习题4.2第二课时教案

直线与圆小结练习设计

一、

考点分析：

考查重点是直线间的平行和垂直的条件、与距离有关的问题以及直线与圆的位置关系特别是弦长问题，此类问题难度属于中低档，一般以选择题、填空题的形式出现. 二、热点分类突破：

热点一

直线的方程及应用

1．两条直线平行与垂直的判定

若两条不重合的直线l1，l2的斜率k1，k2存在，则l1∥l2⇔k1＝k2，l1⊥l2⇔k1k2＝－1.若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在．

2．求直线方程

要注意几种直线方程的局限性．点斜式、两点式、斜截式要求直线不能与x轴垂直，而截距式方程不能表示过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线．

3．两个距离公式

(1)两平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，

|C1－C2|22l2：Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝22(A＋B≠0)．

A＋B|Ax0＋By0＋C|22(2)

点(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离公式d＝(A＋B≠0)．

A2＋B2例1

(1)已知命题p：“m＝－1”，命题q：“直线x－y＝0与直线x＋m2y＝0互相垂直”，则命题p是命题q成立的(

) A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

答案

A －1解析

命题q中，直线x＋m2y＝0 的斜率是－1, 所以m2＝－1，解得m＝±1.所以命题p是命题q成立的充分不必要条件．故选A. (2)在平面直角坐标系xOy中，直线l1：kx－y＋2＝0与直线l2：x＋ky－2＝0相交于点P，则当实数k变化时，点P到直线x－y－4＝0的距离的最大值为________．

答案

32 解析

由题意，得直线l1：kx－y＋2＝0的斜率为k，且经过点A(0，2)，直线l2：

1x＋ky－2＝0的斜率为－k，且经过点B(2，0)，且直线l1⊥l2，所以点P落在以AB为直径的圆C上，其中圆心坐标为C(1，1)，半径为r＝2，

则圆心到直线x－y－4＝0的距离为d＝|1－1－4|2＝22，

所以点P到直线x－y－4＝0的最大距离为

d＋r＝22＋2＝32. 思维升华

(1)求解两条直线的平行或垂直问题时要考虑斜率不存在的情况．

(2)对解题中可能出现的特殊情况，可用数形结合的方法分析研究．

热点二

圆的方程及应用

1．圆的标准方程

当圆心为(a，b)，半径为r时，其标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，特别地，当圆心在原点时，方程为x2＋y2＝r2. 2．圆的一般方程

EDx2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，其中D2＋E2－4F>0，表示以－2，－2为圆心，D2＋E2－4F为半径的圆．

2例2

(1)若圆C与y轴相切于点P(0，1)，与x轴的正半轴交于A，B两点，且|AB|＝2，则圆C的标准方程是(

) A.(x＋2)2＋(y＋1)2＝2 B.(x＋1)2＋(y＋2)2＝2 C.(x－2)2＋(y－1)2＝2 D.(x－1)2＋(y－2)2＝2 答案

C 解析

设AB的中点为D，则|AD|＝|CD|＝1，

∴r＝|AC|＝2，∴C(2，1)，故选C. (2)若圆C过点(0，1)，(0，5)且圆心到直线x－y－2＝0的距离为22，则圆C的标准方程为______________．

答案

(x－9)2＋(y－3)2＝85或(x－1)2＋(y－3)2＝5

解析

依题意，设圆C的方程为(x－a)＋(y－3) 2 2＝r(r>0)，则|a－5|2＝22a2＋4＝r2，2，

解得a＝9，r2＝85或a＝1, r2＝5，故圆C的方程为(x－9)2＋(y－3)2＝85或(x－1)2＋(y－3)2＝5. 思维升华

解决与圆有关的问题一般有两种方法

(1)几何法，通过研究圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程．

(2)代数法，即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数．

热点三

直线与圆、圆与圆的位置关系

1．直线与圆的位置关系：相交、相切和相离，判断的方法主要有点线距离法和判别式法．

(1)点线距离法：设圆心到直线的距离为d，圆的半径为r，则dr⇔直线与圆相离．

(2)判别式法：设圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，直线l：Ax＋By＋C＝0，方程组Ax＋By＋C＝0，得到关于x的一元二次方程，其根的判别式为Δ，222消去y，x－a＋y－b＝r则直线与圆相离⇔Δ<0，直线与圆相切⇔Δ＝0，直线与圆相交⇔Δ>0. 2．圆与圆的位置关系有五种，即内含、内切、相交、外切、外离．

2设圆C1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r1，圆C2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r22，两圆心之间的距

离为d，则圆与圆的五种位置关系的判断方法如下：

(1)d>r1＋r2⇔两圆外离．

(2)d＝r1＋r2⇔两圆外切．

(3)|r1－r2|

(4)d＝|r1－r2|(r1≠r2)⇔两圆内切．

(5)0≤d<|r1－r2|(r1≠r2)⇔两圆内含．

例三：（1）已知圆M：x2＋y2－2ay＝0(a＞0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是22，则圆M与圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是________．

答案

相交

解析

∵圆M：x2＋(y－a)2＝a2，

∴圆心坐标为M(0，a)，半径r1为a，圆心M到直线x＋y＝0的距离d＝|a|2由几何知识得＋(2)2＝a2，解得a＝2. ∴M(0,2)，r1＝2. 2|a|，

2又圆N的圆心坐标为N(1,1)，半径r2＝1，∴|MN|＝1－02＋1－22＝2. 又r1＋r2＝3，r1－r2＝1，∴r1－r2＜|MN|＜r1＋r2，∴两圆相交．

(2)如果圆(x－a)

2＋(y－a)

2＝8上总存在到原点的距离为2的点，则实数a的取值范围是(

) A.(－3，－1)∪(1，3)

B.(－3，3) C.[－1，1]

答案

D 解析

圆心(a，a)到原点的距离为|2a|，半径r＝22，圆上的点到原点的距离为d.因为圆(x－a)2＋(y－a)2＝8上总存在点到原点的距离为2，则圆(x－a)2＋D.[－3，－1]∪[1，3] (y－a)2＝8与圆x2＋y2＝2有公共点，r′＝故选D. 2，∴r－r′≤|2a|≤r＋r′，即1≤|a|≤3，解得1≤a≤3或－3≤a≤－1，所以实数a的取值范围是[－3，－1]∪[1，3]，

思维升华

(1)讨论直线与圆及圆与圆的位置关系时，要注意数形结合，充分利用圆的几何性质寻找解题途径，减少运算量．

(2)圆上的点与圆外点的距离的最值问题，可以转化为圆心到点的距离问题；圆上的点与直线上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到直线的距离问题；圆上的点与另一圆上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到圆心的距离问题．

一、课堂练习

强化训练

11．

“a＝5”是“直线2ax＋(a－1)y＋2＝0与直线(a＋1)x＋3ay＋3＝0垂直”的______________条件．(从“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”中选取一个填入)

2．已知圆C关于y轴对称，经过点(1,0)且被x轴分成的两段弧长比为1∶2，则圆C的方程为(

) 413334A.x±2＋y2＝3

B.x±2＋y2＝3

C．x2＋y±2＝3

D．x2＋333

31y±2＝

33

3．设m，n为正实数，若直线(m＋1)x＋(n＋1)y－4＝0与圆x2＋y2－4x－4y＋4＝0相切，则mn(

) A．有最小值1＋2，无最大值

B．有最小值3＋22，无最大值

C．有最大值3＋22，无最小值

D．有最小值3－22，最大值3＋22

4.

若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋ax＋2ay－9＝0(a>0)相交，公共弦的长为22，则a＝________.

5．(2017·湖北省六校联合体联考)过点P(1，2)的直线与圆x2＋y2＝1相切，且与直线ax＋y－1＝0垂直，则实数a的值为(

) 4A．0

B．－3

44C．0或3

D.3

6.(2017届北京市西城区二模)已知圆O：x2＋y2＝1.圆O′与圆O关于直线x＋y－2＝0对称，则圆O′的方程是______________．

7.

(2016·全国Ⅰ)设直线y＝x＋2a与圆C：x2＋y2－2ay－2＝0相交于A，B两点，若|AB|＝23，则圆C的面积为________．

能力提高

21．若圆(x－1)2＋(y＋1)2＝r2上有且只有两个点到直线x－y＋1＝0的距离等于2，则半径r的取值范围是(

) A.(2，22]

B.(2，22)

C.[2，22)

2．已知动点A(xA，yA)在直线l：y＝6－x上，动点B在圆C：x2＋y2－2x－2y－2

D.[2，22]

＝0上，若∠CAB＝30°，则xA的最大值为(

) A．2

B．4

C．5

D．6

(x－2)2＋y2＝4(0≤x≤3)交于不同的两点，3．过定点(－2，0)的直线l与曲线C：则直线l的斜率的取值范围是______________．

4．若对圆(x－1)2＋(y－1)2＝1上任意一点P(x，y)，

|3x－4y＋a|＋|3x－4y－9|的取值与x，y无关，则实数a的取值范围是(

) A．a≤－4

5．已知圆C：x2＋(y＋1)2＝3，设EF为直线l：y＝2x＋4上的一条线段，若对π于圆C上的任意一点Q，∠EQF≥2，则|EF|的最小值是______________．

6．在平面直角坐标系中，若直线l与圆C1：x2＋y2＝1和圆C2：B．－4≤a≤6

C．a≤－4或a≥6

D．a≥6 (x－52)2＋(y－52)2＝49都相切，且两个圆的圆心均在直线l的下方，则直线l的斜率为________．