3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示课堂实录【2】

3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示教学设计

一、

教材分析

本课时是普通高中新课程标准实验教科书《数学》选修2-1中第三章空间向量与立体几何：第一节“空间向量及其运算”的第四课时。学生之前已经学完了必修4中的第二章：平面向量，必修2中的第一章：空间几何体和第二章：点、直线、平面之间的位置关系，以及第四章第四节：空间直角坐标系．空间向量是平面向量的推广，是二维概念到三维概念的延伸，是联系代数、几何、三角的重要载体。本节课通过类比平面向量基本定理，给出空间向量基本定理．在此基础之上，通过空间向量的单位正交分解，完成从单位正交分解到空间直角坐标系的转换，为用空间向量解决立体几何问题做好重要的铺垫．有了空间向量基本定理，空间结构变得简单明了，整个空间被三个不共面的向量所确定，空间中的一个点或者一个向量与一组有序实数x,y,z建立起一一对应的关系。通过不断与平面向量进行类比来学习空间向量，把三维问题转化为二维问题，充分体现了类比思想和化归思想在研究问题过程中的重要作用。

二、

学情分析

学生已经理解平面向量相关知识，初步学习了空间向量在表示方法、加减运算、数乘运算、数量积运算等内容。在将平面向量推广到空间向量时，学生会感受到维度增加所带来的复杂性。他们虽然理解了平面向量基本定理，也具备一定的分析和解决问题的能力，但可能缺乏冷静、深刻的思考，思维具有片面性、不严谨的特点，对问题解决的一般性思维过程认识比较模糊。

三、

教学目标

1、

知识与技能：理解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示，

会在简单问题中选用空间三个不共面的向量作为基底表示其他向量。

2、

过程与方法：通过类比、归纳、推广等思想方法，启动观察、分析、抽象概括等思维活

动，培养学生的思维能力，体会类比与化归的数学思想，加深对向量的理解。

3、

情感、态度与价值观：通过本节课的学习，养成积极主动思考，勇于探索，不断拓展创新的学习习惯和品质。

四、

教学策略

教学重点：理解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示。

教学难点：如何将平面向量基本定理合理推广到空间向量基本定理，并理解其意义。

教学方法：启发诱导，问题引导，类比探究，师生共同归纳推广。

五、

教学过程

（一）

复习引入：通过例题引入课题：空间向量的正交分解及其坐标表示。

师生活动：展示例题在平行六面体ABCDABCD中，ABa,ADb,AA/c

/

M是AC的中点，N是CC的中点，求MN

? ////用AB,AC,AD能表示MN吗？用AB,DC,AA/能表示MN吗？MN能用怎样的三个向量

来表示呢？

设计意图：复习空间向量的表示方法与空间向量的加减与数乘运算，引出空间向量可以用三个向量来表示，通过设问，让学生思考怎样的“三个向量”可以来表示空间中的任意向量？引出课题：空间向量的正交分解及其坐标表示。

（二）、复习巩固：复习向量的共线定理，平面向量基本定理，通过几何画板让学生理解平面向量基本定理的本质，强调怎样的两个向量可以作为基底。

师生活动：平面向量可以用怎么样的两个向量表示？如果a,b是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任意向量p，有且只有一对实数x,y，使pxayb。

如果a,bb0共线，当且仅当有唯一一个实数，使ab。因为是唯一的，所以在平面向量基本定理中的x,y也是唯一的。

设计意图：通过复习向量的共线定理与平面向量基本定理，使学生初步体会类比的数学思想方法，能比较自然的引向空间向量基本定理。

（三）、类比得出结论

师生活动：如果i,j,k是空间中两两垂直的向量，那么对于空间中的任意向量p，存在一个有序实数组x,y,z，使得pxiyjzk，我们称xi,yj,zk为向量p在i,j,k的分向量。

教师给出思考，学生回答，启发：我们可以找到先画一个空间直角坐标系，把i,j,k放在以O为起点的坐标轴上，把p的起点移到坐标原点，通过作图计算。

设计意图：通过作图尝试，使学生直观的体会，并能用最熟悉的空间直角坐标系处理，为一般情况的提出做好铺垫。

（四）、总结升华，得出空间向量基本定理

师生活动：在空间中，如果用三个向量a,b,c能代替三个两两垂直的i,j,k呢？能得出类似的结论吗？对这个三个向量a,b,c有什么要求？让学生回顾前面的引题，得出“三个向量不共面”的结论，通过展示几何画板课件，让学生形象直观体会，师生共同补充完整空间向量基本定理。通过对基底的特殊化处理，引入单位两两垂直的单位向量，得出向量的坐标表示。

设计意图：从两两垂直的i,j,k特殊的基底入手，过渡到一般的基底a,b,c，让学生体会从特殊到一般，从一般到特殊的数学思想方法，通过类比平面向量基本定理，得出空间向量基本定理与空间向量的坐标，使学生体会到类比的数学思想方法。

（五）、探究提炼，深入理解

师生活动：比较空间向量基本定理与平面向量基本定理，并说说它们的区别与联系。主要区别是（1）需要三个不共面向量作为基底，（2）表示的形式不同。主要联系是（1）空间向量基本定理可以看成是平面向量基本定理在空间中的推广，平面向量基本定理是空间向量基本定理的特殊情况（2）解决空间向量的问题可转化为平面向量问题。

设计意图：进一步理解空间向量基本定理与平面向量基本定理的实质。

（六）定理巩固

师生活动：展示例题—例4：已知空间四边形OABC，其对角线为OB,AC，M,N分别是O

对边OA,BC的中点，点P,Q是线段MN三等分点，用向量OA，OB，OC表示向量OP,OQ. 设计意图：通过让学生独立思考解决问题，初步体会定理的应用，感受

成功的喜悦，树立学好数学的信心。

（七）应用现实

师生活动：展示图片——抗日战争暨反法西斯战争胜利70周年，

直升机编队以70的字样，通过天安门广场接受检阅。思考直

升机是如何做到的？再度联想，天上的飞机每天在繁忙的

飞行，它们是如何做到的？

设计意图：进一步加强对定理的理解，让学生体会到数学在现实

生活中的应用，增加学生的应用意识，有利于激发学生学习数学的兴趣。

（八）拓展发散

师生活动：展示从0维——4维的图片与“莫比乌斯环”、“克莱因瓶”四维

图片，让学生感受现实世界的奇妙。

设计意图：开拓视野，激发学生对知识系统学习的热情，激发他们的求知欲。

（九）课堂小结

给出：道生一，一生二，二生三，三生万物。联系到向量的学习：共线向量定理，平面向量基本定理，空间向量基本定理。一方面从一维到二维再到三维可以说是类比推广，另一方面解决三维空间向量可化归为二维向量解决．从中体会到事物间的必然联系，体会类比思想和化归思想。