复习题课堂实录【3】

等与不等的微妙关系

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一次方程与一次不等式的复习

米易二中

陈学玮

“要么相等，要么不相等，本来这是非常明确的。但往往这个世界并不是这么单纯的，今天，我们就来讲讲等与不等之间的微妙关系。”

首先，让我们来看看方程与不等式的定义：方程（equation）是指含有未知数的等式；用不等号(<，>，≥，≤，≠)连接的式子叫做不等式。在这组定义中，最大的区别是方程有“未知数”的要求，而不等式没有这个要求。

接着，我们再看看一元一次方程与一元一次不等式的定义：一元一次方程是只含有一个未知数、未知数的最高次数为1的整式方程；一元一次不等式是只含有一个未知数、未知数的最高次数为1的整式不等式。在这组定义中，只有“方程”与“不等式”的区别。

1、下列方程中，是一元一次方程的是（

）

1（A）x2y1;

（B）x24x3;

（C）x0;

（D）x1.

x2、下列方程中，是一元一次不等式的是（

）

1（A）x2y1;

（B）x24x3;

（C）x0;

（D）x1.

x拓展：二元一次方程的定义：二元一次方程是含有2个未知数、未知数的最高次数为1的整式方程。如：x+y=5等

下边我们研究一下一元一次方程与一元一次不等式的解法，看下边例题：

例1:（1）解方程

4x34x34x31

626解：去分母，得(4x+3)+3(4x+3) ＝6-2(4x+3)，

去括号，得4x+3+12x+9＝6-8x-6．

移项合并，得24x＝-12，

1系数化为1，得x．

21原不方程的解为x

2（2）解不等式

4x34x34x31

626解：去分母，得(4x+3)+3(4x+3) < 6-2(4x+3)，

去括号，得4x+3+12x+9 < 6-8x-6．

移项合并，得24x < -12，

1

系数化为1，得x．

21原不等式的解集为x

2从例1的一元一次方程与一元一次不等式的解题过程来看，步骤都是“去分母、去括号、移项、合并同类项、化系数为1”，只有“解”与“解集”的区别，真

的只有这点区别吗？下边我们再来看一例：

例2：（1）解方程

x22x5x11

346解：去分母得：4(x2)3(2x5)2(x1)12

去括号得：4x86x152x212

合并同类项，得：

4x9

9系数化为1，得x．

49原不方程的解为x

4

（2）解不等式

x22x5x11

346解：去分母得：4(x2)3(2x5)2(x1)12

去括号得：4x86x152x212

合并同类项，得：4x9

9系数化为1，

得x．

49原不等式的解集为x

4从例2方程和不等式的解题过程来看，解不等式的“化系数为1时，如果两边同时乘以一个负数时，不等号的方向会改变。”下边，让我们练习一下这一性质：

3、（

）

4、

5、拓展：二元一次方程的正整数解（枚举法）

例如：求xy5的正整数解。

。

x1x2x3x4解：xy5的正整数解有，，，。

y4y3y2y1从前面的分析来看，一元一次方程与一元一次不等式的解的个数不一样，一元一

次方程通常只有1个解；一元一次不等式通常有无数个解，用解集来表示。

上述，一元一次方程与一元一次不等式的解题步骤都是“去分母、去括号、移项、合并同类项、化系数为1”，有“解”与“解集”的区别和解不等式的“化系数为1时，如果两边同时乘以一个负数时，不等号的方向会改变。”那么，二元一次方程组与一元一次不等式组的解题过程会有什么微妙的关系呢？

例3：（1）解方程组

ìx+y=9……①ïï

íïy=2x………②ïî解：把②代入①得，x+2x=9

3x=9

x=3

把x=3代入②，得

y=6

ìïx=3所以，原方程组的解是ï

íïïîy=6（2）解方程组

2x+5y=13 ①

3x-5y=7

②

解：由①+②得: 5x=20

x＝4 把x＝4代入①，得y＝1

所以原方程组的解是

x=4 y=1 （3）解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来。

解：解不等式①，得x≥－2；解不等式②，得x＜1。

32所以不等式组的解集为－≤x＜1 3在数轴上表示不等式①②的解集如图。

分析例3中二元一次方程组与一元一次不等式组的解题过程，这两者的整体思路不一样，由于二元一次方程组有2个未知数，所以要用“加减消元法”“代入消元法”等方法消去一个未知数，化成一元一次方程来解；由于一元一次不等式组只有一个未知数，所以不能相“加减”，也不能用“代入”，只能一个一个不等式求出解集，然后求它们的公共解集。

深入分析上边知识，发现，有2个未知数的二元一次方程和二元一次方程组的答案都有大括号；有2个未知数的一元一次方程、一元一次不等式、一元一次不等式组的答案都没有大括号。方程的结论为“解”；不等式的结论为“解集”。

下边，请同学们利用我们学习的知识交一份满意的答卷吧！

1、下列方程变形正确的是（

）

A．方程3x=2x-1移项得，3x-2x=1

B．方程3-x=2-5（x-1），去括号，得3-x=2-5x+5 C．方程8x=2，未知数系数化为1，得x=4

D．方程x1x−＝1化成5（x-1）-2x=1 252、下列不等式中，一元一次不等式有（ ）1)、x213x12)、303)、x1yx4)x125)、a0

A．1个 B．2个 C． 3个 D．4个

x2,3、已知是二元一次方程kxy3的一个解，那么k的值是（ ）

y1A．1； B．－1； C．2； D．－2

4、方程3x6的解是( ) A．x2 B．x6 C．x2 D．x12

5、若a＞b，则下列不等式中，不成立的是（

）

A．a5b5 B．a5b5 C．5a5b D．5a5b

6、已知方程3x-2y=3，用含y的式子表示x的式子是

。

x7、不等式-1≤1的非负整数解的个数为

个。

22xy38、若二元一次方程组

3

x



y



2

的解同时也是方程2xmy1的解，那么m的值为

。

9、（1）解方程：

10、解不等式：1

x4y133x472x−1＝。 （2）解方程组： 2122xy13x1x1，并把解集在数轴上表示出来。

6311、若不等式组无解，则的取值范围。

12、解方程组

0.3xy1,①0.2x0.5y19.②

3x2x4(1)13、解不等式组：2x1

并写出它的所有的整数解．

x1(2)3

14、若关于

的不等式组

的解集为，则的取值范围

(1)x2ym3xy015、已知关于x，y的方程组

的解满足不等式组，求满2x3y2x4(2)x5y0足条件的m的整数值。

16、已知关于的不等式组

的整数解共有5个，求的取值范围。

17、学校准备举行游园活动，需要向商家购买A、B两种型号的文化衫50件，已知一件A型号文化衫的售价比一件B型号文化衫的售价贵9元，用200元恰好可以买到2件A型号文化衫和5件B型号文化衫．

（1）求A、B两种型号的文化衫每件的价格分别为多少元？

（2）如果用于购买A、B两种型号文化衫的金额不少于1500元但不超过1530元，请你求出所有的购买方案？

（3）已知商家出售一件A型号文化衫可获利a元，出售一件B型号文化衫可获利(10-a)元，试问在（2）的条件下，商家采用哪种方案可获利最多？（商家出售的文化衫均不低于成本价）

18、园林局用甲种花卉和乙种花卉搭配成A、B两种园艺造型摆放在大道，搭配如下表所示：

A种园艺造型（个）

B种园艺造型（个）

甲种花卉（盆）

80盆

50盆

乙种花卉（盆）

40盆

90盆

（1）已知搭配一个A种园艺造型和一个B种园艺造型共需500元．若园林局搭配A种园艺造型32个，B种园艺造型18个共投入11800元．则A、B两种园艺造型的单价分别是多少元？

（2）如果搭配A、B两种园艺造型共50个，某校学生课外小组承接了搭配方案的设计，其中甲种花卉不超过3490盆，乙种花卉不超过2950盆，问符合题意的搭配方案有几种？请你帮忙设计出来．