3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示优秀公开课教案

《空间向量的数乘运算》教学设计

会泽县第一中学

孙朝鹏

[教学内容解析] 空间向量的引入，为解决三维空间中图形的位置关系与度量关系提供了一个十分有效的工具。本节课在学生掌握了空间向量加减法运算的基础上,运用类比的方法从平面向量的数乘运算引出了空间向量的数乘运算，以及空间向量共线和共面定理。空间向量的数乘运算不仅是空间向量加减法运算的延续，同时也为后面数量积运算的学习打下了基础。

[学生学情分析] 1.知识储备

学生在必修4中已经学过平面向量的相关内容，以此为基础所以本节课的学习并不太困难。

2.心理储备

在学习空间向量的概念以及加减法运算时学生已经体验了从平面到空间的扩充过程，能否把平面向量的其他运算及知识也推广到空间？这些疑惑让学生产生了继续学习和探究的欲望。

[教学目标设置] (1).知识与技能

掌握数乘运算及其运算律; 正确理解共线,共面,方向向量等基本概念;理解共线向量和共面向量定理以及推论,并能运用它们解决空间向量的共线和共面的问题。

(2).过程与方法

经历知识的形成探索过程,体验“类比”思想。

(3).情感,态度和价值观

通过自主探究和合作交流等教学环节,不断体验“成功”,激发学生的学习热情和求知欲,充分体现学生的主体地位; 通过类比思想方法的应用,让学生感受数学思想的魅力,培养学生“做数学”的习惯和热情。

[教学重点] 空间向量数乘运算,共线向量定理和共面向量定理

[教学难点]

空间向量共线定理和共面定理的理解以及在空间几何体中的应用

[教学策略分析]

在学习了空间向量的加减法运算，同时掌握了平面向量的数乘运算的基础上，本节课重在发挥教师的引导作用，通过类比思想，让学生自主探究，小组合作交流，分享学习成果，使学生更深刻地体会从平面到空间的扩充过程,理解共线共面定理,并感受成功的喜悦，体验“做数学”的乐趣。

[教学过程] （一）开门见山，引入课题

上一堂课我们一起学习了空间向量的加减法运算，今天我们来学习空间向量的另外一种运算——数乘运算。

（二）探究交流，类比迁移

问题1:平面向量数乘运算是如何定义的?满足哪些运算律?

设计意图:温故知新,通过类比为新定义寻找知识的生长点

１.空间向量数乘运算的定义

实数与空间向量的乘积，记为a

注：（1）结果仍然是一个向量

（2）|a|=|||a| （3）当>0, a与a方向相同

当<0, a与a方向相反

当=0，a=0

２.数乘运算的运算律

显然,空间向量的数乘运算满足分配律及结合律

即（a+b）=a+b

(+)a=a+a

(a)=()a

３．共线向量（或平行向量）的定义

表示空间向量的有向线段所在直线互相平行或重合,则称这些向量叫共线向

量.(或平行向量) 记作a//b

思考: (1)向量平行与直线平行的比较的区别

(2)关注零向量的方向（与任何向量平行）

４.空间向量共线定理

对于空间任意两个向量a，b(b0),则a∥b唯一确定的R，使ab.

探究1：直线l经过点A且平行于非零向量a，如何用向量方法说明点P在直

线上？

（1）AP//aAP=ta

（2）OP=OA+ ta

(3) A,B,P三点共线

OB=xOA+yOP(x+y=1)

注：（1）a叫做直线l的方向向量

（2）式（1）和（2）称为空间直线的向量表示式

问题2：空间任意两个向量有怎样的位置关系？任意三个向量呢？在什么情况下可以空面？

设计意图：空间任意两个向量共面，任意三个向量在满足平面向量基本定理情况下共面，从而引出空间向量共面定理

5.共面向量的定义

平行于同一个平面的向量叫共面向量

6.空间向量共面定理

如果两个向量a,b不共线，那么向量p与向量a,b共面的充要条件是存在唯一有序实数对(x,y)，使p=xa+yb

探究2：已知A,B,C不共线，如何用向量方法说明点P在ABC所在的平面内？

(1) AP=xAB+y AC

(2) OP=OA+ xAB+yAC

(3)A,B,C,P四点共面A C

P B OP=mOA+nOB+rOC(m+n+r=1) 注：（3）式称为空间平面ABC的向量表示式

O 设计意图：通过学生自主探究，合作交流，理解共线与共面定理，从而解决三点共线，四点共面问题

（三）定理应用，巩固提高

例1:已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，化简下列向量

表达式，并标出化简结果的向量.(如图) （1）AB+BC

D1 C1B1（2）AB+AD+AA1

A1 1（3）(3AB+AD+AA1) 1（4）AB+AD+2CC1

A C D B

例2：已知平行四边形ABCD，过平面AC外一点O作射线OA,OB,OC,OD，在OEOFOGOH四条射线上分别取点E,F,G,H，并且使====k,求证：E,F,G,H四OAOBOCODO 点共面

D A H B G C E

F 设计意图：（1）运算须熟练，例1在于训练学生的运算,对于向量的运算不仅要注意它的代数范畴，还要关注其几何意义; （2）例2证明四点共面,体现一题多解,方法的多样性

（四）概括提炼，总结升华

1.知识层面: 一种运算

空间向量的数乘运算

二个定理

空间向量共线定理+空间向量共面定理

2.思想层面：类比思想

（五）布置作业，探究延续

1.看书并完成课本第89页练习

2.完成作业本第56~57页

（六）板书设计

§3.1 2 空间向量的数乘运算

平面向量

定义

空间向量

同左

探究1： 例1

共线向量

同左

平面向量共线定理

空间向量共线定理

共面向量

共面向量

平面向量基本定理

空间向量共面定理

探究2： 例2