正多边形的有关计算全国优秀课堂实录

正多边形的有关计算

教学目标：

1、复习正多边形的基本计算图，并会通过解一般直角三角形来完成正多边形的计算，解决实际应用问题；

2、通过正十边形的边长a10与半径R的关系的证明，学习边计算边推理的数学方法；

3、在基本计算图的基础上，能将同圆内接正n边形与外切正n边形的有关计算数据进行相互转化．

4、在解应用题时，使学生学会把实际问题抽象为数学问题，把实物抽象为几何图形的抽象能力；

5、根据条件进行正确迅速计算的运算能力；

6、用代数计算的结果作证明依据的综合、分析问题，解决问题的能力；

7、通过研究同圆内接正n边形与外切正n边形的关系，培养学生的观察能力．

教学重点： (1)应用正多边形的基本计算图解决实际应用问题；

(2)用

边形与外切正n边形已知条件与未知元素的相互转化．

教学难点：

例3的证明

教学过程：

一、新课引入：

上节课我们根据正多边形的定义及其概念，运用将正多边形分割成三角形的方法，得到了化正多边形有关计算为解直角三角形问题基本计算图，并应用基本计算图解决诸如正三角形、正方形、正六边形的有关计算问题，即解决了含特殊角的正多边形的有关计算问题，本节课我们继续研究正多边形的有关计算问题．

正多边形的有关计算方法是基本的几何计算知识之一，掌握这些知识，一方面可以为学生进一步学习打好基础，另一方面，这些知识在生产和生活

中常常会用到，掌握后对学生参加实践活动具有实用意义，为此本堂课讲解了几个正多边形有关计算的实例，借以培养学生用数学意识．

二、新课讲解：

展示正多边形的一般计算图7-144，提问以下问题让学生回忆并作答：

1．在Rt△AOD中，斜边R是正n边形的______；(安排中下生回答：半径) 2．直角边rn是正n边形的______；(安排中下生回答：边心距)

3．图中的an表示正多边形的什么？(安排中下生回答：边长) 4．图中的an表示正多边形的什么？(安排中下生回答：中心角)

哪位同学记得解这类题的一般步骤？(安排中下生回答：先画计算

度数是多少？(安排中下生回答：45°)

分析完后，安排学生计算出结果．

(幻灯给出应用题)：在一种联合收割机上，拨禾轮的侧面是正五边形，测得这个正五边形的边长是48cm，求它的半径R和边心距r5(精确到0.1cm)．

解：设正五边形为ABCDE，它的中心为点O，连接OA，作OF⊥AB，垂足为F，(问：这一步目的是什么？)则OA=R，OF=r5，∠AOF=？(安排学生回答：36°)

∴r5=24·ctg36°=24×1.3764≈33.0(cm)．

答：这个正多边形的半径约为40.8cm，边心距约为33.0cm．

正多边形的有关计算，在生产和生活中常常会用到，但将实际问题归结为正多边形的有关计算后，解题的步骤方法就依然如故了，本题拨禾轮问题与前题正方形的计算不是同出一辙吗？

巩固练习：教材P.173中7，要用圆形铁片截出边长a的正方形铁片，选用的圆铁片的直径最小要多长？

启发，提出下列问题：1．要截出边长为a的正方形铁片与选用的直径最小的圆铁片它们之间是什么关系？(安排中等生回答：正方形是圆的内接正方形)2．这题实质是给出了正方形的什么元素，求什么元素？(安排中下生回答：给出正方形边长求半径．) 请同学们以最快的速度，求出答案．

幻灯给出顶角36°的等腰三角形，作如下启发思考的提问：

1．如图7-146，已知△ABC中AB=AC，∠A=36°，哪位同学知道∠B与∠c的度数？(安排中下生回答)2．如果BD平分∠ABC交AC于D，你发现图形中与BC相等的线段有哪些？(安排中下生回答)3．你发现图形中哪两个三角形相似？(安排中等生回答)4．如果AC=a，BC应是多少？怎么计算？(安排学生讨论、研究)

(继续启发思考提问)：大家观察证明中BC2=DEAC这一步，因BC=AD，所以前等式变为AD2=DC·AC，也就是说点D将线段AC分为两部分，其中较长的线段AD是较小线段CD与全线段AC的比例中项，哪位同学记得点D应叫做线段AC的什么点？(安排回忆起来的学生回答：黄金分割点)由上面的证明我们知道AD应是AC的黄金分割线段，由于BC与AD相等，观察发现BC是顶角36°角的等腰三角形的底，AC是这等腰三角形的腰？通过上面证明哪位同学能说一下你所得的结论？(安排中上学生回答：顶角36°角的等腰三角形的底边长是它腰长的黄金分割线段)若腰长为a则底边长应是多少？(安排中等生回答：

1．哪位同学知道正十边形的中心角的度数是多少？(安排中下生回答：36°)2．大家想想看，正十边形的夹36°中心角的半径与边长组成一个什么图形？(安排中等生回答：顶角36°的等腰三角形)3．如果一个正十边形的半径为R，那么这个正十边形的边长a10应该等于多少？

幻灯供题：已知⊙O的内接正六边形的边长为2，求⊙O的外切正三角形的边长．

大家观察⊙O的半径OC，它与内接正六边形ABCDEF、外切正△MNP有什么联系？(安排中上学生回答：OC是内接正六边形的半径，它又是外切正△MNP的弦心距)由于正六边形的边长等于半径，知边长为2即知⊙O的半径R=2，而半径OC又是⊙O外切

通过这题你发现连接圆内接正n边形与圆外切正多边形的桥梁是什么？(安排中等学生回答：这个圆的半径R)这R是内接正n边形的半径又是同圆

外切正多边形的边心距，所以解这类题的关键在于根据已知条件首先求出R，再将R转化求出未知元素．

三、课堂小结：

哪位同学能说一下，这堂课我们都学习了什么知识？(安排上等生归纳) 1．应用正多边形的有关计算解决实际问题．

3．明确了连接圆内接正n边形与同圆外切正多边形的桥梁是这个圆的半径，即它是内接正n边形的半径又是同圆外切正多边形的边心距，因此解决此类问题首先要求它．

四、布置作业

教材P.165中练习1；