反证法教学设计实例

人教版九年数学上册—24.2.1反证法

授课人：许哲耿

汕头市潮阳区铜盂中学

【教学目标】

知识与技能

（1）通过实例，体会反证法的含义。

（2）了解反证法的基本步骤，会用反证法证明简单的命题。

过程与方法

创设情景，提出问题，引出反证法，学生初步认识体会反证法，然后运用反证法证明，进一步体会和理解反证法的思想内函。

情感态度与价值观

（1）知道证明一个命题除用直接证法外，还有间接证法，开拓学生的视野，发散思维能力。

（2）通过反证法的学习,培养学生演绎推理能力及辩证唯物主义观念。

（3）利用现实生活和数学中的反证法素材和具有挑战性的情景，激发学生求知探索的欲望。

【教学重点和难点】

重点：反证法的证明步骤。

难点：运用反证法证明命题。

教学过程：

一、创设情境，导入新课

故事1——张飞断案

一个少妇抱着小孩回娘家，路过瓜田，遇上一个恶少调戏。少妇不从，被诬偷瓜，告到县衙。恶少暗中用钱收买为他看瓜的地保，嘱他摘三个大瓜到县衙作证。张飞升堂审讯，问恶少，恶少说少妇偷他的瓜，有人证物证；问少妇，少妇说恶少调戏她。张飞

“想了一想”，佯断少妇偷瓜，命恶少先把三个大瓜抱回去。恶少左抱右抱，怎么也抱不起来。张飞虎眉一竖，拍案而起，痛斥恶少"你堂堂男子汉，三个瓜都抱不动，她是弱女子，又抱小孩，怎能偷你三个大瓜？分明是你调戏。"经过审问，果然不错。

张飞是怎样证明少妇无罪的呢?他运用了怎样的推理方法? 其思维过程的表述如下图：

“少妇偷瓜”

与

“恶少无法抱动三个瓜”产生矛盾

假设

少妇同时要抱小孩和三个瓜

假设

“少妇偷瓜”不成立

所以“少妇没有偷瓜”

是正确的

故事2——路边苦李

王戎7岁时，与小伙伴们外出游玩，看到路边的李树上结满了果子。小伙伴们纷纷去摘取果子，只有王戎站在原地不动。

王戎回答说：“树在道边而多子，此必苦李。”

小伙伴摘取一个尝了一下果然是苦李。

王戎是怎样知道李子是苦的呢?他运用了怎样的推理方法? 其思维过程的表述如下图：

假设“李子甜”

树在道边则李子少

与已知条件“树在道边而多子”产生矛盾

所以“树在道边而多子,此必为苦李”

是正确的

1 假设

“李子甜”不成立

二、师生互动，探究新知

（一）.整体感知：

情影3：学生模仿推理

甲：在国庆长假里，我和爸爸、妈妈去香港玩了整整6天，真是太高兴了. 乙：这不可能，10月4号上午还看见你和丙在“兴富路”逛街呢！

丙：是啊,10月4号我确实和甲在“兴富路”逛街！

如何说明甲没有香港玩了6天？

假设甲去香港玩了6天，

那么甲从10月1号至6号或者2号至7号在香港，

这与“10月4号甲在“步行街””矛盾, 所以假设“甲去香港玩了6天”不正确,所以“甲没有去香港玩了6天”正确. 接下来我们把这种说理方法应用到数学问题上。

探究新知4：已知：在△ABC中，AB≠AC 求证：∠B ≠ ∠ C

证明：假设

∠B ＝

∠ C

则AB＝AC （等角对等边）

这与已知AB≠AC相矛盾．

∴假设不成立

∴∠B ≠ ∠ C

这就是我们要学习的反证法：

在证明数学问题时，先假设命题的结论不成立（即命题的反面成立），经过推理得出矛盾(常与公理、定理、定义或已知条件相矛盾)，由矛盾判定假设不正确（不成立），从而得到原命题成立，这种方法叫做反证法．

在初中数学题目的求解过程中，当直接证明一个命题比较复杂麻烦，甚至不能证明时，我们可以采用反证法.反证法是一种间接证法，可能把问题解决的十分干脆。

证明真命题的方法

直接证法

间接证法

反证法

三、师生互动（应用新知，解决问题）

例一：用反证法证明：经过同一条直线三个点不能作圆

已知：点A、B、C三点在直线

l上. 求证：过A、B、C三点不能作圆. 证明：如图，假设过同一条直线l上三点A、B、

C可以作一个圆，设这个圆的圆心为P，那么点P既在线段AB的垂直平分线l1上，又在线段BC的垂直平分线l2上，即点P为l1与l2的交点，而l1⊥l，l2⊥l这与我们以前学过的“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直”相矛盾，

所以假设不成立

所以过同一条直线上的三点不能作圆．

2

例二：用反证法证明“两直线平行，同位角相等”

已知：如图，AB∥CD， AB交EF于点O, 求证：∠1= ∠2 证明：假设∠1≠∠2，

过点O作直线MN，使得∠EON=∠2 ∴MN∥CD，

又∵ AB//CD，

∴过点O就有两条直线与CD平行，

这与“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”相矛盾，

∴假设∠1≠∠2不成立，

∴∠1=∠2 例三（合作学习）：已知：如图，在△ABC中，AB=AC，∠APB≠∠APC。求证：PB≠PC 证明：假设PB=PC。

则在△ABP与△ACP中

∵ AB=AC ，AP=AP ，PB=PC ∴△ABP≌△ACP

∴∠APB=∠APC

这与已知条件∠APB≠∠APC矛盾，

∴假设不成立. ∴PB≠PC

师生课堂小结：反证法的步骤：

反设→推理出矛盾→假设不成立→原命题成立

四.随堂练习（学以致用，完善新知）

1.准确地作出反设(即结论反面)是非常重要的，下面请回答一些常见的关键词的否定形式.

2.求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°

3.选择题。

（1）.用反证法证明：“一个三角形中至多有一个钝角”时，应假设( ) A．一个三角形中至少有两个钝角

B．一个三角形中至多有两个钝角

C．一个三角形中至少有一个钝角

D．一个三角形中没有钝角

（2）.否定“自然数a、b、c中恰有一个偶数”时，正确的反设为（ ）

A.a、b、c都是奇数

B. a、b、c都是偶数

C. a、b、c中至少有两个偶数

3

D. a、b、c中都是奇数或至少有两个偶数

4.如图,在梯形ABCD中,AD//BC,∠A=90°,⊙O 经过点A、B、D. 求证:点C不在⊙O上.

五.课堂总结。

1、反证法的概念; 2、反证法的一般步骤:

3、反证法注意事项

1．要有“已知”、“求证”，再证明。

2．要准确而全面的找出命题结论的反面。

3．推理过程要充分运用已知条件，要完整。

六.课后作业。

假设原命题不成立

（即反面成立）

从假设出发

推理得出矛盾（与已知、定理等）假设不成立

得出结论

原命题成立1.求证：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，两直线平行。

2.求证：圆内两条不是直径的弦不能互相平分。

3.求证：等腰三角形的底角必定是锐角．

【板书设计】

24.2.1反证法

例二：

反证法步骤：

②推理（矛盾）

③反设不成立

④原命题成立

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24.2.1反证法

1、反证法的概念; 2、反证法的一般步骤:（详细步骤）

3、反证法注意事项

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①反设

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