3.1.3 导数的几何意义优质教案设计

《导数的几何意义》教学设计

数学概念教学的核心价值是“凸现数学本质，强化问题教学，营造思维过程，实现育人价值”，思维教学过程的主要过程是问题教学过程，事实上数学概念教学就是思维教学即为问题教学．

一、教材与学情分析

本节课是《普通高中课程标准实验教科书数学》（人民教育出版社、课程教材研究所A版教材）选修1-1中第§3.1.3节．作为导数概念的下位概念课，它是在学生学习了上位概念——平均变化率，瞬时变化率，及刚刚学习了用极限定义导数基础，进一步从几何意义的基础上理解导数的含义与价值，是可以充分应用信息技术进行概念教学与问题探究的内容．导数的几何意义的学习为下位内容——常见函数导数的计算，导数在研究函数中的应用及研究函数曲线与直线的位置关系的基础．因此，导数的几何意义有承前启后的作用，是本节的重要概念．

从知识上看，学生通过学***均变化率，特别是函数的瞬时变化率及导数的概念，对导数概念有一定的理解和认识，也在思考导数的另一种体现形式——形，学生对曲线的切线有一定的认识，特别是对抛物线的切线的概念在学习圆锥曲线与直线关系时有很深的了解与认识．从学习能力上看，通过一年多的学习实践，学生掌握了一定的探究问题的经验，具有一定的想象能力和研究问题的能力．从学习心理上看，学生已经在生活中掌握了圆锥的切线，只是它的含义是公共点个数方面了解的，当然在思维方面，形成了定势：直线与曲线相切，直线与内线只有一个公共点．本节课切线的含义要在概念层次上升，不是从公共点上定义切线，而是由

“割线”的“逼近”来定义曲线的切线，把曲线的切线上升到新的思维层面上．通过概念的建立，概念的辨析，问题的探究来激动学生的好奇点和兴趣点．

本节课内容蕴含着导数的数形的两种体现形式，逼近的思想和用已知探究未知的思考方法。在教学过程中应重视并体现这些数学思想方法．根据本节课内容特点，教学过程中可充分借用信息技术这一辅助手段，利用几何画板的动态作图这一优势平台为学生的问题探究，概念形成，思维过程提供支持．

二、教学目标分析

【知识与技能目标】

（1）知道曲线的切线定义，理解导数的几何意义；

——让学生感知和初步理解函数fx在xx0处的导数fx0的几何意义就是函数fx的图像在xx0处的切线的斜率，即y|xx0limx0f(x0x)f(x0)=切线的斜率．

x

（2）导数几何意义简单的应用．

——用导数的几何意义解释实际生活问题，初步体会“逼近”和“以直代曲”的数学思想方法．

【过程与方法目标】

（1）

回顾圆锥曲线的切线的概念，复习导数概念，寻找fx在xx0处的瞬时变化率的几何意义；

（2）

观察P7上探究问题，利用几何画板进行探究，由学生参与操作，发现割线PPn变化趋势，分析整理成结论；

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（3）

通过学生经历或观察感知由割线逼近“变成”切线的过程，理解导数的几何意义；

（4）

高台跳水模型中，利用导数的几何意义，描述比较ht在t0，t1，t2处的变化情况，达到梳理新知的目的，渗透“以直代曲”的数学思想；

（5）

通过分析导数的几何意义，研究在实际生活问题中，用区间较小的范围的平均变化率，来解决实际问题的瞬时变化率．

【情感态度价值观目标】

（1）

经过几何画板演示割线“逼近”成切线过程，让学生感受函数图像的切线“形成”过程，获得函数图像的切线的意义；

（2）

利用“以直代曲”的近似替代的方法，养成学生分析问题解决问题的方法，初步体会发现问题的乐趣；

（3）

增强学生问题应用意识教育，让学生获得学习数学的兴趣与信心．

三．重、难点分析

重点：导数的几何意义，导数的实际应用，“以直代曲”数学思想方法．

难点：对导数几何意义的理解与掌握，在每处“附近”变化率与瞬时变化率的近似关系的理解．

关键：由割线PPn趋向切线动态变化效果，体现“量”与“质”的转化与相互替代．

四、教法与学法分析

（1）教法设计：探讨教学法，即教师通过问题→诱导→讨论→探索结果→归纳总结．

（2）学法设计：自主思考，参与探究、合作交流、形成共识．

（3）教学手段：以“多媒体辅助教学手段”为辅，以“问题的探讨，学生发言、演板，老师黑板板书”为主．

（4）教具准备：自做多媒体课件，视频．

五、教学过程设计

1．

提出问题---引入课题

温故知新，诱发思考：

提问：初中平面几何中圆的切线的定义是什么？

学生（预设）：直线和圆有惟一公共点时，直线叫做圆的切线，惟一公共点叫做切点．

教师：这种定义是否适用于一般曲线的切线呢？

——学生（预设）：学生回答适应，教师举出反例子；

——学生（预设）：不能用公共点的个数来定义，

教师：你能否用你已经学过的函数曲线的切线举出反例？

学生（预设）：正弦函数的曲线与直线可能相切时有两个公共点．

教师：这个同学答的很对．

教师（强调）：圆是一种特殊的曲线，这种定义并不适用于一般曲线的切线．如图曲线c，直线l3虽然与曲线c有惟一公共点，但它与曲线c不相切；而另一条直线l2，虽然与曲线c有两个公共点B和C，但与曲线c相切于点B．因此，直线与曲线的公共点的个数不能用来定义一般曲线的切线．我必须用新的方法来定义曲线的切线．

通过几何画板的演示实验，

设计意图：帮助学生反思圆的切线的定义的局限性，寻找更加科学的方法来定义曲线的定义．

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2．自主思考，参与探究---形成概念

24实验观察，思维辨析：如图，当点Pn(xn,f(xn))（n1，，3，）没着曲线fx趋近点Px0,fx0时，割线PPn的变化趋势是什么（几何画板课件）？

（1）图

（3）图

（4）图

教师：当P1向P逐步逼近的时候你发现了什么？（通过几何画板向学生演示P1向P逐步逼近的动态过程，结合图形向学生引出切线的定义．）

（板书）：曲线的切线的定义：

1．曲线的切线的定义

当PnP时，割线PPn（确定位置）PT，

PT叫做曲线在点P处的切线．

（2）图

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PT的斜率k有什教师：有没有同学用你学的知识告诉我：割线PPn的斜率kn与切线么关系呢？

割线PPn的斜率是：

（板书） kPPnfxn)f(x0xnx0．

教师由屏幕给出另一幅关于抛物线的割线变切线的图片通过几何画板的演示及口头的提问逐步地让学生发现问题的答案．

P时，kPPn无限趋近于切线PT的斜率k．再次通过教师逐步的当点Pn无限趋近于点引导得出函数函数fx在fx在xx0处导数就是切线PT的斜率k．即（教师重复定义，并写出板书）．

2．函数f（x）在x=x0处的导数是切线PT的斜率k．即

f(x0x)f(x0)fx0。

x0x观察发现

思维升华：在点P的附近，PP2比PP1更接近曲线f（x），PP3比PP2更接近曲线f（x），……．过点P的切线PT最贴近P附近的曲线f（x）．因此，在点P的附近，曲线f（x）可以用过点P的切线PT近是代替．

klim教师诱导学生观察，并下结论，教师强调，“以直代曲”的数学思想方法，是微积分学中的重要思想方法．

3．数学思想方法：“以直代曲”思想方法．即

曲线上某点的切线近似代替这一点附近的曲线（通过几何画板演示）．

3．学而习之 【小试牛刀】 例1：求抛物线yx2在点A(1,1)处的切线方程．

变式训练：过抛物线yx的点P0处的切线平行直线y2x3，求点P0的坐标．

设计意图：回顾重点，突出导数的几何意义及应用．

2【游刃有余】例2：如图，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数2t10的图像．根据ht4.9t6.5图像，请描述比较曲线ht在t10.5s，t00.7s,t21s，t32s附近的变化情况（先放郭晶晶比赛视频，后用几何画板演示）．

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先由学生交流讨论后，由学生回答，教师归纳结论．

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解析：用ht在t0，t1，t2处的切线，来描述曲线ht在t0，t1，t2附近的变化情况．

（1）当tt0时，曲线ht在t0处的切线l0平行于x轴．∴

在tt0附近曲线比较平坦，几乎没有升降；

（2）当tt1时，曲线ht在t1处的切线l1的斜率ht10．∴

在tt1附近曲线上升，即函数ht在tt1附近单调递增．

（3）当tt2时，曲线ht在t2处的切线l2的斜率ht20．∴

在tt2附近曲线下降，即函数ht在tt2附近单调递减．

（4）当tt3时，曲线ht在t3处的切线l3的斜率ht30．∴

在tt3附近曲线下降，即函数ht在tt3附近也单调递减．

直线l3的倾斜程度比l2的倾斜程度要大，说明了ht在t3处附近下降程度比在t2处附近下降程度要大．

讲析要点：根据导数的几何意义，当某点处导数大于零时，说明在这点的附近曲线是上升的，即函数在这点附近是单调递增；当某点处导数小于零时，说明在这点的附近曲线是下降的，即函数在这点附近是单调递减；当某点处导数等于零时，说明是函数的最大值点。

设计意图：引领学生对问题进行定性分析，在某点处由切线的“走向”分析曲线的“走向”，渗透“以直代曲”的数学思想．

4．课堂小结

回味悠长

导数的几何意义：

1．曲线的切线的定义

当PnP时，割线PPn（确定位置）PT，

PT叫做曲线在点P处的切线．

2．函数f（x）在x=x0处的导数是切线PT的斜率k．即

klimx0f(x0x)f(x0)fx0

x3．数学思想方法：“以直代曲”思想方法．即

曲线上某点的切线近似代替这一点附近的曲线．

5．课后思考---巩固新知

课后思考一：求过点B(3,5)且与抛物线yx相切的直线方程．

设计意图：让学生明白经过某点的切线与在某点处的区别和联系. 课后思考二：x轴与yx是否相切，若是相切，你怎样解释呢？（概念辩析）

课后思考三：如图，它表示人体血管中药物浓度cft（单位：mg/ml）随时间t（单32第

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位：min）变化的函数图像．根据图像，估计t0.2，0.6，0.8min时，血管中药物浓度的瞬时变化率（精确到0.1）．

先由依据导数的几何意义，分析讨论，教师再扼要写出板书．

（预设）解析：血管中某一时刻药物浓度的瞬时变化率，就是药物浓度cft在时刻的导数，从图像上看，它表示曲线ft在此点处的切线的斜率．

附：板书设计

§1．1．3导数的几何意义

1．曲线的切线的定义

当PnP时，割线PPn（确定位置）PT，

PT叫做曲线在点P处的切线．

2．函数f（x）在x=x0处的导数的几何意义

kPPnfxn)f(x0

xnx0函数f（x）在x=x0处的导数是切线PT的斜率k．即

klimx0f(x0x)f(x0)fx0

x3．数学思想方法：“以直代曲”思想方法．即

曲线上某点的切线近似代替这一点附近的曲线．

例1 解：f1lim 即切线的斜率k2，

x(1x)2122 lim 所以，yx在点A(1,1)处的切线方程为

x0x(x)22x lim

y12(x1)，

x0xx0f1xf1 lim(x2)2 即

2xy10．

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