第四章 圆与方程（通用）第一课时教学实录

第三节

圆的方程

1.掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程. 2.初步了解用代数方法处理几何问题的思想．

[基础知识填充]

1．圆的定义及方程

定义

标准方程

一般方程

2. 点与圆的位置关系

点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系：

(1)若M(x0，y0)在圆外，则(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2.

(2)若M(x0，y0)在圆上，则(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2.

(3)若M(x0，y0)在圆内，则(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2. [知识拓展]

A＝C≠0，1．二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是B＝0，D2＋E2－4AF＞0.2．以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0. [基本能力自测]

1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)确定圆的几何要素是圆心与半径．(

)

(2)方程(x＋a)2＋(y＋b)2＝t2(t∈R)表示圆心为(a，b)，半径为t的一个圆．(

)

(3)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF>0.(

) 2

(4)若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则x20＋y0＋Dx0＋Ey0＋F>0.(

) 2．(教材改编)方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则a的取值范围是

(

) 222

A．a＜－2或a＞3

B．－3＜a＜0

C．－2＜a＜0 D．－2＜a＜3

3．(2016·全国卷Ⅱ)圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圆心到直线ax＋y－1＝0的距离为1，则a＝(

) 43

A．－3

B．－4

C．3

D．2 4．若圆C的半径为1，其圆心与点(1,0)关于直线y＝x对称，则圆C的标准方程为________．

5．圆C的圆心在x轴上，并且过点A(－1,1)和B(1,3)，则圆C的方程为________.

求圆的方程

(1)(2015·全国卷Ⅱ)已知三点A(1,0)，B(0，3)，C(2，3)，则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为(

) 平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹) (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)

x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，

(D2＋E2－4F＞0)

圆心(a，b)，半径r

ED－，－圆心2，

21半径2D2＋E2－4F

521

A．3

B．3

25C．3

4D.3

(2)(2016·天津高考)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，5)在圆C上，且圆心到直线452x－y＝0的距离为5，则圆C的方程为________．

[规律方法]

1.直接法求圆的方程，根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．

2．待定系数法求圆的方程：①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值；②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值．

温馨提醒：解答圆的方程问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质．

[变式训练1]

(1)(2018·郑州模拟)经过点A(5,2)，B(3，－2)，且圆心在直线2x－y－3＝0上的圆的方程为________. 【导学号：79170275】

(2)(2018·青岛模拟)圆心在直线x－2y＝0上的圆C与y轴的正半轴相切，圆C截x轴所得弦的长为23，则圆C的标准方程为________．

与圆有关的最值问题

已知M(x，y)为圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一点，且点Q(－2,3)．

(1)求|MQ|的最大值和最小值；

y－3

(2)求的最大值和最小值．

x＋2

[母题探究1]

(变化结论)在本例的条件下，求y－x的最大值和最小值．

[母题探究2]

(变换条件)若本例中条件“点Q(－2,3)”改为“点Q是直线3x＋4y＋1＝0上的动点”，其它条件不变，试求|MQ|的最小值．

[规律方法]

1.处理与圆有关的最值问题，应充分考虑圆的几何性质，并根据代数式的几何意义，数形结合求解．

2．某些与圆相关的最值可利用函数关系求解．

根据题目条件列出关于所求目标式子的函数关系式，然后根据关系式的特征选用参数法、配方法、函数的性质、基本不等式求最值是比较常用的．

[变式训练2]

已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0. y

(1)求x的最大值和最小值；

(2)求y－x的最大值和最小值；

(3)求x2＋y2的最大值和最小值．

与圆有关的轨迹问题

(2018·烟台模拟)已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点．

(1)求线段AP中点的轨迹方程；

(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程．

[规律方法]

求与圆有关的轨迹问题的四种方法

(1)直接法：直接根据题设给定的条件列出方程求解．

(2)定义法：根据圆的定义列方程求解．

(3)几何法：利用圆的几何性质得出方程求解．

(4)代入法(相关点法)：找出要求的点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式求解．

[变式训练3]

(2018·武威模拟)设定点M(－3,4)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM、ON为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹．

一、选择题

1．圆x2＋y2－2x＋4y＋3＝0的圆心到直线x－y＝1的距离为(

) 2A．2

B．2

C．1 D．2 2．(2017·山西运城二模)已知圆(x－2)2＋(y＋1)2＝16的一条直径通过直线x－2y＋3＝0被圆所截弦的中点，则该直径所在的直线方程为(

) A．3x＋y－5＝0

B．x－2y＝0

C．x－2y＋4＝0 D．2x＋y－3＝0 3．(2018·厦门模拟)圆C与x轴相切于T(1,0)，与y轴正半轴交于两点A、B，且|AB|＝2，则圆C的标准方程为(

) A．(x－1)2＋(y－2)2＝2

B．(x－1)2＋(y－2)2＝2 C．(x＋1)2＋(y＋2)2＝4

D．(x－1)2＋(y－2)2＝4 4．(2018·太原模拟)半径为2的圆C的圆心在第四象限，且与直线x＝0和x＋y＝22均相切，则该圆的标准方程为(

) A．(x－1)2＋(y＋2)2＝4 B．(x－2)2＋(y＋2)2＝2 C．(x－2)2＋(y＋2)2＝4

D．(x－22)2＋(y＋22)2＝4 5．(2017·重庆四校模拟)设P是圆(x－3)2＋(y＋1)2＝4上的动点，Q是直线x＝－3上的动点，则|PQ|的最小值为(

) A．6

B．4

C．3

D．2 二、填空题

6．已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________.

7．过圆C：x2＋y2－4x－2y＝0内的一点M(1,0)的最短弦所在直线的方程是_______________．

8．在平面直角坐标系xOy中，以点(1,0)为圆心且与直线mx－y－2m－1＝0(m∈R)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为________________．

三、解答题

9．已知直线l：y＝x＋m，m∈R，若以点M(2,0)为圆心的圆与直线l相切于点P，且点P在y轴上，求该圆的方程．

10．(2015·广东高考改编)已知过原点的动直线l与圆C1：x2＋y2－6x＋5＝0相交于不同的两点A，

B．

(1)求圆C1的圆心坐标；

(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程．