1.2.3 空间几何体的直观图PPT配套教学设计内容

1.2.3

空间几何体的直观图

[学习目标]

1.用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图. 2.用斜二测画法画常见的柱、锥、台以及简单组合体的直观图．

知识点一

用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤

1．画轴：在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x′轴与y′轴，两轴交于点O′，且使∠x′O′y′＝______(或________)，它们确定的平面表示__________．

2．画线：已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于________或____________．

3．取长度：已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来的一半．

思考

相等的角在直观图中还相等吗？

知识点二

空间几何体直观图的画法

1．画轴：与平面图形的直观图画法相比多了一个____轴，直观图中与之对应的是____轴．

2．画底面：平面__________表示水平平面，平面__________和____________表示竖直平面．

3．画侧棱：已知图形中平行于z轴(或在z轴上)的线段，在其直观图中________和______都不变．

4．成图：去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线．

思考

空间几何体的直观图惟一吗？

题型一

画水平放置的平面图形的直观图

例1

画出如图所示水平放置的等腰梯形的直观图．

反思与感悟

1.本例巧借等腰梯形的对称性建系使“定点”、“画图”简便易行．

2．在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的直角坐标系是关键，一般要使平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上，以便于画点．原图中不平行于坐标轴的线段可以通过作平行于坐标轴的线段来完成．

跟踪训练1

如图所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝4 cm，CD＝2 cm，∠A＝30°，AD＝3 cm，试画出它的直观图．

题型二

由直观图还原平面图形

例2

如图所示，△A′B′C′是水平放置的平面图形的斜二测直观图，将其还原成平面图形．

反思与感悟

由直观图还原平面图形关键有两点：

(1)平行x′轴的线段长度不变，平行y′轴的线段扩大为原来的2倍；

(2)对于相邻两边不与x′、y′轴平行的顶点可通过作x′轴，y′轴平行线变换确定其在xOy中的位置．

题型三

空间几何体的直观图

例3

如图所示，已知几何体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图．

反思与感悟

1.画空间图形的直观图，一般先用斜二测画法画出水平放置的平面图形，再画z轴，并确定竖直方向上的相关的点，最后连点成图便可．

2．直观图画法口诀可以总结为：“一斜、二半、三不变”．

例4

已知△ABC的平面直观图△A′B′C′是边长为a的等边三角形，那么△ABC的面积为(

) A.3236a

B.a2

C.a2

D.6a2

242分析

求直观图的面积的关键是依据斜二测画法，求出相应的直观图的底边和高．

解析

如图①为直观图，②为实际图形，取B′C′所在直线为x′轴，过B′C′中点O′与O′x′成45°的直线为y′轴，过点A′作A′N′∥O′x′.交y′轴于点N′，过点A′作A′M′∥O′y′，交x′轴于点M′，则在Rt△A′O′M′中，

因为O′A′＝A′M′＝6a. 233a，∠A′M′O′＝45°，所以M′O′＝A′O′＝A′N′＝a，故22

在平面直角坐标系中，在x轴上方y轴左侧取到x轴距离为6a，到y轴距离为16则△ABC为所求．显然S△ABC＝a·6a＝a2. 22答案

C 解后反思

(1)在原来实际图形中的高线，在直观图中变为与水平直线成45°角，且长度为原来的一半的线段，以此为据来求出直观图中的高线即可．

(2)关于直观图面积的一个结论：若设原平面图形的面积为S，则其直观图的面积为S′＝

例5

画出如图所示的四边形OABC的直观图，其中OC＝AD＝2，OD＝3，OB＝4. 2S. 43a的点A，2

分析

根据已知条件可得OC⊥OB，AD⊥OB，因此可以以点O为坐标原点建立平面直角坐标系，结合斜二测画法的规则，可以作出所给图形的直观图．

解

以O为原点，OB所在直线为x轴，OC所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如图①所示．作∠C′O′B′＝45°，O′B′＝4，O′D′＝3，O′C′＝1，过点D′作∠B′D′A′＝135°，使A′D′＝1，顺次连接O′A′，A′B′，B′C′，所得四边形O′A′B′C′即为四边形OABC的直观图(如图②所示)．

解后反思

本题在确定点A′和点C′时容易出错．牢固掌握斜二测画法的规则是处理此类问题的关键．

1.斜二测画法是联系直观图和原图形的桥梁，可根据它们之间的可逆关系寻找它们的联系；在求直观图的面积时，可根据斜二测画法，画出直观图，从而确定其高和底边等，而求原图S直2形的面积可把直观图还原为原图形．两者之间关系为：＝. S原42．在用斜二测画法画直观图时，平行线段仍然平行，所画平行线段之比仍然等于它的真实长度之比，但所画夹角大小不一定是其真实夹角大小．