2.1.3 空间中直线与平面之间的位置关系优质教案设计

第二章

点、直线、平面之间的位置关系

2.1

空间点、直线、平面之间的位置关系

2.1.1

平面

教学分析

平面是最基本的几何概念,教科书以课桌面、黑板面、海平面等为例,对它只是加以描述而不定义.立体几何中的平面又不同于上面的例子,是上面例子的抽象和概括,它的特征是无限延展性.为了更准确地理解平面,教材重点介绍了平面的基本性质,即教科书中的三个公理,这也是本节的重点.另外,本节还应充分展现三种数学语言的转换与翻译,特别注意图形语言与符号语言的转换. 三维目标

1.正确理解平面的几何概念,掌握平面的基本性质. 2.熟练掌握三种数学语言的转换与翻译. 3.通过三种语言的学习让学生感知数学语言的美,培养学生学习数学的兴趣. 教学重点

三个公理的教学是重点. 教学难点

用三种数学语言对三个公理进行转换与翻译

课时安排

1课时

教学过程

导入新课

思路1.(情境导入)

大家都看过电视剧《西游记》吧，如来佛对孙悟空说：“你一个跟头虽有十万八千里，但不会跑出我的手掌心”.结果孙悟空真没有跑出如来佛的手掌心，孙悟空可以看作是一个点，他的运动成为一条直线，那么如来佛的手掌看起来就像一个平面，今天我们开始认识数学中的平面. 推进新课

①

怎样理解平面这一最基本的几何概念？

平面与我们学过的点、直线、集合等概念一样都是最基本的概念（不加定义的原始概念），只能通过对它描述加以理解，可以用它定义其他概念，不能用其他概念来定义它，因为它是不加定义的.平面的基本特征是无限延展性，很像如来佛的手掌(吴承恩的立体几何一定不错). ②

平面的画法与表示方法？

我们的桌面看起来像平行四边形，因此平面通常画成平行四边形，有些时候我们也可以用圆或三角形等图形来表示平面，如图2.平行四边形的锐角通常画成45°，且横边长等于其邻边长的2倍.如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，我们常把它遮挡的部分用虚线画出来，如图3.

图2

图3 平面的表示法有如下几种：（1）在一个希腊字母α、β、γ的前面加“平面”二字，如平面α、

平面β、平面γ等，且字母通常写在平行四边形的一个锐角内(图4)；（2）用平行四边形的四个字母表示，如平面ABCD（图5）；（3）用表示平行四边形的两个相对顶点的字母来表示，如平面AC（图5）.

图4

图5 ③

如何描述点与直线、平面的位置关系？

下面我们总结点与直线、平面的位置关系如下表：

点A在直线a上（或直线a经过点A）

点A在直线a外（或直线a不经过点A）

点A在平面α内（或平面α经过点A）

A∈a Aa A∈α

元素与集合间的关系

点A在平面α外（或平面α不经过点A）

Aα

④

直线与平面有一个公共点，直线是否在平面内？直线与平面至少有几个公共点才能判断直线在平面内？

直线上有一个点在平面内，直线没有全部落在平面内(图7)，直线上有两个点在平面内，则直线全部落在平面内.例如用直尺紧贴着桌面，则直尺落在平面内. 公理1：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内. 这是用文字语言描述，我们也可以用符号语言和图形语言（图6）描述.

空间图形的基本元素是点、直线、平面.从运动的观点看，点动成线，线动成面，从而可以把直线、平面看成是点的集合，因此它们之间的关系除了用文字和图形表示外，还可借用集合中的符号语言来表示.规定直线用两个大写的英文字母或一个小写的英文字母表示，点用一个大写的英文字母表示，而平面则用一个小写的希腊字母表示.公理1也可以用符号语言表示：

若A∈a,B∈a,且A∈α,B∈α,则aα.

图6

图7 用符号语言和图形语言描述直线与平面相交. 若A∈a,B∈a,且Aα,B∈α,则aα.如图（图7）.

⑤

根据自己的生活经验，几个点能确定一个平面？

在生活中，我们常常可以看到这样的现象：三脚架可以牢固地支撑照相机

上述事实和类似的经验可以归纳为下面的公理. 公理2：经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面. 如图（图8）.

图8 公理2刻画了平面特有的性质，它是确定一个平面位置的依据之一.

⑥

使三角板与桌面交于一点P那么三角板所在平面与桌面所在平面是否仅交于一点？; 我们用平行四边形来表示平面，那么平面是不是只有平行四边形这么个范围呢？

不是，因为平面是无限延展的.应当有很多公共点.正因为平面是无限延展的，所以有一个公共点，必有无数个公共点.那么这无数个公共点在什么位置呢？可见，这无数个公共点在一条直线上.

这说明，如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线.此时，就说两平面相交，交线就是公共点的集合，这就是公理3.如图（图9），用符号语言表示为：P∈α,且P∈βα∩β=l,且P∈l.

图9

公理3告诉我们，如果两个不重合的平面有一个公共点，那么这两个平面一定相交，且其交线一定过这个公共点.也就是说，如果两个平面有一个公共点，那么它们必定还有另外一个公共点，只要找出这两个平面的两个公共点，就找出了它们的交线. 由此看出公理3不仅给出了两个平面相交的依据，还告诉我们所有交点在同一条直线上，并给出了找这条交线的方法.

⑦

描述点、直线、平面的位置关系常用几种语言？

描述点、直线、平面的位置关系常用3种语言:文字语言、图形语言、符号语言.

⑧自己总结三个公理的有关内容.

“平面的基本性质”小结：

名称

公理1 公理2 公理3 作用

判定直线在平面内的依据

确定一个平面的依据

两平面相交的依据

应用示例

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例1

如图10，用符号语言表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系.

图10 解：在（1）中，α∩β=l,a∩α=A,a∩β=B.

在（2）中，α∩β=l,aα,bβ,a∩l=P,b∩l=P.

课堂小结

1.平面是一个不加定义的原始概念，其基本特征是无限延展性. 2.用锐角上标有α，β的平行四边形表示平面. 3.用三种数学语言对三个公理进行转换与翻译. 作业

课本习题2.1 A

组5、6.