B.或－6 21D．0或

2|3m＋2＋3||－m＋4＋3|解析：依题意得＝，

m2＋1m2＋1∴|3m＋5|＝|m－7|，∴3m＋5＝m－7或3m＋5＝7－m，

1∴m＝－6或m＝. 2答案：B