3.1.1 空间向量及其加减运算教学设计一等奖

一、

课题：3.1.1空间向量及其加减运算

二、

教学目标：

1.

知识与技能：(1)空间向量概念、模的概念；

(2)零向量、单位向量、相等向量;(3) 空间向量的加减及运算律。

2.

.过程与方法：（1）理解空间向量的概念，掌握其表示方法；（2）会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律；（3）能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题。

3.

情感、态度与价值观：学会用发展的眼光看问题，认识到事物都是在不断的发展、进化的，会用联系的观点看待事物。

三、

教学重点：空间向量的概念、分类及加减运算。

四、

教学难点：空间向量的概念、分类及加减运算。

五、

教学方法：通过观察、类比、思考.交流和讨论等，理解空间向量的概念、分类、运算。

六、

教学过程：

活动一：创设情景、引入课题

问题1：在必修四第二章《平面向量》中，我们学***面向量的一些知识，什么叫做向量？向量是怎样表示的呢？

答：既有大小又有方向的量叫向量。向量的表示方法有：

①用有向线段表示；②用字母a、b等表示；

③用有向线段的起点与终点字母：AB。

问题2：说说：零向量、单位向量、相等向量、相反向量的概念，请同学们回忆一下。

长度相等且方向相同的向量叫相等向量. 问题3：说说平面向量的加减以及数乘向量运算：

⒈向量的加法： ⒉向量的减法：

⒊实数与向量的积：

实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，其长度和方向规定如下：

(1)|λa|＝|λ||a|

(2)当λ＞0时，λa与a同向；当λ＜0时，λa与a反向；

当λ＝0时，λa＝0. 问题4：关于向量的以上几种运算，请同学们回忆一下，有哪些运算律呢？

向量加法和数乘向量满足以下运算律

加法交换律：a＋b＝b＋a

加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋（b＋c）

数乘分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb

问题5：今天我们将在必修四第二章平面向量的基础上，类比地引入空间向量的概念、表示方法、相同或向等关系、空间向量的加法、减法、数乘以及这三种运

算的运算率，并进行一些简单的应用。请同学们阅读课本P84～P85。

点题：今天我们学习“空间向量及其运算”

活动二：师生交流、进入新知

一、空间向量

1、定义：把空间中具有大小和方向的量

2、表示：用有向线段表示为向量a、向量b、向量AB

3、分类：零向量：长度为0的向量，表示|AB|=0 单位向量：模长为1的向量，表示|AB|=|e|=1 相等向量：大小相等方向相同的向量；相反向量：大小相等方向相反的向量。

问题6：空间中任意两个向量会共面？

因为向量在空间中是可以平移的。空间任意两个向量都可以用同一平面内的两条有向线段表示。因此我们说空间任意两个向量是共面的。

问题7：空间向量的加法、减法、数乘向量各是怎样定义的呢？

4、空间向量的加法、减法、数乘向量的定义与平面向量的运算一样：

OBOAAB=a+b，

，

ABOBOA（指向被减向量）OPλa

(R)

练习：书本P86：2 问题8：空间向量的加法与数乘向量有哪些运算律呢？请大家验证这些运算律。

5、空间向量加法与数乘向量有如下运算律：

⑴加法交换律：a + b = b + a；

⑵加法结合律：(a + b) + c =a + (b + c)；（课件验证）

⑶数乘分配律：λ(a + b)

=λa +λb。

注意以下几点：

⑴首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量。即：

A1A2A2A3A3A4An1AnA1An

因此，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量。

⑵首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量。即：A1A2A2A3A3A4An1AnAnA10。

⑶两个向量相加的平行四边形法则在空间仍然成立。

因此，求始点相同的两个向量之和时，可以考虑用平行四边形法则。

活动三：合作学习、探究新知

例１：已知平行六面体ABCDA'B'C'D'（如图），化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量：

⑵ABADAA'；

⑴ABBC；1⑶ABADCC'⑷1(ABADAA')．

23说明：平行四边形ABCD平移向量

a 到A’B’C’D’的轨迹所形成的几何体，叫做平行六面体。记作ABCD—A’B’C’D’。

平行六面体的六个面都是平行四边形，每个面的边叫做平行六面体的棱。

解：⑴ABBCAC；

⑵

ABADAA=ACAAAC；

1⑶设M是线段CC的中点，则ABADCCACCMAM；

211⑷设G是线段AC的三等份点，则(ABADAA)ACAG

33说明：由第2小题可知，始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所表示的向量，这是平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广。

练习：书本P86：3 例2：如图，在空间四边形ABCD中，E,F分别是AD与BC的中点，

1求证：EF(ABDC)。

211证明：EFEDDCCFADDCCB

A2211E (ABBD)DCCB

2211ABDC(CBBD)

DB22FC11ABDCCD

221 (ABDC)

2活动四：归纳整理、提高认识

1、什么叫空间向量？

2、空间向量的分类？

3、空间向量的运算？

活动五：作业布置、提高巩固

1、书面作业：书本P97：1。

板书设计： 空间向量及其加减运算

1、空间向量的概念 例1： 例2： 2、空间向量的分类

3、空间向量的运算

4、平行六面体