反证法优秀教案

人教版义务教育教科书

数学

九年级

上册

24.2.1点和圆的位置关系（第2课时）

——反证法教学设计

普定县第三中学 邱大伟

教材分析：本节课是人教版数学九年级上册24.2.1《点和圆的位置关系》（第2课时）—反证法，教材首先在第1课时的基础上提出：经过同一条直线上的三个点能作出一个圆吗？以问题为背景，通过验证，得出“经过同一条直线上的三个点不能作出一个圆”，从而得出与以前学生学过的证明不同的方法——反证法。反证法是初中数学学习中一种特殊的证明方法，对于一些证明体有着独特、简便、实用的作用，是培养学生解决实际问题能力的重要途径，又是锻炼思维多样性的基础。

设计理念：本设计采用了“知识回顾——探索新知——应知应会——课堂小结——随堂检测——布置作业”的基本模式，通过六个梯次递进的活动，从学生已有的知识经验和认知基础出发，让学生主动地参与活动进行学习，通过操作、观察、推理、归纳、类比使学生进一步理解概念，灵活的运用所学知识，从而让学生感受到数学思维的魅力，更好的理解应用数学知识的意义。同时使用希沃白板（PPT课件），实现课堂扩容，给学生提供更多的学习机会和思维空间，从而强化教学效果。

学情分析：教学对象是九年级学生，他们在已有知识的储备下，已有一定的自主学习能力、观察能力、推理能力和类比应用能力。但学生在学习上仍缺乏积极主动性，为此本节课我采用操作、观察、推理、归

纳、类比的方法“让学生在讨论、交流中在获得知识”。

教学目标：

1.知识与技能目标：

（1）通过实例，体会反证法的涵义；

（2）了解反证法证题的基本步骤，会用反证法证明简单的命题。

2.过程与方法目标：

（1）在观察、操作、探索、推理等过程中，进一步培养观察能力、分析能力、逻辑思维能力及解决问题的能力；

（2）理解并体会反证法的思想内涵，体验数学活动充满探索性和创造性。 3.情感与态度目标：通过合作探索等活动，培养学生的合作意识和探索能力，通过解决具体问题，让学生体会获得成功的体验，并渗透辩证思想。

教学重点：

1.理解反证法的涵义；

2.体会反证法证明命题的思路方法及反证法证题的步骤；

3.能用反证法证明简单的命题。

教学难点：理解“反证法”证明得出“矛盾的所在”。

教学方法：启发引导、合作探索。

教学过程：

活动一 知识回顾

问题1：

我们知道经过不在同一条直线上的三个点A，B，C只能作

一个圆，请问你是如何确定这个圆的圆心的？

生1：说作法

生2：作图（保留作图痕迹）

师：作法展示（多媒体）

设计意图：此问题意在回顾已学内容，引起学生的注意及合作学习，并为探索新知做好铺垫。

问题2：经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的 ，外接圆的圆心是三角形 ，叫做这个三角形的

。（注：每生回答一空。）

设计意图：再次巩固已学知识，进一步为探索新知做好铺垫。

活动二 探索新知

1.问题： 经过同一条直线上的三个点能作出一个圆吗？

师追问：作圆首先就要确定圆心，那么我们如何找到圆心呢？

生：同桌进行讨论。

师：提示类比法（与问题1类比），巡视并参与到学生讨论中。

生：结论是经过同一条直线上的三个点不能作出一个圆。

生：作图验证。（教师补充说明）

师：请说理由。

生：代表说明。

师生活动：整理思路，书写过程。

设计意图：在具体问题中引导学生运用类比法进行探索，培养学生探索能力和逻辑推理能力。

新知提炼1—反证法的定义

师：上面证明“经过同一条直线上的三个点不能作出一个圆”的方法与我们以前学过的证明不同，我们把它称叫反证法。

师生活动：先假设命题的结论不成立，然后由此经过推理得出矛盾(常与公理、定理、定义或已知条件相矛盾)，由矛盾断定假设不正确，从而得到原命题成立。这种方法叫做反证法。

设计意图：从具体要问题中得出反证法的定义，让学生理解反证法的涵义，培养学生的归纳总结能力。

新知提炼2—反证法的步骤

师：请同学们说说反证法证明命题的一般步骤。

生：（讨论说出关键性词语）

师生：（关键词）假设 推理 矛盾 成立（得证）

设计意图：进行一步了解反证法，培养学生的表达能力和“关键词”意识。

新知提炼3—反证法的实用范围

师：反证法常用于解决用直接证法不易证明或不能证明的命题，主要有哪些类型呢？

生：（讨论）

师生：(1)命题的结论是否定型的；

(2)命题的结论是无限型的；

(3)命题的结论是“至多”或“至少”型的。

设计意图：让学生了解反证法的实用范围，拓展学生的视野，培养

学生的自主学习能力。

活动三 应知应会

请证明：“两直线平行，同位角相等” 。

师：要求学生先作图，然后写成已知、求证形式。

生：（写出证明过程。）

师生活动：展示部分学生证明过程并进行点评。

设计意图：一则是应用新知，二则是经历解题过程，培养学生的运用能力和逻辑推理能力。

活动四 课堂小结 师：本节课你有哪些收获？请与同学们分享。

生1：我们学习了…

生2：（补充）

师：在直接法无法证明或很难证明的情况可选用反证法试试。

设计意图：对本节课知识的巩固，让学生有目标的学、有方法的学，培养学生的归纳总结能力和表达能力。

活动五 随堂检测

1.你能说出下列结论的反面吗? （1）a⊥b；

（2）d是正数；

（3）a≥0； （4）a∥b。

2.用反证法证明(填空)：在三角形的内角中，至少有一个角大于或等于60°

已知：∠A，∠B，∠C是△ABC的内角（如图）；

求证：∠A，∠B，∠C中至少有一个角大于或等于

60°。

证明：假设所求的结论不成立，即

∠A＜60°，∠B＜60°，∠C＜60°，则∠A+∠B+∠C＜ 。

这与 相矛盾

所以 不成立，所求证的结论成立。

设计意图：考察学生对本节基础知识的掌握情况，增强学生学习自信心。

活动六 布置作业

请证明

“平行同一条直线的两直线互相平行。”

设计意图：进行一巩固本节课所学的知识，让学生熟悉用反证法证明命题，提高学生的应用能力。

24.2.1点和圆的位置关系（第2课时）

——反证法教学反思

在数学教学中，抓好基本概念、基本技能的教育是非常重要的，而“解题教学”是提高学生数学素养，培养学生解决实际问题能力的重要途径。本节课主要目标是了解反证法的定义，掌握反证法的一般步骤，会用反证法证明数学中的一些简单命题。

根据教学目标，本课采用了“知识回顾——探索新知——应知应会——课堂小结——随堂检测——布置作业”的基本模式，通过六个梯次递进的活动，从学生已有的知识经验和认知基础出发，让学生主动地参与活动进行学习，通过操作、观察、推理、归纳、类比使学生进一步理解概念，灵活的运用所学知识，从而让学生感受到数学思维的魅力，更好的理解应用数学知识的意义。同时使用PPT课件，实现课堂扩容，给学生提供更多的学习机会和思维空间，从而强化教学效果。

总之，本节课设计的每个教学环节都是以学生为主体，充分体现新课标的理念，对于新知识的获取能够建立在学生已有的知识经验的基础上，让学生在教师的启发下自主探究完成，不仅培养学生在学习上的自信心，而且还激发他们对学习的浓厚兴趣及探究精神，新媒体的运用较为熟练，递进式的随堂检测及作业布置也是本节课的一亮点，让不同层次的学生都得到锻炼和提升。