5.2 平行线及其判定  ppt课件配套教案内容

第六章6.3实数

实数的概念及分类

知识精讲

1. 无理数的有关概念及分类

定义：无限不循环小数叫作无理数。这是判断一个数是不是无理数的重要依据。如2、π等都是无理数。

分类：（1）开方开不尽的数，如2、34、…；

（2）含有π的一类数，如1π、－4π、…；

3（3）以无限不循环小数的形式出现的数，如0.2121121112…（相邻两个2之间依次多一个1）。

提示：（1）带根号的数不一定是无理数，如4，38就是有理数。不带根号的数也不一定都是有理数，如π，0.3030030003…（相邻两个3之间依次多一个0）就是无理数。

（2）无理数和有理数的和、差一定是无理数，无理数和无理数的和、差不一定是无理数。

（3）无理数乘（或除以）一个不为0的有理数，结果一定是无理数，无理数与无理数的积，商不一定是无理数。2. 实数

定义：有理数和无理数统称为实数。分类：

（1）按定义分

正有理数有理数0数有限小数或无限循环小负有理数实数

无理数正无理数无限不循环小数负无理数（2）按性质分

[来源:Zxxk.Com][来源学*科*网Z*X*X*K]

正整数正有理数正实数正分数正无理数实数0负整数负有理数负实数负分数负无理数[来源学科网Z,X,X,K]

3. 实数的大小比较

（1）实数与数轴上的点是一一对应的，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，反过来，数轴上的每一个点都能表示一个实数。

（2）实数的大小比较

①根据数轴比较实数大小：对于数轴上的任意两个点，右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数大。

②根据符号比较实数大小：正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数；两个负实数比较大小，绝对值大的反而小。[来源:Z_xx_k.Com]

经典例题

例题1

（梁子湖区期末）

2221在数,7,0,16,2,316,1,3.2020020002L（相邻的两个2之间依次多72一个0）中，无理数有（

）

A. 3个

7

B. 4个

C. 5个

D. 6个

思路分析：22是分数，是有理数；7是开方开不尽的数的方根，是无理数；0是有理数；164是有理数；222是有理数；316是开方开不尽的数的方根，是无理数；1是无理数；3.2020020002L（相邻的两个2之间依次多一个0）是无理数。

答案：B

例题2

（钦州期末）把下列各数分别填在相应的集合中：

125，﹣6，38，0，5，3.1415926，22，﹣16。

7

思路分析：根据有理数，无理数，以及负实数的定义判断即可。

答案：如图所示：

例题3

(江都区月考)试在数轴上标出π、－5、3的大致位置，并借助数轴比较它们的大小。

-5-4-3-2-1012345

思路分析：先估算出每个无理数的近似值，在数轴上描出其近似位置，再利用数轴比较大小。

答案：∵π≈3.14，－6.25＜－5＜－4，2.25＜3＜4，即－2.5＜－5＜－2，1.5＜3＜2。∴在数轴上近似地标出它们的位置下图所示：

－53π-5-4-3-2-1由图可知：－5＜3＜π。

012345

例题4

（新罗区月考）求下列各数的绝对值和相反数。

（1）2－2；（2）3－10

思路分析：根据“正数和零的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数”求一个数的绝对值；根据“a的相反数是－a”求一个数的相反数。

答案：（1）∵是2－2－2＜0，∴︱2－2︱＝2－2，∴2－2的绝对值是2－2，相反数2。

（2）∵3＝9＜10，∴3－10＜0。∴︱3－10︱＝－3＋10＝10－3，

∴3－10的绝对值是10－3，相反数是10－3。

技巧点拨

（1）无理数的判断方法：①依据定义判断一个数是不是无理数；②我们知道，整数和分数统称为有理数，整数可以看作是分母为1的分数，从这个意义来说，有理数都可以写成分数的形式，而无理数则不能写成分数的形式。

（2）比较实数大小的方法：①在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大，即正数大于0，0大于负数，正数大于一切负数；两个负数比较大小时，绝对值大的反而小。②比较两个正无理数的大小，1）当根号外的数相同时，被开方数越大，其值越大；2）采用平方法，用所得的结果比较大小；3）估算或用计算器算出其值再进行比较。

同步测试

（答题时间：20分钟）

1. （安徽模拟）在0，1，﹣1，﹣π这四个数中，比﹣1小的数是（

）

2

A. 0 B. 1 C. ﹣1

2D. ﹣π

*2. （洪山区模拟）已知下列结论：①在数轴上的点只能表示无理数；②任何一个无理数都能用数轴上的点表示；③实数与数轴上的点一一对应；④有理数有无限个，无理数有限个，其中正确的结论是（

）

A. ①②

B. ②③

C. ③④

D. ②③④

*3. （南京中考）若3＜a＜10，则下列结论中正确的是（

）

A. 1＜a＜3 B. 1＜a＜4 C. 2＜a＜3 D. 2＜a＜4 *4. （新罗区期末）有下列说法：①无理数一定是无限不循环小数，②最小的算术平方根是零，③﹣6是（﹣6）2的算术平方根，④4＝±2。其中正确的是（

）

A. ①②

B. ②④

C. ①③

D. ③④

*5. （陕西中考）在实数﹣5，﹣3，0，π，6中，最大的一个数是__________。

*6. 已知一个长方体的棱长分别为x、2、x，体积是14，请根据长方体的体积公式写出关于x的方程，并说明x是有理数还是无理数。

**7. 我们知道：3是一个无理数，它是一个无限不循环小数，且1＜3＜2，我们把1叫做3的整数部分，3－1叫做3的小数部分。

利用上面的知识，你能确定下列无理数的整数部分和小数部分吗？

（1）10；（2）88。

*8. 写出下列各数的相反数与绝对值：

3.5，－6，3，2－3。

参考答案

1. D

解析：根据实数比较大小的方法，可得0＞﹣1，1＞﹣1，﹣∴在0，1，﹣1＞﹣1，﹣π＜﹣1，21，﹣π这四个数中，比﹣1小的数是﹣π。故选：D。

2*2. B

解析：①数轴上的点既能表示无理数，又能表示有理数，故①错误；②任何一个无理数都能用数轴上的点表示，故②正确；③实数与数轴上的点一一对应，故③正确；④有理数有无限个，无理数无限个，故④错误；故选：B。

*3. B

解析：∵1＜3＜2，3＜10＜4，又∵3＜a＜10，∴1＜a＜4，故选B。

*4. A

解析：①无理数一定是无限不循环小数，符合无理数的定义，故本小题正确；②最小的算术平方根是零，符合算术平方根的定义，故本小题正确；③﹣6是（﹣6）2的平方根，不是算术平方根，故本小题错误；④4＝2≠±2，故本小题错误。故选A。

*5. π

解析：根据实数比较大小的方法，可得π＞6＞0＞－3＞﹣5，故实数﹣5，－3，0，π，6其中最大的数是π。故答案为：π。[来源学科网]

*6. 解析：∵x×2×x＝14，即x2＝7，∴x＝7，∴x是无理数。

**7. 解析：（1）∵3＜10＜4，∴10的整数部分是3，小数部分是10－3。（2）∵9＜88＜10，∴88的整数部分是9，小数部分是88－9。

*8. 解析：如下表：

原数

相反数

绝对值ZXXK]3.5 －3.5 3.5 －6

3－

2－3 3－2

6

3

[来源学科网6

33－2

实数的运算

知识精讲

1. 运算法则：与有理数的运算法则相同。

2. 运算顺序：先算乘方、开方、再算乘除，最后算加减，同级运算按从左到右的顺序进行，有括号的先算括号里面的。

3. 运算律：

（1）加法交换律：a＋b＝b＋a；

（2）加法结合律：（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）；

（3）乘法交换律：ab＝ba；

（4）乘法结合律：（ab）c＝a（bc）；

（5）乘法分配律：a（b＋c）＝ab＋bc。

4. 实数混合运算的注意点：

（1）要注意运算顺序；

（2）应用乘法分配律去括号时，注意不要漏乘及运算的符号问题；

（3）在进行开方与乘方运算时，要注意符号问题。

经典例题

例题1

（虞城县期中）下列计算：①25＝5；②3④（﹣3）2＝3；⑤1A. 1个

11＝±；③(2)2＝﹣2；273255＝1，其中正确的个数有（

）

14412C. 3个

D. 4个

B. 2个

11＝﹣，故②错误；③(2)2＝2，故③2732516913错误；④（﹣3）2＝3，故④正确；⑤1＝＝，⑤错误。故选：B。

14414412思路分析：①25＝5，故①正确；②3答案：B

例题2

（乐安县模拟）已知m是17的整数部分，n是17的小数部分。

求：（1）（m＋n）2的值；

（2）mn－m的值。

2思路分析：先估算出17的大小，然后可求得m、n的值；（1）将m、n的值代入计算即可求解；（2）将m、n的值代入计算即可求解。

答案：∵m是17的整数部分，n是17的小数部分，∴m＝17﹣4，n＝4；

（1）（m＋n）2＝（17﹣4＋4）2＝（17）2＝19；

（2）

例题3

（鄂城区期末）计算：

17mnmn2mmn－m＝＝－＝－。

222212）﹣9；

21363（2）3270

0.125314643（1）（﹣2）3×(4)2＋3(4)×（思路分析：按实数的混合运算顺序进行，先分别计算乘方、开方，然后再算乘除法，最后计算加减即可。

答案：（1）原式＝﹣8×4＋（﹣4）×﹣

1﹣3＝﹣32﹣1﹣3＝﹣36；（2）原式＝﹣3﹣041113＋＋＝﹣2。

2244技巧点拨

与实数有关的概念及性质

相反数

倒数

概念

只有符号不同的两个数互为相反数

求法

在原数前面加“－”后进行符号化简

将数值转化为分数形式后交换分子与分母的位置

非负数的绝对值是它本身；非正数的绝对值是它的相反数

性质

互为相反数的两数之和为0 符号语言

∵a，b互为相反数，∴a＋b＝0 乘积为1的两个数互为倒数

互为倒数的两数之积为1 任何实数的绝对值都是非负数；互为相反数的两数的绝对值相等

∵a，b互为倒数，∴ab＝1 绝对值

在数轴上表示一个数的点到原点的距离是这个数的绝对值

一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫作a的平方根

︱a︱≥0；

︱a︱＝︱－a︱

平方根

开平方

非负数都有平方根，负数没有平方根

若a为非负数，则a的平方根为±a[来源:Z,xx,k.Com]

立方根

一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫作a的立方根

开立方

任何实数都有立方根

若a为实数，则a的立方根为3a

同步测试

（答题时间：20分钟）

*1. （张店区模拟）若a＜22＜b，其中a、b为两个连续的整数，则ab的值为（

）

A. 2 B.5 C. 6 D. 12

*2. （全椒县期末）若a2＝9，3b＝﹣2，则a＋b＝（

）

A. ﹣5 B. ﹣11 C. ﹣5或﹣11 D. ±5或±11 **3. （南沙区期末）以下是小明的计算过程，请你仔细观察，错误的步骤是（

）

9(2)2|12|38[来源学科网]

解：原式＝3-（-2）2-|1-2|-38

①

＝3-4-|1-2|-38

②

③

＝3﹣4﹣2-1-38

＝3﹣4﹣2﹣1＋2④

＝﹣2。

A. ①

B. ②

C. ③

D. ④

*4. （阜宁县模拟）规定用符号[x]表示一个实数的整数部分，例如[2.89]＝2，[3]＝1，按此规定，[19﹣1]＝__________。

**5. 点A在数轴上和原点相距3个单位，点B在数轴上和原点相距5个单位，则A，B两点之间的距离是__________。

*6. （杭锦后旗期末）求下列x的值。（x﹣1）2＝4；3x3＝﹣81。

**7. （张家界中考）阅读理解题：

定义：如果一个数的平方等于﹣1，记为i2＝﹣1，这个数i叫做虚数单位，把形如a＋bi（a，b为实数）的数叫做复数，其中a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似。

例如计算：（2﹣i）＋（5＋3i）＝（2＋5）＋（﹣1＋3）i＝7＋2i；

（1＋i）×（2﹣i）＝1×2﹣i＋2×i﹣i2＝2＋（﹣1＋2）i＋1＝3＋i；

根据以上信息，完成下列问题：

（1）填空：i3＝__________，i4＝__________；

（2）计算：（1＋i）×（3﹣4i）；[来源学科网]

（3）计算：i＋i2＋i3＋…＋i2017。

参考答案

*1. C

解析：∵1＜2＜1.5，∴2＜22＜3，即2＜22＜3。∴a＝2，b＝3。∴ab＝6。

*2. C

解析：∵a2＝9，3b＝﹣2，∴a＝3或﹣3，b＝﹣8，则a＋b＝﹣5或﹣11，故选C。

**3. C

解析：9(2)2|12|38＝3﹣4﹣（2﹣1）﹣（﹣2）＝﹣1﹣2＋1＋2＝﹣1﹣2＋3＝2﹣2，∴第③步错误，故选C。

*4. 3

解析：∵4＜19＜5，∴3＜19﹣1＜4，∴[19﹣1]＝3。故答案为：3。

**5. 3＋5或3－5

解析：因为点A在数轴上和原点相距3个单位，所以点A表示3或－3；因为点B在数轴上和原点相距5个单位，所以点B表示5或－5。所以A、B两点之间的距离为3＋5或3－5。[来源学科网ZXXK]

*6. （x﹣1）2＝4，x﹣1＝±2，解得x1＝﹣1，x2＝3。3x3＝﹣81，x3＝﹣27，x＝﹣3。

解析：开平方即可求得x的值；先系数化为1，再开立方即可求得x的值。

**7. （1）i3＝i2•i＝﹣i，i4＝（i2）2＝（﹣1）2＝1。故答案为：﹣i，1；（2）（1＋i）×（3﹣4i）＝3﹣4i＋3i﹣4i2＝3﹣i＋4＝7﹣i；（3）i＋i2＋i3＋…＋i2017＝i﹣1﹣i＋1＋…＋i＝i。

解析：（1）把i2＝﹣1代入求出即可；（2）根据乘法分配律进行计算，再把i2＝﹣1代入求出即可；（3）先根据复数的定义计算，再合并即可求解。